9.2.2. Сглаженные оценки взаимного амплитудного и фазового спектров и квадрата спектра когерентности
Как показано в разд. 8.4.4 для описания корреляции двух случайных процессов, в частотной области можно воспользоваться их взаимным амплитудным и фазовым спектрами. Однако удобнее взять квадрат спектра когерентности и фазовый спектр.
Имеется несколько способов определения сглаженных оценок этих спектров. Один простой способ состоит в том, чтобы в теоретические выражения для этих спектров подставить сглаженные оценки коспектра и квадратурного спектра. В результате с помощью (8.3.28) сглаженная оценка взаимного амплитудного спектра будет иметь вид
Аналогично с помощью (8.3.29) можно определить сглаженную оценку фазового спектра
Наконец, пользуясь равенством (8.4.18), определяем сглаженную оценку квадрата спектра когерентности
Заметим, что, даже если бы оценки 
были несмещенные, оценки (9.2.12) — (9.2.14) все равно имели бы смещение. Однако это смещение было бы мало но сравнению со смещением, вызванным отсечением концов взаимной корреляционной функции и ее несимметричностью относительно нуля. Поэтому можно считать, что среднеквадратичная ошибка из-за этого не увеличится. Так как все оценки (9.2.12) - (9.2.14) являются нелинейными функциями от оценок 
то Для нахождения их моментов нужно разложить эти нелинейные функции в ряд Тейлора, как показано в разд. 3.2.5 и в [2]. В качестве примера найдем среднее значение и дисперсию сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра (9.2.12).
Для удобства записи опустим аргумент 
так что (9.2.12) запишется в виде
Рассмотрим теперь малые возмущения 
около математических ожиданий 
с помощью которых можно записать
Аналогично получаем
в ряд Тейлора, имеем
Отсюда
Заменяя в ковариационной матрице 
на 
получаем
Подставляя эти выражения в (9.2.16), находим дисперсию сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра
Заметим, что, когда процессы 
одинаковые, 
и 
Следовательно, в этом случае (9.2.17) имеет вид
что совпадает с формулой (6.4.13), полученной ранее. Аналогичным образом можно получить формулы для дисперсий и ковариаций оценок 
Они будут следующими.
Дисперсия сглаженной оценки спектра когерентности и его квадрата
Дисперсия сглаженной оценки фазового спектра
Отметим, что эти дисперсии не зависят от теоретической функции фазового спектра.
Свойства ковариаций:
Полученными формулами мы воспользуемся в следующем разделе при выводе доверительных интервалов для фазового спектра и спектра когерентности.
