11.4.4. Анализ многомерных частотных характеристик; несколько выходных процессов
Модель. В этом разделе мы перенесем в частотную область многомерный анализ, который для временной области был изложен в разд. 11.3.4. В качестве обобщения модели установившихся состояний (11.3.23) рассмотрим динамическую модель
где 
— вектор выходных переменных, 
— вектор входных переменных и 
— вектор переменных шума. Например, для 
входов и 
выходов модель (11.4.21) можно записать в виде
Как и в предыдущем разделе, предположим сначала, что имеются записи бесконечной длины для всех входов и выходов.
Оценочные уравнения. Как и в разд. 11.3.4, выборочные оценки функций отклика на единичный импульс 
минимизирующие среднеквадратичную ошибку, можно получить, минимизируя по отдельности среднеквадратичные ошибки
Этот процесс приводит к системе уравнений вида (11.4.7), а именно
Эти уравнения можно записать в виде одного матричного уравнения
где 
— матричная взаимная ковариационная функция между 
входами и 
выходами, 
— матрица откликов на единичный импульс и 
— матричная ковариационная функция входов.
Взяв преобразования Фурье от (11.4.23), получаем оценочные уравнения для частотных характеристик
Как и (11.4.23), уравнения (11.4.25) можно записать в виде одного матричного уравнения
Спектральная матрица остаточных ошибок. Кроме оценивания матрицы частотных характеристик, нужно еще охарактеризовать свойства шума. Для этой цели вычисляется спектральная матрица 
остаточных ошибок, или шума, элементами которой служат авто- и взаимные спектры 
процессов 
Действуя так же, как и в разд. 11.3.4, находим корреляционные функции
Взяв преобразования Фурье от (11.4.27), получаем авто- и взаимные спектры
Равенства (11.4.28) можно объединить в одно матричное равенство
Отметим, что с помощью равенства (11.4.29) можно вычислить спектральную матрицу остаточного шума, если известны матрица частотных характеристик 
теоретическая спектральная матрица 
всех переменных и теоретическая спектральная матрица взаимных корреляций входов и выходов 
Соответствующая задача оценивания рассматривается в разд. 11.4.6.
