8.3.3. Взаимный спектр
В предыдущем разделе мы рассматривали 
как заданные функции времени 
Если считать, что 
реализация стационарного двумерного случайного процесса 
то возникают те же самые проблемы, что и в одномерном случае. Так, например, выборочные коспектры и квадратурные спектры, сосчитанные по реализации двумерного случайного процесса, не сходятся ни в каком статистическом смысле к предельным значениям, когда длина реализации Т стремится к бесконечности. В действительности, они ведут себя так же, как выборочный спектр, показанный на рис. 6.1. Чтобы понять, почему это так, нужно исследовать свойства случайной величины 
для которой выборочный взаимный спектр является реализацией.
Из (8.3.12) случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру, имеет вид 
С помощью (8.2.2) получаем среднее значение этой величины
При 
это среднее значение стремится к взаимному спектру мощности, или, короче к взаимному спектру. Таким образом,
Равенство (8.3.22) показывает, что взаимный спектр является преобразованием Фурье от взаимной ковариационной функции. Отметим, что в определении взаимного спектра для случайного
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
процесса 
будет непрерывной функцией частоты в области 
Еще раз подчеркнем, что приводимое обычно в технических пособиях определение
не имеет смысла для случайных процессов, так как дисперсии действительной и мнимой частей случайной величины 
не стремятся к нулю при 
как будет показано в разд. 9.1.
Коспектр и квадратурный спектр. Разложим 
на четную и нечетную части
Подставляя эти выражения в (8.3.22), получим
где
и
Функция 
называется коспектром, а функция 
— квадратурным спектром двумерного процесса 
Эти же самые функции можно определить и с помощью соотношений (8.3.21) и (8.3.22), а именно:
Взаимный амплитудный и фазовый спектры. Взаимный спектр можно записать также в виде
где функции сиг 
называются взаимным амплитудным спектром и фазовым спектром соответственно. По аналогии с (8.3.11) мы получаем
Следовательно, взаимный амплитудный и фазовый спектры можно получить, вычисляя функции 
по взаимной ковариационной функции [формулы (8.3.23)], затем вычисляя коспектр и квадратурный спектр [формулы (8.3.25) и (8.3.26)] и подставляя эти спектры в (8.3.28) и (8.3.29).
Краткая сводка. В табл. 8.3 дана краткая сводка формул, которые мы определили в этой главе.
