10.4.2. Анализ частотных характеристик искусственных систем

С помощью искусственных рядов была имитирована линейная система второго порядка. Выходные данные получались с помощью модели (10.2.1), а именно

и

где — белый шум, а — вход.

В качестве входных данных использовалась реализация процесса авторегрессии второго порядка (7.1.9), т. е.

Входные и выходные данные приведены в Приложении П10.1. Теоретический спектр входного процесса равен

Этот спектр показан на рис. 7.7 сплошной линией. Поскольку шум белый, его спектр имеет вид

Теоретическая частотная характеристика линейной системы (10.4.5) равна

Отсюда теоретические функции усиления и фазы имеют вид

и

Функция усиления (10.4.9) показана сплошной линией на рис. 10.3, а фазовая функция (-сплошной линией на рис. 10.4. Квадрат теоретического коэффициента когерентности равен

Эта функция показана сплошной линией на рис. 10.5. Видно, что коэффициент когерентности весьма высок в диапазоне от 0 до 0,25 гц, где велики входной спектр и функция усиления. Однако когерентность очень мала в диапазоне от 0,3 до 0,5 гц, где входной спектр и функция усиления системы также малы. Следовательно, можно ожидать, что для диапазона от 0 до 0,25 гц получатся хорошие оценки функций усиления, фазы и спектра когерентности, а для диапазона от 0,3 до 0,5 гц — плохие.

Поскольку используемые временные ряды были искусственными, многие стадии из описанной в разд. 9.4.2 и разд. 10.4.1 методики не нужны. Тем не менее поучительно проследить все эти стадии подряд, как если бы данные были получены из реального процесса.

1. Стадия предварительных решений

а) Данные не обнаруживают никаких трендов (что можно было бы предвидеть, ибо вход и выход были получены с помощью стационарных моделей). Поэтому цифровая фильтрация для устранения трендов не нужна.

б) Расфильтровывать данные на отдельные частотные полосы не требуется.

в) Так как входной и выходной ряды содержат по членов, авто- и взаимные корреляции вычислялись первоначально до запаздывания 30.

2. Первая стадия вычислений

Вычислялись авто- и взаимные корреляции исходных данных и их первых разностей. Корреляции исходных данных показаны на рис. 10.2, а ковариации приведены в Приложении П10.2.

3. Стадия промежуточных решений

а) Корреляции исходных данных были использованы для спектрального анализа.

б) Так как взаимная корреляционная функция имела максимум в нуле, выравнивания не потребовалось.

в) Исходя из быстроты затухания корреляционных функций, для дальнейшего анализа были выбраны следующие точки отсечения: .

4. Вторая стадия вычислений

а) С помощью окна Тьюки были вычислены автоспектры, функции усиления и фазы, спектры когерентности и шума без применения выравнивания.

б) На рис. показаны соответственно функция усиления, фазовая функция, квадрат спектра когерентности и спектр шума при

Рис. 10.2. Выборочные авто- и взаимные корреляции искусственной линейной системы

5. Стадия интерпретации

а) Метод стягивания окна показывает, что во всех спектрах происходят некоторые изменения при переходе от но при дальнейшем увеличении до 16 изменения малы. Поэтому окончательно было выбрано Отметим, что выборочные оценки функций усиления и фазы и квадрата спектра когерентности очень хорошо согласуются с теоретическими значениями в диапазоне частот от 0 до 0,35 гц, но для более высоких частот появляются большие расхождения, так как коэффициент когерентности резко уменьшается. Как видно из рис. 10.6, выборочная оценка спектра остаточного шума превосходно согласуется с теоретическими значениями во всем диапазоне от 0 до 0,5 гц.

б) Доверительные интервалы для функций усиления и фазы, вычисленные по формулам (10.4.3) и (10.4.4), показаны на рис. 10.3 и

10.4. Видно, что они резко увеличиваются для частот, превосходящих 0,35 гц, из-за уменьшения коэффициента когерентности. Таким

образом, доверительные интервалы дают полезную информацию при интерпретации графиков функций усиления и фазы.

Вычисление функции отклика на единичный импульс. Описанный в разд. 10.2 временной способ оценивания отклика на единичный импульс был сравнен с частотным способом.

Рис. 10.3. Теоретическая функция усиления и ее выборочные оценки для искусственной линейной системы

Для этого мы по выборочным оценкам взаимных спектров при вычислили функцию отклика на единичный импульс

Эта функция сравнивалась с выборочными оценками отклика на единичный импульс, полученными непосредственно и с помощью параметрического оценивания во временной области. Все эти оценки приведены в табл. 10.4. Мы видим, что оценка, полученная из спектров, более плавно меняется, чем при непосредственном оценивании во временной области, и хорошо согласуется с теоретическими значениями. Однако она не так хороша, как параметрическая оценка.

(кликните для просмотра скана)

В соответствии с рекомендацией, предложенной в [4], значения были вычислены также для отрицательных чтобы определить, является ли система физически реализуемой. Наибольшим из них оказалось значение в то время как остальные не превосходят по модулю 0,1.

Рис. 10.6. Теоретический спектр остаточных ошибок и его выборочные оценки для искусственной линейной системы

Отсюда мы заключили, что выборочные оценки функций усиления и фазы приближенно описывают физически реализуемую систему.

Таблица 10.4. Сравнения трех способов оценивания функции отклика на единичный импульс