11.4.2. Спектр множественной когерентности

В этом разделе мы дадим определение спектра множественной когерентности. Он является частотным аналогом множественного коэффициента корреляции, введенного в разд. 11.3.2. Прежде всего необходимо вывести выражение для спектра шума (или остаточных ошибок), которое необходимо для получения выборочных оценок функций усиления и фазы и само по себе представляет значительный интерес.

Спектр остаточных ошибок. Чтобы вычислить спектр остаточных ошибок в модели (11.4.1), необходимо найти их автоко вариационную функцию. Действуя так же, как и в разд. 11.3.2, находим, что автоковариационная функция процесса равна

Взяв от этого выражения преобразование Фурье, получим спектр остаточных ошибок

что является частотным аналогом выражения (11.3.7).

Квадрат спектра множественной когерентности. Действуя так же, как и в разд. 11.3.2, выражение (11.4.9) можно записать в виде

где величина

называется квадратом спектра множественной когерентности выходного процесса и входных процессов. Спектр множественной когерентности дает долю спектра выхода, которая может быть предсказана по входам. Как показывает равенство (11.4.10), оставшаяся доля спектра выхода представляет собой шум.

Подставляя в (11.4.9) выражения (11.4.8) для частотных характеристик, мы получим другую форму записи квадрата спектра

множественной когерентности, аналогичную записи (11.3.11), а именно

В (11.4.11) — спектральная матрица всех переменных, — спектральная матрица входных переменных. При равенство (11.4.11) запишется, если опустить аргумент , следующим образом:

что соответствует выражению (11.3.14). Если разложить определитель в (11.4.12), то получим

где действительную часть

можно выразить через коспектры и квадратурные спектры этих трех процессов.