10.3. ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

10.3.1. Оценки функций усиления и фазовой характеристики

Чтобы можно было применять спектральпые методы для оценивания частотных характеристик, необходимо отбросить условие физической реализуемости системы: при и рассмотреть модель

Если шум белый, то с помощью рассуждений, аналогичных использованным в Приложении можно показать, что выборочная оценка наименьших квадратов для функции удовлетворяет интегральному уравнению

Если данные получены из линейной физической системы, то условие при будет автоматически выполнено, если не учитывать выборочные ошибки, обусловленные конечной длиной записи. Фактически, если бы мы имели запись бесконечной длины, то уравнение (10.3.1) было бы справедливо для функции , тождественно равной нулю при

Решение интегрального уравнения (10.3.1) можно существенно упростить с помощью преобразования Фурье. Так, если от обеих частей (10.3.1) взять преобразования Фурье, то получим

где

Отсюда оценка частотной характеристики равна

т. е. оценка равна отношению оценки взаимного спектра к оценке входного спектра. Выражение (10.3.3) можно переписать в виде

где Таким образом, оценки функций усиления и фазы имеют вид

и

В разд. 9.1.1 было показано, что дисперсию оценки фазового спектра в первом приближении можно считать не зависящей от длины записи Т. Поскольку дисперсии функций точно так же можно считать не зависящими от Т, то дисперсия оценки не зависит от Т. Следовательно, оценки (10.3.5) и (10.3.6) необходимо сгладить, чтобы уменьшить их дисперсию.

Один способ, с помощью которого можно этого добиться, состоит в том, что вместо несглаженных оценок в (10.3.5) и (10.3.6) подставляют их сглаженные варианты. Это приводит к следующим сглаженным оценкам функций усиления и фазы:

Смещения и ковариации этих оценок можно вывести с помощью методов, применявшихся в разд. 9.2. Другой способ сглаживания, рассматриваемый в следующем разделе, получается, если решать задачу оценивания частотной характеристики методом наименьших квадратов в частотной области. Этот подход имеет то преимущество, что приближенные доверительные интервалы вычисляются с помощью распределений, возникающих в методе наименьших квадратов, а не с помощью первых двух моментов спектральных оценок, как это делается в первом способе сглаживания.