11.4.3. Взаимные спектры частной когерентности и фазы

Как и в анализе множественной регрессии, полезно знать взаимный спектр выходного и одного из входных процессов после учета влияния остальных входных процессов. Эта задача приводит к понятию взаимного спектра частной корреляции, который является частотным аналогом частного коэффициента корреляции (11.3.21).

Чтобы проиллюстрировать основную идею изложения, предположим, что имеется всего две входные переменные. Обобщая методы разд. 11.3.3, будем считать, что выход предсказывается сначала только по прошлым значениям процесса , что дает остаточную ошибку

где - решение соответствующего интегрального уравнения Винера — Хопфа. Аналогично прогноз входа только по прошлым значениям приводит к остаточной ошибке

Взаимная частная ковариационная функция. Теперь можно определить взаимную частную ковариационную функцию между после учета влияния следующим образом:

Взаимный частный спектр. Взаимный частный спектр можно получить, если взять преобразование Фурье от (11.4.15) и заменить на на . В результате получим

Нормированный взаимный частный спектр

получается из (11.4.16) с помощью соответствующей нормировки.

Спектр частной когерентности. Квадрат спектра частной когерентности равен квадрату модуля величины Проще всего его вычислить, используя спектральный аналог равенства (11.3.22), а именно

Коэффициент равен квадрату коэффициента корреляции двух процессов «на частоте после учета влияния процесса

Частный фазовый спектр. Частный фазовый спектр равен аргументу комплексного выражения (11.4.16) или выражения (11.4.17).

Его можно записать в виде

Аналогичные выражения для квадрата частной когерентности и частной фазы можно получить с помощью перестановки индексов в (11.4.18) и (11.4.19).

Следует отметить отличие частной фазыф от фаз полученных из частотных характеристик модели (11.4.1). Фаза является мерой фазового сдвига между когда изменяется по синусоидальному закону, но не меняется. А частная фаза является мерой «непосредственного» фазового сдвига между после того как учтены фазовые сдвиги между и между . В случае когда имеется только одна входная переменная, частный фазовый угол равен обычному фазовому углу.

Для входов взаимный частный спектр является частотным аналогом (11.3.21), а именно

где — соответствующий элементу мипор спектральной матрицы всех переменных.

Из (11.4.20) можно получить частные спектры когерентности и фазы.

Резюме. Как и при анализе двумерных временных рядов, основной интерес для нас представляют различные виды спектральных оценок: либо для случая, когда ряды находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу, либо же когда некоторые из них являются входами, а остальные — выходами физической системы. Если все ряды равноправны, то основной интерес представляет спектр множественной когерентности. Кроме него, обычно вычисляют еще спектры частной когерентности и фазы для некоторых отобранных пар переменных. Если же часть рядов представляет собой входы, а остальные ряды — выходы некоторой физической системы, то самая важная часть анализа заключается в оценивании частотных характеристик системы. Другую важную выборочную оценку представляет собой спектр остаточных ошибок, описывающий шум в системе. В этом случае спектр множественной когерентности интересен лишь постольку, поскольку от него зависят доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Оценивание спектра множественной когерентности обсуждается в разд. 11.4.5. Доверительные интервалы для функций усиления и фазы выводятся в разд. 11.4.6.