112. Асимптотические разложения.

Представление решений уравнений вида (112) в виде контурных интегралов дает возможность получать так называемые асимптотические разложения решений. Мы

кратко изложим сначала общие сведения об этих разложениях. Напомним, что раньше мы рассматривали такие разложения при больших по степеням , где — некоторое целое положительное число [79]. Сейчас мы будем рассматривать их на плоскости комплексного переменного z вдоль некоторого луча при большом и чаще в некотором секторе а . В случае луча, применяя, если надо, поворот плоскости z вокруг начала, всегда можно считать, что луч есть вещественная положительная полуось . Мы будем главным образом рассматривать асимптотические разложения вида

Это — так называемые асимптотические степенные ряды. Обозначим сумму первых членов этого ряда:

Сходимость ряда (149) в точке равносильна существованию предела при Совершенно иной подход имеет место при определении асимптотического разложения. Пусть в некотором секторе В

или на некотором луче при а определена функция Говорят, что ряд (149) является асимптотическим разложением в В (или на ), если при любом целом разность при в В (или на I) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем т. е.

Это записывается также так:

где обозначает такую величину, что произведение при . Принимая во внимание, что и условие (151), если в нем заменить на можем вместо (151) написать

где — такая величина, что произведение остается ограниченным при в В или на Обычно асимптотическое разложение функции обозначают так:

Если функция, регулярная в окрестности точки и в самой этой точке, т. е. разлагается при где — некоторое неотрицательное число, в ряд

то очевидно, что ряд, стоящий справа, будет и асимптотическим разложением при . Но при определении асимптотического разложения (154) сходимость ряда не предполагается, и в дальнейшем мы будем иметь в основном дело с расходящимися рядами.

Из определения (153) непосредственно следует, что коэффициенты определяются по функции единственным образом:

т. e. асимптотическое разложение может быть только одно. В написанных формулах в том секторе или на том луче, где имеет место разложение.

Рассмотрим функцию Вещественная часть отрицательна и по абсолютной величине не меньше в секторе

где малое число. Отсюда следует, что при любом целом , и, следовательно, асимптотическое разложение состоит из нулей в секторе (156):

Таким образом, если некоторая функция в секторе (156) или на некотором луче из этого сектора имеет разложение (154), та функция имеет то же самое разложение. Нетрудно видеть, что в секторе

функция не имеет асимптотического разложения. Произведение стремится по модулю к бесконечности на любом луче этого сектора.

Рассмотрим при интеграл

где - некоторое целое число. Производя последовательно интегрирование по частям, получаем

Оценим последний интеграл:

откуда следует, что на луче для функции (157) имеет место асимптотическое разложение

Нетрудно видеть, что это разложение имеет место и в секторе (156), причем в интеграле (157) интегрирование совершается по лучу этого сектора, выходящему из точки z = 0.

Пользуясь определением (153), легко доказать возможность простейших операций над асимптотическими разложениями. Из (154) следует

где а — постоянная. Два асимптотических разложения в одном и том же секторе (или на одном и том же луче) можно почленно складывать и умножать.

Если кроме (154) мы имеем

то

Асимптотические ряды (154) и (159) можно делить почленно, если Полученный ряд будет асимптотическим для частот в том же секторе по при достаточно больших Если имеем на некотором луче l разложение (154) и непрерывная функция на l при , то интегрируема по лучу от до и

В дальнейшем мы будем иметь дело с функциями регулярными в соответствующих секторах. Сформулируем для этого случая теорему о возможности почленного дифференцирования разложения (154). Пусть В и секторы на плоскости, определяемые неравенствами

где регулярна в и в имеет место разложение (154), равномерное по , то в имеет место разложение

равномерное по Разложение (154), равномерное по в В, определяется так: при любом заданном существует такое что

при всех z из В, удовлетворяющих условию причем число М может зависеть от . Сформулированное предложение доказывается применением формулы Коши для при z, принадлежащих Это дает возможность доказать разложимость для z из в асимптотический степенной ряд. Отсюда применением формулы (160) для этого ряда получаем формулу для

Отметим, что если регулярна при включая точку то она разлагается при в ряд вида

При этом, очевидно,

т. е. правая часть является и асимптотическим разложением при Положим теперь, что регулярна при но о ее поведении в точке нам ничего не известно. Пусть, кроме того, имеет место асимптотическое разложение (161) при всех значениях . При этом ряд, входящий в формулу (161), сходится при и его сумма равна Это утверждение доказывается при помощи замены и применения теоремы из [10] к функции Функция при этом, очевидно, регулярна и в точке

Кратко скажем об асимптотических рядах, отличных от рядов вида (149).

Разложение

называется асимптотическим разложением в некотором секторе или на луче если

любом в секторе или на луче.

Дадим в заключение определение асимптотической последовательности функций при последовательность функций заданных на некотором множестве точек , имеющем предельной точкой (не входящей в ) и удовлетворяющих отношениям при называется асимптотической последовательностью. В этом определении не исключена возможность и случая . В случае формулы Подробные сведения об асимптотических разложениях можно найти, например, в упомянутой выше [81] книге А. Эрдейи «Асимптотические разложения».