§ 2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

2.1. Понятие о турбулентности; эмпирические данные о возникновении турбулентности в трубах и в пограничном слое

В предыдущем параграфе были приведены уравнения, описывающие движения жидкости, и указаны некоторые их простейшие решения. При этом мы отмечали, что полученные решения далеко не всегда хорошо соответствуют каким-либо реально

наблюдаемым течениям. Так, например, на стр. 44 было сказано, что течение в трубе описывается формулами (1.23) — (1.26) лишь в случае достаточно большой вязкости или достаточно малой средней скорости, а стр. 56 мы подчеркнули, что найденное Блазиусом решение уравнений пограничного слоя на плоской пластинке только при не слишком большом значении хорошо соответствует эмпирическим данным. Сказывается, что так же обстоит дело и в громадном большинстве других случаев. Как правило, найденные теоретически решения уравнений гидродинамики, точные или приближенные, лишь при некоторых специальных условиях удовлетворительно описывают реально наблюдаемые потоки. Если же эти условия не соблюдаются, то характер течения резко меняется, и вместо закономерного плавного изменения значений гидродинамических полей, соответствующего теоретическим решениям, наблюдаются беспорядочные пульсации всех гидродинамических полей во времени и пространстве, имеющие сложный характер — типа тех. которые изображены на рис. 1. Таким образом, течения жидкости распадаются на два резко различающихся класса: плавные и спокойные течения, меняющиеся во времени лишь в связи с изменением действующих сил или внешних условий, называются ламинарными, а течения, сопровождающиеся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических полей как во времени, так и в пространстве, — турбулентными.

Различие между ламинарным и турбулентным режимами течения жидкостей проявляется в ряде явлений, имеющих большое значение для многих технических задач. Например, воздействие потока на твердые стенки (т. е. трение о стенки) при турбулентном режиме оказывается значительно большим, чем при ламинарном режиме (так как передача импульса в турбулентной среде происходит много интенсивнее). Наличие беспорядочных пульсаций поля скорости приводит также к резкому возрастанию перемешивания жидкости; в этой связи крайне интенсивное перемешивание часто даже рассматривается как наиболее характерная черта турбулентного движения. С возрастанием перемешивания резко увеличивается также и теплопроводность жидкости и т. д. По всем этим причинам установление условий перехода ламинарного режима течения в турбулентный режим является весьма актуальной задачей. Кроме того, выяснение механизма возникновения турбулентности должно помочь пониманию ее природы и тем самым способствовать изучению важных для практики закономерностей турбулентных потоков.

Подробный обзор экспериментальных данных, касающихся перехода ламинарного течения в турбулентное, содержится в

статьях Шлихтинга (1959) и Драйдена (1959). Теории этого вопроса посвящены многие обзорные статьи (одна из наиболее полных среди которых принадлежит Дж. Стюарту (1963)) и специальные монографии Линя (1955) и Чандрасекара (1961). В нашей монографии мы ограничимся рассмотрением лишь важнейших (и наиболее простых) течений и основное внимание уделим принципиальной стороне дела. За деталями математических расчетов и подробным описанием экспериментов, а также за сведениями, относящимися к более сложным потокам, читатель должен обратиться к перечисленным выше источникам и к специальным статьям.

Первые результаты об условиях возникновения турбулентности были получены Хагеном (1839). Хаген изучал течения воды в прямых круглых трубах небольших радиусов и установил, что при постепенном уменьшении вязкости воды (что достигалось повышением ее температуры) скорость течения при одном и том же напоре сначала возрастает до некоторого предела, а затем начинает уменьшаться. Вытекающая из трубы струя воды до указанного предела имеет гладкую форму, а после перехода через этот предел испытывает резкие колебания. Хаген объяснял эти явления тем, что при достаточно малом значении вязкости в потоке образуются внутренние движения и вихри, которые приводят к повышению сопротивления и, следовательно, к уменьшению скорости течения. Хаген обнаружил, что изменения характера течения можно добиться, меняя напор воды (т. е. среднюю скорость) или радиус трубы; однако никакого общего критерия для перехода ламинарного течения в турбулентное ему установить не удалось.

Общий критерий возникновения турбулентности был установлен Рейнольдсом (1883) при помощи соображений о механическом подобии течений вязкой жидкости. Этот критерий заключатся в том, что поток остается ламинарным, пока число не превосходит некоторого критического значения а при он становится турбулентным. Как было объяснено в п. 1.3, число Рейнольдса имеет смысл отношения характерных величин сил инерции и сил вязкости. Силы инерции приводят к сближению первоначально удаленных друг от друга объемов жидкости и тем самым способствуют образованию резких неоднородностей течения. Силы вязкости, наоборот, приводят к выравниванию скоростей в близких точках, т. е. к сглаживанию мелких неоднородностей. Поэтому при малых когда силы вязкости доминируют над силами инерции, в потоке не может быть резких неоднородностей, т. е. гидродинамические поля изменяются весьма плавно, и течение имеет ламинарный характер. При больших наоборот, сглаживающее действие

сил вязкости оказывается слабым и в потоке возникают беспорядочные пульсации — резкие мелкомасштабные неоднородности, т. е. течение становится турбулентным. Этими соображениями и объясняется критерий Рейнольдса.

Для экспериментальной проверки указанного критерия и для измерения Рейнольдс провел серию опытов с течениями воды в стеклянных круглых трубах. В этих опытах на оси трубы у ее входа помещался источник красящего вещества. Окрашенная вода при малых принимала форму тонкой четко очерченной струйки, что указывало на ламинарный режим течения. При возрастании в момент перехода через критическое значение форма окрашенной струйки резко изменялась: уже недалеко от входа в трубу струйка расширялась и на. ней появлялись волны, затем появлялись отдельные, вихри и к концу трубы окрашенной оказывалась вся жидкость. Если в таком опыте осветить поток электрической искрой, то можно видеть, что окра шенная масса состоит из более или менее отчетливых завитков, указывающих на наличие завихренности. При докритических числах близких к в ламинарном потоке наблюдаются переходные явления, заключающиеся в появлении впервые наблюдавшихся еще Рейнольдсом кратковременных вспышек пульсаций высокой частоты, в форме своеобразных «турбулентных пробок», заполняющих все сечение трубы, но на небольших отрезках ее длины (появление таких «вспышек» позже Щиллер (1934) связал с чередующимся образованием и разрушением крупных вихрей на внутренней стенке трубы у ее передней кромки). Аналогичный характер имеет течение в начальном участке трубы и при причем с увеличением длина этого начального участка, на протяжении которого течение еще оказывается не полностью турбулентным, быстро уменьшается. Согласно измерениям Ротта (1956), при таком промежуточном режиме средняя доля времени, в течение которого в данной точке трубы наблюдается турбулентный режим («коэффициент, перемежаемости»), монотонно возрастает с увеличением расстояния х от входа в трубу. Имеющиеся экспериментальные данные (наиболее детальные из которых принадлежат Линдгрену (1957, 1959)) позволяют объяснить это возрастание тем, что местная скорость на переднем крае «турбулентной пробки» превосходит местную скорость на ее заднем крае, и поэтому «пробки» растягиваются при своем передвижении по трубе (и некоторые из них иногда «догоняют» друг друга и сливаются, образуя одну большую пробку).

Опыты Рейнольдса производились с трубами различных диаметров с плавным входом, соединяющимся с резервуаром. Изменения числа средняя скорость течения)

в этих опытах достигались как переходом к новой трубе (с другим диаметром так и варьированием скорости течения и кости боды (путем изменения ее температуры). Значение в указанных опытах оказалось равным в среднем 12830 с относительно небольшим разбросом по данным отдельных опытов.. Дальнейшие исследования показали, однако, что значение соответствующее переходу от ламинарного течения к турбулентному, в различных опытах может оказаться очень разным, так как оно сильно зависит от степени возмущенности ламинарного течения (или, как говорят, от «начальной турбулентности», которая определяется главным образом условиями на входе в трубу. Абсолютно стационарного ламинарного течения в трубах осуществить не удается и в потоке всегда существуют возмущения, характеризующиеся сравнительно редкими пульсациями скорости, происхождение которых частично связано с вихрями, отрывающимися от передней кромки трубы. Интенсивность этих возмущений (которую можно характеризовать параметром где типичная величина пульсаций х-компоненты скорости) может быть довольно большой, но вследствие своей малой повторяемости эти возмущения не меняют ламинарного характера течения и не сказываются существенно на профиле скорости, величине сопротивления и других средних характеристиках потока. При достаточно малых числах Рейнольдса возникшие возмущения, перемещаясь вниз по течению, затухают. Но при возрастании числа Рейнольдса в момент достижения его критического значения (зависящего от интенсивности возмущений, а также, возможно, от их масштаба и частоты) возмущения скачкообразно порождают турбулентность. Установлено, что значение соответствующее переходу ламинарного течения в турбулентное, оказывается тем меньше, чем больше интенсивность возмущений. Так, например, в случае трубки с острыми краями, вставленной сосуд с плоской стенкой, края трубки создают значительные возмущения и оказывается равным уже, примерно, 2800. Уменьшая же с помощью тех или иных приемов степень возмущенности течения у входа в трубу, можно задержать переход ламинарного течения в турбулентное до весьма больших чисел Рейнольдса (это явление называется затягиванием ламинарного режима), Так, Барнесу и Кокеру (1905) удалось задержать возникновение турбулентности в трубах до значения а Экману (1911) — даже до

Эти результаты показывают, что число Рейнольдса само по себе еще не является однозначным критерием возникновения турбулентности: для течения в трубе, по-видимому, вообще нельзя указать такого универсального критического значения

чтобы при режим течения обязательно был турбулентным. Чтобы установить значение являющееся верхней границей для чисел Рейнольдса ламинарного течения, нужно иметь сведения о степени возмущенности ламинарного течения, и указанная верхняя граница чисел будет функцией от параметра (монотонно возрастающей при убывании этого параметра).

Без сведений о степени возмущенности ламинарного потока можно установить лишь более слабый критерий, указывающий условия, при которых возможен только ламинарный режим течения. Для этого нужно определить критическое число Рейнольдса соответствующее переходу от ламинарного режима к турбулентному при наибольшей возможной степени возмущенности ламинарного течения у входа в трубу. При поток будет всегда оставаться ламинарным, т. е. любые возмущения, как бы интенсивны они ни были, будут затухать.

Опыты для измерения были поставлены еще самим Рейнольдсом. Поскольку в таких опытах необходимо вводить в трубу возможно более возмущенную жидкость, то ясно, что для обнаружения перехода от ламинарного режима к турбулентному метод окрашенных струек здесь непригоден. Поэтому переход к турбулентности здесь приходится определять иначе (например, по изменению закона сопротивления, определяющего зависимость средней скорости от перепада давления). В опытах Рейнольдса минимальное критическое значение числа оказалось равным Близкие значения (лежащие в пределах от 1900 до 2320) были получены и всеми последующими исследователями.

Сходные во многих отношениях результаты об условиях возникновения турбулентности получаются и при изучении течений в пограничных слоях, образующихся при обтекании тел вязкой жидкостью. Рассмотрим, например, пограничный слой, образующийся при обтекании плоской пластинки потоком с постоянной скоростью направленной параллельно пластинке. Число Рейнольдса пограничного слоя можно определить, например, формулой где — толщина пограничного слоя. Можно также вместо этого использовать легче измеряемое число где х - расстояние вдоль потока от переднего края пластинки. Числа связаны функциональной зависимостью; например, при ламинарном течении согласно результатам п. 1.4 (см. формулу (1.49) на стр. 54). Вниз по течению оба числа растут, и в некоторой точке они достигают «критического значения», при котором течение резко изменяет характер и становится турбулентным. Таким

образом, при (точнее говоря, при течение в пограничном слое является ламинарным, а при турбулентным. Непосредственно вблизи образуется «переходная область», где наблюдаются лишь отдельные «вспышки» турбулентности, возникающие в виде небольших «турбулентных пятен», увеличивающихся в размере и сливающихся друг с другом по мере своего продвижения вниз по течению (см., например, Шлихтинг (1959), § 14, а также Элдер (I960)). Появление «турбулентных пятен» приводит к тому, что в точках переходной области имеет место перемежающееся чередование во времени ламинарного и турбулентного режимов, причем в начале этой области и частота появления и продолжительность существования турбулентного режима незначительны, а у ее конца ламинарный режим возникает уже лишь очень редко и на весьма короткие промежутки времени.

Первые измерения критического числа Рейнольдса пограничного слоя были выполнены в 1924 г. Бюргерсом и Ван дер Хегге Цийненом, изучившими в аэродинамической трубе обтекание воздушным потоком плоской стеклянной пластинки. Несколько позже аналогичные измерения были произведены также Ханзеном (1928) (см., в частности, рис. 4 на стр. 56). Согласно данным этих авторов,

что, очевидно, соответствует значениям

имеющим тот же порядок величины, что и значения для течения в трубе. В дальнейшем выяснилось, что, как и в случае течений в трубах, критическое число Рейнольдса пограничного слоя существенно зависит от степени возмущенности основного потока — в зависимости от которой число может меняться в пределах от почти до (см. рис. 7, иллюстрирующий зависимость от где принимается равным среднему квадрату абсолютной величины пульсаций скорости набегающего потока. Заметим, однако, что рис. 7 оставляет впечатление, что при неограниченном убывании значение не возрастает неограниченно, а стремится к определенному пределу (порядка ), выше которого пограничный слой будет турбулентным при сколь угодно малой степени возмущенности набегающего потока. С другой стороны, в случае течения в круглой трубе эксперимент не показывает резкого замедления роста при приближении к нулю; поэтому представляется правдоподобным, что здесь при

что при любом значении течение в трубе может оставаться ламинарным, если только удастся обеспечить достаточно низкий уровень возмущенности потока у входа в трубу). Об этом важном различии течений в пограничном слое и в трубе мы еще будем подробнее говорить в п. 2.8.

Рис. 7. Зависимость критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на плоской пластинке от степени возмущенности набегающего потока (по Драйдену (1959)). Разными значками на рисунке отмечены данные разных экспериментаторов.

С турбулизирующим влиянием возмущений в обтекающем потоке связано также то, что критическое число Рейнольдса оказывается заметно меньшим при обтекании шероховатых пластинок, содержащих естественные или искусственные неровности, создающие дополнительные возмущения. Согласно данным многочисленных измерений, даже одна-единственная неровность может вызвать переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, если только высота этой неровности имеет тот же порядок, что и «толщина вытеснения» пограничного слоя в ее окрестности. Еще более значительное влияние оказывает наличие множества неровностей, разбросанных по всей плоскости (см., например, Шлихтинг (1959), гл. X, или Драйден (1959), § 5). Очень существенно меняет значение также наличие хотя бы небольших продольных градиентов давления в обтекающем потоке. На этом, однако, мы не будем здесь задерживаться, а ограничимся лишь рассмотрением одного специального эффекта, связанного с наличием отрицательного продольного градиента давления, к которому мы сейчас и перейдем.