Теория неустойчивости для плоскопараллельных течений вязкой жидкости

Вернемся теперь снова к более сложному случаю течений вязкой жидкости; плотность, как обычно, будет считаться постоянной. В этом случае уравнение Орра — Зоммерфельда (2.28) имеет чисто дискретный спектр, и, по-видимому, нет оснований для сомнений в том, что любое решение уравнения (2.26) может быть представлено в виде суперпозиции «плоских волн» вида (2.27). Поэтому здесь вполне можно ограничиться изучением обычной задачи на собственные значения для уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28). Первые попытки такого изучения, предпринятые (с помощью не очень строгих математических методов) около 1910 г. рядом авторов (В. Орр, А. Зоммерфельд, Р. Мизес, Л. Хопф и др.) в применении к плоскому течению Куэтта с линейным профилем скорости, привели к выводу, что это течение является устойчивым при всех числах Рейнольдса. Этот вывод казался, с одной стороны, довольно естественным (так как Орром (1906—1907) было доказано, что при отсутствии вязкости течение Куэтта устойчиво, а действие вязкости, естественно, предполагалось стабилизирующим); но, с другой стороны, он явно противоречил эмпирическим фактам о турбулизации всех известных течений при достаточно больших числах Рейнольдса. В начале 20-х годов Прандтль (1921) и Титьенс (1925) рассмотрели вопрос обустойчивости течений с профилем скорости, составленным из отрезков прямых, и пришли к совсем неожиданному выводу, что при наличии вязкости такие течения будут неустойчивыми при любых (в том числе и сколь угодно малых) числах Рейнольдса. В те же годы появилась большая работа Гейзенберга (1924), посвященная исследованию с помощью метода малых колебаний устойчивости плоского течения Пуазейля. В этой работе с помощью тонкого исследования асимптотического поведения решения соответствующего уравнения Орра Зоммерфельда при большом (т. е. малом был получен казавшийся в то время парадоксальным (но оказавшийся тем не менее правильным) результат о том, что течение Пуазейля, которое при отсутствии вязкости будет устойчивым по отношению к малым возмущениям, в случае вязкой жидкости при достаточно больших числах Рейнольдса становится неустойчивым. Результат Гейзенберга, однако, долго вызывал серьезные сомнения, и доказательства устойчивости

плоского течения Пуазейля продолжали публиковаться еще много лет (по-видимому, последнее такое «доказательство» было дано Пекерисом в 1948 г.).

В работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол; при этом впервые удалось получить форму «кривой нейтральных возмущений» на плоскости отделяющую область устойчивых возмущений от неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933 а, б; 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных потоков была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее, сложность используемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.28) приводит к тому, что еще до сих пор полученные результаты в некоторых отношениях нельзя считать окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имеют особенность в точке в которой , в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, но построение таких разложений пока наталкивается на большие трудности (см., например, Линь и Бенни (1962)).

Выше мы уже отмечали, что, строго говоря, плоскопараллельный поток вязкой жидкости может быть лийь комбинацией течений Куэтта и Пуазейля. В настоящее время мало кто сомневается в том, что плоское течение Куэтта является устойчивым по отношению к любым бесконечно малым возмущениям; но строго этот факт, по-видимому, до сих пор никем не был доказан. Большинство относящихся сюда исследований использует некоторые асимптотические соотношения для рассмотрения предельных случаев (обычно случаев очень большого числа Рейнольдса), в то время как для не слишком больших значений параметров применяется прямой численный расчет собственных значений соответствующего уравнения (2.28). Такой подход был систематически развит еще Саусвеллом и Читти (1930) (ограничившимися, впрочем, лишь чисто мнимыми собственными значениями в соответствии с «принципом смены устойчивости»), В последние годы он достиг очень большого развития в связи со значительным усовершенствованием техники асимптотических оценок и применением для численных расчетов быстродействующих электронных

вычислительных машин (см., например, Вазов (1953), Гроне (1954), Риис (1962), Галлахер и Мерсер (1962, 1964), Дирдорф (1963)). Во всех перечисленных работах были обнаружены лишь устойчивые волновые возмущения плоского течения Куэтта. Это делает очень правдоподобным, что неустойчивых возмущений здесь вообще не существует, но не позволяет все же считать проблему окончательно решенной, так как вся область значений параметров, к которой не приложимы асимптотические оценки, еще не исчерпана. По-видимому, единственный точный математический результат, относящийся к собственным значениям уравнения (2.28) с при произвольных числах Рейнольдса, принадлежит Дикому (1964), доказавшему (без применения численных расчетов), что чисто мнимые собственные значения с этого уравнения все удовлетворяют неравенству (где - число Рейнольдса, построенное по значению полуширины канала и максимальной скорости течения Этот результат, в частности, показывает, что переход к неустойчивости здесь никак не может происходить с соблюдением «принципа смены устойчивости», но и он не гарантирует, что неустойчивость вообще невозможна.

Значительно более, удовлетворительным представляется положение в отношении плоского течения Пуазейля. Здесь, после того как тщательные расчеты Линя, основанные на асимптотических разложениях, специального типа, применимых при больших подтвердили основной вывод Гейзенберга о неустойчивости этого течения и позволили найти форму кривой нейтральных возмущений эти результаты были еще раз проверены Томасом (1953) с помощью численного решения соответствующей задачи на собственные значения, а затем частично также и Локком (1955), использовавшим усовершенствованную форму асимптотических разложений. Результаты всех этих расчетов оказались вполне удовлетворительно совпадающими друг с другом (см., например, рис. 14). В дальнейшем Шэнь (1954) рассчитал по методу Линя для этой задачи также и форму кривых определяющих совокупность возмущений с заданной быстротой возрастания. Форма «нейтральной кривой» где максимальная скорость невозмущенного течения, найденная Линем и Локком, показана на рис. 14. Критическое число Рейнольдса (отвечающее самой левой точке этой кривой) оказалось равным примерно 6000 по данным Локка и

примерно 5300 по данным Линя, причем ему у обоих исследователей отвечает значение (близкие значения были получены также Томасом). При обе ветви нейтральной кривой (и верхняя и нижняя) стремятся к нулю (верхняя ветвь асимптотически пропорционально а нижняя — пропорционально Таким образом, при увеличении возмущения с фиксированным (но не слишком большим) сначала оказываются в области устойчивости (т. е. затухают), затем попадают в область неустойчивости, а в конце концов снова оказываются в области устойчивости.

Рис. 14. Форма нейтральной кривой на плоскости для плоского течения Пуазейля по расчетам Линя (1945) и Локка (1955).

Отсюда понятно, почему в пределе при (т. е. течение оказывается устойчивым относительно любых возмущений.