5.8. Полуэмпирические теории турбулентности

Мы уже указывали в п. 5.1, что в случае турбулентных течений законы механики выражаются системой уравнений Рейнольдса, число неизвестных в которой превосходит число уравнений. Поэтому уравнения Рейнольдса позволяют лишь сделать вывод о наличии определенных связей между различными статистическими характеристиками турбулентности, но они не могут быть «решены» в обычном смысле этого слова. Таким образом, при выборе решений уравнений Рейнольдса, имеющих физический смысл, какие-то функции, описывающие турбулентность, обязательно должны быть заданы независимо от этих уравнений. В некоторых случаях вид таких функций может быть найден (с точностью до небольшого числа эмпирически определяемых констант) исходя из соображений размерности; чаще, однако, использование соображений размерности все равно приводит к соотношениям, содержащим неизвестные функции, которые приходится затем находить по данным экспериментов. Общее число таких неизвестных функций, необходимых для описания различных турбулентных течений, встречающихся в природе или в инженерно-технических устройствах, весьма велико; поэтому естественно, что многие исследователи стремились свести определение этих функций к нахождению небольшого числа связей между статистическими характеристиками турбулентности, применимых сразу ко многим различным течениям. Теории турбулентности, использующие наряду со строгими уравнениями гидромеханики также некоторые дополнительные связи, найденные чисто эмпирически по данным экспериментов или же выведенные с помощью качественных рассуждений наглядно-физического характера и затем

проверенные на опыте, называются полуэмпирическими теориями. Разумеется, все эти теории с точки зрения «чистой» теоретической физики должны рассматриваться как нестрогие, но для исследований в области турбулентности они очень характерны; в развитии наших представлений о турбулентных течениях полуэмпрические теории сыграли очень большую роль, и многие из них до сих пор продолжают широко использоваться в технике. Поэтому представляется целесообразным дать здесь хотя бы краткое представление об основных идеях важнейших полуэмпирических теорий, предложенных Буссинеском -тлем (1925), Тэйлором (1915, 1932) и Карманом (1930). Этому и будет посвящен настоящий пункт; дальнейшее развитие такого подхода к теории турбулентности и некоторые конкретные примеры применения полуэмпирических теорий будут рассмотрены в следующем параграфе.

Незамкнутость системы уравнений Рейнольдса относительно средних значений гидродинамических полей вызывается наличием в ней дополнительных членов, содержащих турбулентные напряжения (напряжения Рейнольдса). Отсюда ясно, что простейший путь замыкания этой системы уравнений состоит в установлении связей между осредненными гидродинамическими полями, с одной стороны, и напряжениями Рейнольдса, с другой стороны, позволяющих выразить последние величины через первые. Ниже мы перечислим несколько связей такого рода, предложенных различными исследователями в разное время.

Будем рассматривать лишь простейшие плоскопараллельные течения, в которых отлична от нуля только компонента средней скорости зависящая лишь от координаты z (или, что почти то же самое, течения в круглой трубе, в которых средняя скорость и всюду направлена вдоль оси и зависит лишь от расстояния до стенки трубы). В таком случае уравнения Рейнольдса будут иметь вид (5.16) (или аналогичный вид в полярной системе координат); поэтому профиль средней скорости здесь будет определяться одним уравнением (первым уравнением (5.16) или уравнением (5.17)), содержащим одно-единственное дополнительное неизвестное

Следовательно, для определения функции надо только уметь выразить через и

Простейшее возможное предположение о связи турбулентного напряжения с профилем это предположение Буссинеска (1897) о существовании соотношения вида (5.5), содержащего некоторый коэффициент турбулентной вязкости К. Собственно говоря, само по себе соотношение (5.5) даже не является предположением и не устанавливает новой

связи; оно только заменяет неизвестное новым неизвестным Если, однако, предположить, что К зависит от координат каким-либо определенным образом, то при этом мы сразу приходим к полуэмпирической теории, основанной на некоторой гипотезе и допускающей проверку на опыте.

Самое простое допущение о величине К состоит в том, что ее значение просто считается постоянным. Легко понять, однако, что в применении к течению в плоском канале или круглой трубе это допущение приводит к заведомо неверным результатам. В самом деле, при уравнения для средней скорости турбулентного течения отличались бы от соответствующих уравнений для ламинарного течения лишь числовым значением коэффициента вязкости, и, следовательно, из них следовало бы, что профиль скорости и в этом случае должен быть параболическим. В то же время известно, что такой профиль не соответствует данным экспериментов (ср. рис. 32 на стр. 258).

В полученном противоречии, разумеется, нет ничего неожиданного — хорошо известно, что при приближении к стенке коэффициент К должен стремиться к нулю (и притом даже не медленнее, чем третья степень расстояния от стенки; см. стр. 228): поэтому предположение о постоянстве К никак не может быть применено к течению при наличии твердых стенок. Однако в некоторых задачах, касающихся, например, турбулентных струй, распространяющихся в безграничном пространстве, или турбулентности в свободной атмосфере, предположение оказывается не столь уж плохим. В этих случаях подстановка соотношения (5.5) с постоянным К в уравнение Рейнольдса приводит к полуэмпирическому уравнению, содержащему неизвестный параметр К, который следует определять по данным наблюдений, и которому в разных случаях приходится приписывать весьма различные значения.

В случае течений, ограниченных стенками, нельзя считать, что но здесь в ряде случаев можно выдвинуть другие разумные гипотезы о коэффициенте турбулентной вязкости К, позволяющие доопределить соответствующие уравнения Рейнольдса. Так, например, в случае плоскопараллельного течения около плоской стенки (но не слишком близко от нее — за пределами вязкого подслоя) к хорошим результатам приводит гипотеза о пропорциональности коэффициента К расстоянию до стенки: из нее немедленно вытекает логарифмическая формула (5.22) для профиля скорости, согласующаяся с выводами из соображений размерности. Для течений в трубах, каналах и пограничном слое также был предложен ряд гипотез о зависимости расстояния до стенки в качестве примера можно

указать на заметку Госса (1961), в которой показано, что для труб и пограничного слоя к неплохо согласующимся с опытом результатам приводит предположение о пропорциональности К функции где радиус трубы или толщина пограничного слоя. В непосредственной близости от стенки взаимодействие процессов молекулярного и турбулентного трения приводит к зависимости вида некоторые полуэмпирические гипотезы о виде функции были предложены Дейслером (1955), Рэнни (1956), Левичем (1959) и другими авторами (см.выше стр.237-238). В приземном слое атмосферы при устойчивой термической стратификации, коэффициент К по всем имеющимся данным с ростом высоты z сначала возрастает почти линейно, а затем это возрастание становится более медленным, и при достаточно больших z турбулентную вязкость можно считать практически постоянной. В соответствии с этим разными исследователями был предложен ряд формул для , согласующихся с указанными здесь общими закономерностями (см., например, Юдин и Швец (1940), Дородницын (1941), Берлянд (1947)). Каждой из этих формул отвечает свой вариант полуэмпирической теории, позволяющий (после определения по данным наблюдений всех параметров, входящих в выбранную формулу для с той или иной точностью рассчитать изменение скорости ветра с высотой и решить некоторые другие интересные для метеорологии задачи.

При исследовании закономерностей переноса пассивных консервативных примесей в турбулентном потоке роль турбулентного напряжения играет турбулентный поток массы или тепла а роль коэффициента К — коэффициент определяемый соотношением (5.9). По поводу этого коэффициента можно дословно повторить все то, что выше говорилось о коэффициенте К (см., в частности, ниже § 10, где в связи с обсуждением вопроса о диффузии в атмосфере будут рассмотрены некоторые полуэмпирические теории, использующие определенную форму зависимости коэффициента от координаты ).

Часто, однако, понятие коэффициента турбулентной вязкости (или теплопроводности, или диффузии) ничем не облегчает задачу исследования турбулентных потоков в связи с тем, что выбор приемлемого допущения об этой величине наталкивается на большие трудности, и неясно, чем при таком выборе следует руководствоваться. Для облегчения этого выбора были разработаны некоторые другие полуэмпирические теории, во многих из которых основную роль играет понятие пути перемешивания,

введенное Прандтлем (1925) (в слегка отличной форме та же идея еще раньше высказывалась Тэйлором (1915)).

Применение понятия пути перемешивания легче всего проиллюстрировать на примере турбулентного переноса консервативной пассивной примеси Ф. Пусть средняя концентрация Ф зависит только от координаты так что основной интерес представляет перенос этой примеси по направлению оси Будем считать, что перенос осуществляется лишь турбулентными пульсациями скорости. Наглядно это можно представить себе так, что в среде случайным образом возникают отдельные струйки, переносящие примесь с одного уровня на другой. Будем считать, что каждая такая струйка проходит по направлению оси путь I и только после этого перемешивается с окружающей средой; в таком случае I и будет длиной пути перемешивания, Заметим теперь, что согласно принятому предположению на уровень z будут попадать только струйки, зародившиеся на уровне и двигающиеся вверх, или зародившиеся на уровне и двигающиеся вниз. Если еще считать, что перемешивание струйки происходит не постепенно, а сразу, то струйка, зародившаяся на уровне донесет до уровня z свою исходную концентрацию примеси, равную в среднем а струйка, зародившаяся на уровне донесет концентрацию, в среднем равную Таким образом, попав на уровень рассматриваемые струйки будут содержать примесь в концентрации, отличающейся от средней концентрации на этом уровне, т. е. будут приводить к появлению пульсации концентрации, равной Ясно, что струйкам, двигающимся вверх, отвечает положительное значение пульсационной вертикальной скорости а двигающимся вниз — отрицательное значение Поэтому если считать I также имеющим знак, положительный для струек, движущихся вверх, и отрицательный для струек, движущихся вниз, то

Отсюда видно, что коэффициент турбулентной диффузии очень просто выражается через длину пути перемешивания (являющуюся, вообще говоря, случайной величиной):

Формулу (5.86) можно попытаться использовать не только для подсчета потоков пассивных консервативных примесей, но и для описания турбулентного обмена импульсом. Эта идея

лежит в основе известной теории переноса импульса Прандтля (1925), предположившего, что для продольной компоненты импульса также существует определенный путь перемешивания I и, следовательно,

Длина V здесь, очевидно, в известном смысле аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов — она определяет путь, который проходит небольшой элемент жидкости («струйка»), прежде чем он перемешается с прочими жидкими частицами и передаст им свой импульс. В этом смысле формула (5.88) для К аналогична известному из кинетической теории газов выражению для коэффициента молекулярной вязкости: где длина свободного пробега, скорость теплового движения молекул. Разумеется, длина Г на много порядков больше, чем поэтому, несмотря на то, что обычно больше, чем формула (5.88) приводит к значениям К, намного превосходящим

Заметим теперь, что струйки, попадающие в слой z из слоев будут в среднем иметь продольную скорость и соответственно так что в обоих случаях они будут создавать пульсацию продольной скорости, близкую по абсолютной величине к Допустив далее, что пульсации вертикальной скорости по абсолютной величине близки к пульсациям продольной скорости и, так что

Прандтль представил турбулентное напряжение в виде

где I — новая длина, имеющая тот же порядок, что и среднее квадратичное значение случайной длины Знак абсолютной величины в формуле (5.89) поставлен для того, чтобы

напряжение всегда имело тот же знак, что и так как импульс всегда передается от слоев жидкости, двигающихся более быстро, к слоям, двигающимся более медленно. Длина I в формуле (5.89), которая теперь уже не является случайной величиной, обычно также называется длиной пути перемешивания.

Формула (5.89) позволяет представить коэффициент турбулентной вязкости в виде

где I — длина, которая, вообще говоря, зависит от координат и характеризует масштаб турбулентности (средний размер турбулентных возмущений) в данной точке. После этого определение профиля средней скорости требует лишь задания явного вида зависимости длины I от координат. Поскольку при течении около бесконечной плоской стенки, характеризуемом постоянным значением х, в области за пределами вязкого подслоя не существует никакого масштаба длины, всякая величина размерности длины должна быть здесь пропорциональной расстоянию от стенки. Полагая из (5.89) получим, что т. е. (см. Прандтль (1932б)).

Таким образом, мы снова пришли к логарифмическому закону для профиля скорости, который, как мы видели, прекрасно подтверждается на опыте. Для течения в плоском канале или в круглой трубе в качестве первого приближения можно даже предположить, что соотношение остается справедливым вплоть до середины канала или оси трубы. Подставляя это соотношение в (5.89) и заменяя здесь левую часть значением (5.17) или (5.17) (т. е. снова отождествляя получим дифференциальное уравнение относительно которое при соответственном подборе постоянной к приводит к профилю скорости, неплохо соответствующему данным опыта в значительной части сечения канала или трубы (см. Гольдштейн (1938)). Однако непосредственно вблизи от центра канала или трубы это приближение оказывается явно неприемлемым; здесь значительно лучше считать путь перемешивания приблизительно постоянным. Полагая, например, для трубы радиуса что в силу формул (5.17) и (5.89) будем иметь

Интегрируя это уравнение при краевом условии получим

Последний результат, как показал еще Дарси (1858), при хорошо соответствует экспериментальным данным в области (см. стр. 259). Наконец, для того чтобы получить совпадение с опытными данными при всех значениях вне пределов вязкого подслоя, в случае течения в круглой трубе следует положить

(Никурадзе Последняя формула при принимает вид я» а при она обращается в соотношение т. е. она может рассматриваться как интерполяционная формула между выражениями для I вблизи стенки и в центре. Близкое распределение I по сечению трубы предложил также Обухов (1942), высказавший одновременно некоторую гипотезу о длине I, позволяющую находить ее зависимость от координат для труб любого сечения. Непосредственно около стенки (в пределах вязкого подслоя) по-видимому, должно убывать при убывании z быстрее, чем по линейному закону; гипотезы о поведении в этой области течения предлагались Ротта (1950), Хама (1953), Ван Дристом (1956) и другими авторами.

В дальнейшем Прандтль указал некоторые обобщения теории переноса импульса, применимые, например, к трехмерным течениям (ср. Гольдштейн (1938), § 81) или же учитывающие возможность того, что при турбулентная вязкость в противоречии с (5.90) будет все же отлична от нуля (Прандтль (1942)). Мы здесь, однако, не будем останавливаться на этих обобщениях, а перейдем сразу к предложенной Тэйлором теории переноса вихря — второй основной полуэмпирической теории.

Появление этой теории было связано с попыткой учета влияния пульсаций давления на перемещающиеся жидкие частицы, приводящего к изменению их импульса и поэтому не позволяющего считать импульс консервативной примесью, сохраняющейся при перемещении элементов жидкости. Исходя отсюда, Тэйлор

(1915), впервые вводя понятие «пути перемешивания», в отличие от Прандтля предположил, что «путь перемешивания» должен существовать для вихря скорости, а не для импульса; впоследствии эту идею он развил более подробно (см. Тэйлор (1932)).

Идея Тэйлора наиболее обоснована для двумерного потока, в котором, как известно, в отсутствие вязкости вихрь бкорости переносится при движении жидких частиц без изменения. Поэтому единственная компонента вихря двумерного потока с полем скорости и всюду вне вязкого подслоя является консервативной величиной. Турбулентное напряжение трения двумерного потока со средней скоростью всюду параллельной оси удовлетворяет соотношению

(здесь использовано уравнение неразрывности для пульсаций ди скорости; В случае потока, однородного вдоль оси производные по х от осредненных величин будут равны нулю; следовательно, в этом случае

Введем теперь путь перемешивания для вихря так что тогда Что же касается величины то ее, как и в теории Прандтля, представим в виде где случайная длина пути перемешивания для скорости. Заметив, что в рассматриваемом случае и значит, окончательно получаем

где характерная длина, играющая в теории Тэйлора ту же роль, что и длина в теории Прандтля. Разумеется, если учитывать, что на самом деле возмущения поля скорости плоскопараллельного потока могут быть и трехмерными,

то приведенный вывод формулы (5.93) теряет свою убедительность — при этом указанную формулу приходится рассматривать лишь как эмпирическую связь, допускающую проверку на опыте. Формула (5.93) также допускает некоторые дальнейшиё обобщения (см., например, Тэйлор (1935в) или Гольдштейн (1938); §§ 84—85); на этом, однако, мы здесь не будем задерживаться.

Если то формула (5.93) оказывается точно эквивалентной формуле Прандтля (5.89). В самом при интегрируя (5.93) по получим что совпадает с формулой Прандтля, если положить Вообще же теория Тэйлора приводит к несколько иным результатам, чем теория Прандтля. В применении к напорным течениям в плоском канале или круглой трубе теория Тэйлора (где приходится считать, что в случае канала и в случае трубы) позволяет получить зависимость средней скорости от которая почти вплоть до самой середины канала или центра трубы неплохо согласуется с опытными данными (см. Гольдштейн (1938), §§ 156—157).

Аналогично выводу формулы (5.89), при помощи подстановки соотношения в равенство (5.86) можно вывести равенство

где еще одна длина пути перемешивания, характеризующая теперь уже перенос пассивной консервативной примеси Соотношение между длинами и I (или определяет значение турбулентного числа Прандтля (или величины например, в области течения, в которой можно положить значению отвечает в то время как при получается Теоретически, разумеется, длина не обязана совпадать ни с ни с так что нельзя считать (как это иногда делается), что из теории переноса импульса вытекает значение а из теории переноса вихря — значение на самом деле соотношение между длинами можно пытаться определить лишь на основании данных экспериментов.

Как теория переноса импульса Прандтля, так и теория переноса вихря Тэйлора не решают полностью вопроса о связи

между напряжениями Рейнольдса и полем средней скорости, так как в этих теориях вводится новая величина — длина пути перемешивания, определение которой для всех точек течения требует привлечения дополнительных гипотез. Весьма общей гипотезой, позволяющей, в частности, во всех случаях установить связь между длиной I и осредненным полем скорости, является предложенная Карманом (1930) гипотеза о локальном кинематическом подобии поля турбулентных пульсаций скорости. Согласно этой гипотезе поля турбулентных пульсаций скорости в окрестности каждой точки развитого турбулентного течения (за исключением лишь точек тонкого «вязкого подслоя» около стенок, в котором непосредственно проявляется действие вязкости) подобны друг другу и отличаются лишь масштабами длины и времени (или, что то же самое, длины и скорости). Чтобы записать эту гипотезу математически, введем в окрестности каждой точки потока подвижную систему отсчета, движущуюся со скоростью, равной средней скорости в данной точке; в таком случае координатами в этой системе отсчета будут компоненты вектора Согласно гипотезе Кармана, в каждой точке могут быть определены такой масштаб длины и такой масштаб скорости что в окрестности этой точки поле турбулентных пульсаций скорости будет иметь вид

где функция универсальна, т. е. не зависит от точки (а следовательно, и от поля средней скорости и Таким образом, в теории Кармана связь между характеристиками турбулентных пульсаций и полем осредненной скорости имеет место лишь благодаря зависимости масштабов от поля

Чтобы определить зависимость масштабов от средней скорости течения в случае плоскопараллельного стационарного течения со средней скоростью всюду направленной вдоль оси и зависящей лишь от можно воспользоваться уравнением (1.7) для вихря скорости, у-компонента которого в прене брежении вязкостью будет иметь вид

Подставляя в это уравнение значение полной скорости и -единичный вектор оси а относительных

безразмерных координат (и предполагается, что можно перейти от уравнения (5.96) к некоторому уравнению относительно неизвестных с коэффициентами, содержащими величины и Их рроизводные по Согласно принятой гипотезе об универсальности функций коэффициенты последнего уравнения не должны зависеть от Таким образом, могут быть получены соотношения

(см., например, Гольдштейн (1938), § 158 или Шлихтинг (1951), гл. XIX, § 5, где соответствующий вывод подробно проведен для частного случая двумерного поля Отсюда вытекает, что

где и В — универсальные постоянные (которым, вообще говоря, можно придать любое значение, так как масштабы пока определены лишь с точностью до произвольного множителя)

Первое из соотношений (5.97), очевидно, может быть выведено и непосредственно с помощью соображений размерности, если потребовать, чтобы длина I зависела лишь от и второе соотношение таким же образом получается из предположения, что и и зависит только от и или от

Длина I является, очевидно, аналогом длины пути перемешивания в теориях Прандтля и Тэйлора. В самом деле, в силу (5.95) и (5.97)

где Аналогично этому показывается, что

где теперь уже const имеет другое значение. Разумеется, если заменить единицей в равенстве (5.98) или (5.99), т. е. отождествить длину I с длиной пути перемешивания для импульса или для вихря, то после этого постоянную к в первом равенстве (5.97) уже нельзя выбирать произвольно, а надо определять, исходя из экспериментальных данных.

Гипотеза Кармана, выраженная соотношением (5.95), при ее буквальном понимании налагает на турбулентные пульсации скорости непомерно жесткие ограничения, не согласующиеся с естественным представлением о нерегулярности изменений пульсационной скорости в пространстве и во времени. Как будет видно из дальнейшего, гипотеза о локальном самоподобии оказывается приемлемой не для индивидуальных реализаций поля пульсационной скорости, а лишь для статистических характеристик такого поля (см. гл. 8 в ч. 2 книги, посвященную гипотезам подобия, предложенным А. Н. Колмогоровым). Существенно, однако, что основные результаты (5.97) теории Кармана могут быть выведены и при гораздо более слабых предположениях; как мы уже видели, в некотором смысле они являются естественными следствиями соображений размерности. Укажем еще, что, как показал Лойцянский (1935), для вывода формул (5.97) гипотезу о локальном самоподобии достаточно применить к среднему полю скорости, потребовав, чтобы в каждой точке был определен такой масштаб для которого при с точностью до малых третьего порядка относительно I выполняется условие

В самом деле, с указанной степенью точности имеем

Так как согласно принятой гипотезе последнее выражение не должно зависеть от то I, очевидно, должно удовлетворять первому равенству (5.97); после этого из условия независимости

от отношения

выводится также и равенство (5.98).

Для безнапорного плоскопараллельного течения над безграничной плоскостью с постоянным напряжением трения соотношение Кармана (5.97) для I в соединении с формулой Прандтля (см. (5.98)) дает

Отсюда снова получается логарифмический профиль средней скорости:

(исторически именно так он и был выведен впервые). В случае напорного течения в плоском канале или круглой трубе наряду с формулами и следует использовать еще соотношения (5.17) или (5.17). При этом удается получить формулы для профиля которые при специальном выборе постоянной х (различном для канала и для трубы) можно привести в удовлетворительное соответствие с имеющимися опытными данными (см. Гольдштейн (1938)).