Устойчивость некоторых плоскопараллельных течений в безграничном пространстве

В качестве конкретного примера течения с профилем, имеющим точку перегиба, рассмотрим плоскопараллельное течение в безграничном пространстве имеющее профиль вида

(см. рис. 19, а). Согласно расчетам Шлихтинга и Бикли (см., например, Шлихтинг (1951), гл. IX, § 6, или Цольдштейн (1938), т. I, § 57) формулой такого вида будет задаваться профиль продольной скорости в ламинарной плоской струе (бьющей из бесконечного тонкого линейного отверстия, расположенного вдоль прямой в пространство, заполненное той же жидкостью) на большом расстоянии от этого отверстия. При этом параметры и Н здесь будут лишь сравнительно слабо зависеть от х, а поперечная скорость будет мала по сравнению с продольной. Таким образом, плоскопараллельное течение с профилем (2.31) можно рассматривать

как модель плоской струи на большом расстоянии от выходного отверстия; именно этой связи его устойчивость и изучалась рядом авторов (в частности, Керлом (1956), Тацуми и Какутани (1958), Хоуардом (1959) и Кленшоу и Эллиоттом (I960)).

Определение нейтральной кривой на плоскости для течения с профилем (2.31), как всегда, сводится к исследованию задачи на собственные значения для соответствующего уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28), причем неограниченность этого течения позволяет даже немного упростить расчеты по сравнению со случаем течения между твердыми стенками (так как здесь надо рассматриватьтолько решения уравнения (2.28), затухающие на бесконечности).

Рис. 19. Схематические формы профилей скорости для некоторых плоскопараллельных течений в безграничном пространстве. а) Плоская струя; б) течение с поверхностью тангенциального разрыва скорости; в) и г) зона смешения двух плоских потоков разной скорости.

Кроме того, в силу симметричности профиля (2.31) все собственные функции здесь распадаются на четные и нечетные по z. Так как и эксперименты и предварительные расчеты показывают, что наиболее неустойчивыми всегда оказываются возмущения с четным то при детальных вычислениях можно ограничиться лишь областью и граничными условиями Результаты таких вычислений, проведенных двумя различными методами Керлом (1956) и Тацуми и Какутани (1958), представлены на рис. 20. Мы видим, что они в общем неплохо согласуются друг с другом (кроме области малых значений где метод Керла является недостаточно точным). Согласно рис. 20, при возмущения с оказываются неустойчивыми; кроме того, с ростом область неустойчивых эолновых чисел монотонно

расширяется, так что увеличение вязкости может оказывать лишь стабилизирующее действие на возмущенйя (в отличие от ситуации в случае течений с профилем скорости без точки перегиба). Критическое число Рейнольдса здесь принимает очень неболь значение (что также типично для течений с профилем скорости, имеющим точку перегиба): согласно тщательным численным расчетам Кленшоу и Эллиотта (1960), для профиля (заметим, что в реальных струях значение обычно достигается в области течения, в которой струю никак нельзя считать плоскопараллельной).

Рис. 20. Форма нейтральной кривой на плоскости для плоской струи по расчетам Керла (1956) и Тацумн и Какутани (1958).

Другой важный тип течений в безграничном пространстве с профилем скорости с точкой перегиба представляют собой течения, для которых при и при Простейшим течением такого типа является идеализированное течение с ломаным профилем скорости, изображенным на рис. 19, б; это течение описывает плоскую поверхность тангенциального разрыва скорости. Более реальные профили того же типа изображены на рис. 19, в и 19, г они качественно соответствуют ламинарной зоне смешения двух плоскопараллельных потоков, текущих с разными скоростями один над другим. Как мы уже говорили в п. 2.4, в пренебрежении вязкостью неустойчивость течения с профилем, изображенным на рис. 19, б, была строго доказана еще Гельмгольцем. Позже Рэлей подробно

исследовал вопрос об устойчивости течения невязкой жидкости с профилем, изображенным на рис. 19, в (а также и с некоторыми другими ломаными профилями, приближенно описывающими плоские струи; см. Рэлей (1894), т. 2, гл. 21); его результаты также указывают на неустойчивость всех рассматриваемых течений (в последние годы эти исследования Рэлея были продолжены Дразиным и Хоуардом (1962) и Михалке (1964)). С учетом вязкости устойчивость течения с профилем типа рис. 19, г была изучена Лессеном (1950); однако результаты Лессена относились только к случаю достаточно больших чисел Рейнольдса и фактически показали лишь, что здесь книге Линя (1955), исходя отсюда, было ошибочно предположено, что в этом случае по порядку близко к числу 20). Позже Эш (1957) исследовал численно задачу на собственные значения для уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28) с функцией изображенной на рис. 19, в, уже всех значений и впервые нашел, что течение с таким профилем скорости на самом деле при всех является неустойчивым (как показали Тацуми и Гото (1960), этот результат не связан со специальной формой профиля, рассматривавшейся Эшем, а относится к широкому классу профилей, соответствующих плоской зоне смешения двух потоков). Об общем характере нейтральной крйвой на плоскости для случая плоской зоны смешения дает представление рис. 21, на котором изображены результаты, полученные Бетчовым и Шевчиком (1963) (с помощью численного интегрирования соответствующего уравнения Орра-Зоммерфельда) для профиля (типа рис. 19, г).

Рис. 21. Расположение нейтральной кривой и области неустойчивости (на рисунке заштрихована) на плоскости для зоны смешения двух плоскопараллельных потоков по данным Бетчова и Шевчика (1963).