4.6. Однородные случайные поля

Прежде чем переходить к выяснению условий, при которых временные средние значения функций от стационарных случайных процессов сходятся к соответствующим теоретико-вероятностным средним, остановимся вкратце на вопросе о тех изменениях, которые надо внести в наши рассуждения, если исходить не из временного, а из пространственного осреднения. При этом, разумеется, следует рассматривать случайные

функции от точки случайные поля в трех мерном пространстве. Пространственные средние значения таких полей определяются равенством

Требуется определить, при каких условиях величина при (или же при выполнении хотя бы одного из этих предельных переходов) стремится в определенном смысле к теоретико-вероятностному среднему значению Ясно, что для этого прежде всего должно выполняться следующее условие, аналогичное (4.59):

т. е. теоретико-вероятностное среднее значение должно быть одинаковым во всех точках пространства. Точно так же для возможности определения с помощью пространственного осреднения корреляционной функции во всяком случае необходимо, чтобы эта функция зависела лишь от векторной разности своих аргументов:

Наконец, для того чтобы средние значения всевозможных функций от значений поля в нескольких точках можно было получить при помощи пространственного осреднения, требуется, чтобы Димерные плотности вероятности величин при любых зависели лишь от разностей т. е. не менялись при любом сдвиге (параллельном переносе) системы точек на один и тот же вектор у:

(в случае гауссовского поля равенство (4.67) уже вытекает из (4.65) и (4.66)). Поле удовлетворяющее условию (4.67), называется статистически однородным (или короче — просто однородным); таким образом, для того чтобы осреднение по пространству любых функций от значений случайного поля приводило к тем же результатам, что и осреднение по вероятности, рассматриваемое поле должно быть однородным. При рассмотрении более общих функций от значений нескольких

случайных полей приходится требовать, чтобы однородным было многомерное (векторное) поле и чтобы все плотности вероятности произвольных наборов значений компонент поля «И на некотором множестве точек пространства не менялись при одновременном сдвиге всех этих точек на один и тот же вектор у.

В приложении к полям гидродинамических характеристик турбулентного потока предположение об однородности всегда является математической идеализацией; точно оно никогда не выполняется. В самом деле, чтобы можно было говорить об однородности, необходимо, чтобы поток заполнял все неограниченное пространство, а уже одно это предположение само по себе в применении к реальным потокам всегда является идеализацией. Далее требуется, чтобы все средние характеристики потока (средняя скорость, давление, температура) были постоянными во всем пространстве и чтобы статистический режим пульсаций не менялся при переходе от одной части пространства к другой. Разумеется, все эти требования могут выполняться с удовлетворительной точностью лишь в пределах некоторых ограниченных областей пространства, малых по сравнению с масштабами макроскопических неоднородностей и достаточно удаленных от всех ограничивающих поток твердых стенок (или свободных поверхностей). Таким образом, на практике можно говорить лишь об однородности гидродинамических полей в некоторой определенной области, но не во всем безграничном пространстве. Тем не менее, при рассмотрении такой однородной в некоторой области турбулентности часто целесообразно считать ее частью однородного турбулентного потока, заполняющего все пространство: ценность подобного предположения связана со значительной математической простотой идеализированной схемы однородного случайного поля, существенно упрощающей теоретический анализ. Также и эргодическая теорема (т. е. теорема о сходимости пространственных средних к теоретико-вероятностным средним значениям может быть применена к однородным лишь в некоторой области случайным полям, если только размеры этой области достаточно велики (см. по этому поводу замечание на стр. 204, относящееся к стационарным случайным функциям).

О наиболее важном методе экспериментального осуществления турбулентного потока, весьма близкого к однородному, мы будем говорить в гл. 7 ч. 2 в связи с изучением однородной и изотропной турбулентности. Здесь мы только отметим, что наряду с полями, однородными во всем трехмерном пространстве, можно рассматривать также поля однородные лишь в некоторой плоскости (или вдоль некоторой оси), т. е. удовлетворяющие условию (4.67) для всех векторов у, принадлежащих определенной плоскости (или оси), но, вообще говоря, не удовлетворяющие этому условию для других у. Значения такого поля на любой плоскости или прямой, параллельной направлению Однородности, будут, очевидно, представлять собой однородное поле на этой плоскости или прямой; значения же на нескольких различных таких плоскостях или прямых можно рассматривать как многомерное однородное случайное поле на той же плоскости или прямой. Естественно ожидать, что осреднение по пространству часто может быть использовано и тогда, когда гидродинамические поля не являются однородными во всем пространстве, но однородными лишь в некоторой плоскости (или вдоль некоторой прямой); в этих случаях надо только рассматривать осреднение не по трехмерному объему, а лишь по соответствующей плоскости или прямой (т. е. трехкратный интеграл в (4.64) надо заменить двукратным или однократным).

В некоторых задачах теории турбулентности очень часто можно считать, что соответствующие гидродинамические поля являются однородными хотя бы в одном направлении или стационарными (или даже, что выполняются оба эти условия одновременно). Поэтому если бы удалось доказать, что во всех случаях при наличии стационарности или однородности теоретико-вероятностные средние значения можно заменять средними по времени или по пространству, то это имело бы очень большое практическое значение. На самом деле одной лишь стационарности или однородности, вообще говоря, еще недостаточно для сходимости временных или пространственных средних к средним значениям в смысле теории вероятностей. Тем не

менее, как мы сейчас покажем, условия, необходимые для того, чтобы такая сходимость имела место, носят столь общий характер, что в прикладных вопросах их почти всегда можно считать выполняющимися.