4.3. Случайные поля с нормальными распределениями вероятности (гауссовские поля)

Для случайных полей, так же как и для случайных величин, полное задание распределения вероятности предполагает, вообще говоря, задание всех моментов всевозможных порядков. Исключение в этом отношении могут представлять лишь случаи, когда имеются какие-то дополнительные сведения о распределениях вероятности, позволяющие по некоторым заданным моментам определить также и все остальные. Сейчас мы рассмотрим один частный, но очень важный случай такого рода, в котором, как оказывается, можно ограничиться заданием лишь моментов первого и второго порядков. А именно, мы рассмотрим случай, когда заранее известно, что рассматриваемое поле — гауссовское, т. е. что все распределения вероятности его значений являются многомерными нормальными распределениями (распределениями Гаусса).

Напомним, что -мерное распределение вероятности называется нормальным (или распределением Гаусса), если соответствующая плотность вероятности имеет вид

Здесь произвольные вещественные постоянные; вещественные постоянные такие, что положительно определенная матрица что при любых вещественных не все из которых равны нулю), а С - постоянная, определяемая из условия нормировки

(нетрудно проверить, что где Постоянные в формуле (4.23) просто

связаны с первыми и вторыми моментами рассматриваемого распределения. В самом деле, подставив выражение (4.23) в общие формулы (4.1) и (4.2), легко убедиться, что

где, как и выше, а — алгебраическое дополнение элемента в детерминанте (так что матрицы оказываются взаимно обратными). Из (4.25) получается также и выражение для обычных (не центральных) вторых моментов распределения (4.23):

Мы видим, что в случае нормального распределения вероятности первые и вторые моменты полностью определяют плотность вероятности; поэтому они определяют все вообще статистические характеристики соответствующих случайных величин и, в частности, все моменты высших порядков. Так как обычные (не центральные) моменты любого порядка просто выражаются через центральные моменты и средние значения, то достаточно рассмотреть здесь лишь вопрос о вычислении центральных моментов высших порядков. Нетрудно видеть, что все центральные моменты нечетных порядков нормального, распределения равны нулю; что же касается центральных моментов четных порядков, то они могут быть подсчитаны с помощью общего правила, выведенного Иссерлисом (1918). Согласно этому правилу, если — произвольные случайных величин (некоторые из которых могут и совпадать друг с другом), имеющих нормальное совместное распределение вероятности и нулевые средние значения, то

где сумма справа распространена на всевозможные разбиения индексов на К пар (нетрудно подсчитать, что число слагаемых в правой части (4.27) равно Отсюда следует, что при

где множители имеют тот же смысл, что и а сумма справа распространена на все разбиений индексов которых 1 повторяется раз, повторяется раз) на К пар В частности,

что же касается до центральных моментов шестого порядка, то они уже будут складываться из 15 слагаемых и т. д. О методе доказательства этого общего правила см. ниже стр. 193.

Из сравнения формул (4.6) и (4.29) следует, что в случае нормального распределения Можно показать, что этот результат имеет весьма общий характер: все семиинварианты порядка любого многомерного распределения Гаусса тождественно равны нулю (см. стр. 193).

Отметим, что нормальность распределения вероятности значений случайного вектора является свойством, не зависящим от специального выбора системы координат; это непосредственно вытекает из того, что любые линейные комбинации нормально распределенных случайных величин также имеют нормальное распределение вероятности.

Перейдем теперь к гауссовским случайным полям или распределения вероятности любого конечного числа значений которых являются нормальными распределениями. Согласно сказанному выше, полное статистическое описание таких полей сводится к заданию их средних значений и корреляционных функций. Все остальные моменты после этого можно определить, воспользовавшись формулой (4.28) и тем фактом, что центральные моменты нечетного порядка должны быть тождественно равны нулю. Существенно отметить, что для любого (одномерного или многомерного) случайного поля с конечными моментами первых двух порядков всегда можно подобрать гауссовское поле, имеющее то же среднее значение и ту же корреляционную функцию (или корреляционные функции). В самом деле, например, одномерного поля из условия (4.15), примененного к корреляционной функции пульсаций поля вытекает, что для любого набора точек можно задать -мерное нормальное распределение с плотностью имеющее средние значения и вторые моменты Соответствующие распределения вероятности для всевозможных наборов точек, очевидно, будут

удовлетворять условиям симметрии (3.10) и согласованности (3.11), т. е. будут задавать некоторое случайное поле, имеющее, те же моменты первых двух порядков, что и исходное случайное поле Аналогично будет обстоять дело и в случае многомерного случайного поля и с той разницей, что здесь вместо условия (4.15) надо воспользоваться условием (4.19). Поэтому при приближенном изучении случайных полей, использующем лишь данные о моментах первых двух порядков, всегда можно предполагать, что изучаемые поля имеют нормальные распределения вероятности. В дальнейшем мы увидим, что случайные поля гидродинамических характеристик турбулентного потока часто оказываются и на самом деле во многих отношениях близкими к гауссовским полям; этим обстоятельством мы еще неоднократно будем пользоваться.

При изучении нормальных распределений вероятности очень удобно использовать характеристические функции. Нетрудно показать, что в случае плотности вероятности (4.23)

где постоянные те же, что и в равенстве (4.25) (при выводе этой формулы удобно воспользоваться приведением квадратичной формы в показателе степени формулы (4.23) к главным осям). Таким образом, характеристическая функция нормального распределения вероятности имеет вид экспоненциальной функции от многочлена второго порядка относительно переменных с равным нулю свободным членом. Обратное утверждение также верно — такой характеристической функции всегда отвечает плотность вероятности вида (4.23).

Из формулы (4.30) вытекает, что семиинварианты первого и второго порядков распределения Гаусса равны постоянным соответственно, а семиинварианты всех порядков выше второго тождественно равны нулю. Нетрудно получить из этой формулы также и общее правило (4.28) вычисления произвольных центральных моментов четного порядка: для этого надо воспользоваться общей формулой (4.9), в которую вместо следует подставить функцию

разложив ее предварительно в степенной ряд по переменным

Метод характеристических функций позволяет просто доказать, что любые линейные комбинации случайных величин, имеющих нормальное распределение вероятности, также будут иметь нормальное распределение. В самом деле, если , то характеристическая функция величин очевидно, будет равна

где характеристическая функция величин Поэтому если задается формулой (4.30), то и будет экспоненциальной функцией от многочлена второй степени относительно переменных Отсюда, в частности, следует, что для задания распределения вероятности величин надо только определить их моменты первых двух порядков, которые без труда находятся по моментам первых двух порядков величин

Последнее замечание позволяет выписать в явном виде характеристический функционал произвольной гауссовской случайной функции. Рассмотрим сначала влучайиую функцию одного переменного х, определенную на интервале а Согласно (3.21) характеристический функционал этой функции совпадает со значением характеристической функции случайной величины и при аргументе этой функции, равном единице. Но если распределения вероятности всех значений функции являются нормальными распределениями, то и все интегральные суммы интеграла являющиеся линейными комбинациями случайных величин имеют нормальное распределение вероятности. Поэтому интеграл также нвляется случайной величиной с нормальным законом распределения. Следовательно, для нахождения явной формулы для величины надо лишь иайти первые два

момента случайной величины Эти два момента, очевидно, определяются формулами

Отсюда вытекает, что

где - корреляционная функция пульсаций случайной функции Подставляя теперь моменты (4.32) и (4.34) случайной величины в формулу (4.30) с получаем

Это и есть общее выражение для характеристического функционала гауссовской случайной функции, указанное еще в первой заметке Колмогорова (1935), посвященной характеристическим функционалам. Аналогично этому характеристический функционал гауссовского случайного полй равен

или соответственно

естественно, что во всех случаях однозначно определяется соответствующими средними значениями и корреляционными функциями.