6.5. Число Ричардсона и коэффициент турбулентной вязкости в температурно-стратифицированной среде

В предыдущем пункте мы рассмотрели уравнение баланса турбулентной энергии для произвольной сжимаемой среды. В дальнейшем, однако, из всех эффектов, связанных со сжимаемостью, мы будем учитывать только эффект взаимных превращений кинетической энергии и потенциальной энергии расслоения по плотности, причем в соответствии со схемой свободной конвекции плотность будем считать зависящей только от пульсаций температуры (но не давления). При этом жидкость можно снова считать несжимаемой т. е. использовать уравнение однако в уравнении для вертикальной компоненты скорости следует учесть и архимедову силу, в случае газовой среды описываемую дополнительным слагаемым в правой части (ср. уравнение (1.75) на стр 64). Совершенно аналогичные результаты получаются также и для несжимаемой жидкости непостоянной плотности в этом случае надо лишь заменить во всех последующих формулах — V на

Итак, будем считать, что сила тяжести — единственная объемная внешняя сила, производящая работу, и будем исходить из системы уравнений свободной конвекции, т. е. предположим, что удовлетворяет уравнению (1.75) с В таком случае, повторив снова вывод уравнения баланса турбулентной энергии, мы придем к уравнению

где Это уравнение отличается от уравнения (6.15), относящегося к несжимаемой жидкости, только заменой слагаемого в правой части слагаемым смысл

которого был раскрыт в конце предыдущего пункта. Уравнение (6.41) применимо, в частности, к атмосферной турбулентности, так как движения воздуха в атмосфере обычно с большой точностью описываются системой уравнений свободной конвекции.

Заметим теперь, что в условиях развитой турбулентности вязкие напряжения трения пренебрежимо малы по сравнению с турбулентными напряжениями Рейнольдса (за исключением примыкающего к твердым стенкам вязкого подслоя, который мы здесь не будем рассматривать). Поэтому естественно считать, что и перенос турбулентной энергии за счет сил вязкости (т. е. неупорядоченных молекулярных движений) очень мал по сравнению с переносом энергии турбулентными пульсациями скорости, т. е. Что последний член в скобках в левой части (6.41) пренебрежимо мал по сравнению со вторым членом. Рассмотрим случай, когда осредненное течение однородно в направлении осей В таком случае все статистические характеристики турбулентности будут зависеть только от причем в силу уравнения неразрывности здесь Будем наряду с обозначениями для координат и скоростей использовать обозначения до; тогда, пренебрегая малым членом мы можем переписать (6.41) в виде

где интенсивность турбулентности (т. е. средняя энергия пульсаций, приходящаяся, на единицу массы жидкости).

Если средняя скорость течения всюду имеет одинаковое направление (скажем, вдоль оси то уравнение (6.42) еще упрощается; здесь

Последнее уравнение можно также представить в виде

где

Безразмерная величина очевидно, определяет относительную роль термической конвекции в порождении турбулентной энергии по сравнению с динамическими факторами (передачей энергии от осредненного движения); она называется динамическим числом Ричардсона. Ясно, что при при неустойчивой термической стратификации) и при устойчивой стратификации); при безразличной же стратификации

В уравнении (6.43) мы уже пренебрегли переносом энергии силами молекулярной вязкости. Выше также указывалось, что перенос энергии, обусловленный работой сил давления, обычно мал по сравнению с ее переносом пульсациями скорости (см. стр. 327). Поэтому часто в уравнении баланса турбулентной энергии пренебрегают слагаемым, содержащим пульсации давления, т. е. полагают

В случае стационарного течения, не сопровождающегося турбулентным переносом тепла (т. е. при безразличной термической стратификации), вблизи стенки образуется логарифмический пограничный слой, в пределах которого интенсивность турбулентности постоянна (равна где согласно данным рис. 26 на стр. 236), лишь постоянным множителем отличается от Следовательно, Перенос энергии в этом слое тождественно равен нулю, и в уравнении (6.46) здесь отличны от нуля только слагаемые — в и которые должны взаимно компенсироваться. Однако вне логарифмического пограничного слоя и при наличии турбулентного потока тепла диффузионное слагаемое по-видимому, может иногда оказаться сравнимым по величине с другими слагаемыми (см. ниже стр. 458—459). Тем не менее, чаще всего им и здесь пренебрегают, так как обычно это слагаемое все же не очень велико и, главное, его почти всегда неоткуда определить. При этом уравнение баланса энергии приобретает относительно простой вид

не содержащий уже никаких моментов пульсаций гидродинамических полей выше второго порядка. Иногда, впрочем, вместо отбрасывания диффузионного слагаемого предполагают, что в пограничном слое это слагаемое пропорционально слагаемому

одновременно с которым оно обращается в нуль (см., например, Клюг (1963), Такеучи и Иокояма (1963)). В таком случае вместо уравнения (6.47) получается уравнение

имеющее столь же простой вид, но содержащее дополнительный безразмерный параметр а, позволяющий добиться лучшего согласия с эмпирическими данными.

Будем пока исходить из уравнения (6.47). Так как всегда и практически всегда (исключительными случаями, в которых энергия турбулентности передается среднему течению, мы здесь не будем заниматься), то в силу этого уравнения стационарная (незатухающая) турбулентность возможна лишь при

Результат (6.48) представляет собой фактически критерий воз никновения турбулентности в стратифицированной среде, полученный с помощью уравнения баланса энергии возмущения (ср. выше п. 2.9). Как и другие критерии, полученные с помощью энергетического метода, он, по-видимому, является довольно грубым, т. е. дает сильно завышенное значение критического числа Ричардсона. Поэтому исходя отсюда можно лишь утверждать, что стационарная турбулентность возможна при где наверное меньше единицы (причем, по всей вероятности, значительно меньше). Чисто формально значение можно отождествить также со значением параметра а в уравнении (6.47) — при таком выборе а энергетический критерий, получаемый из этого последнего уравнения, оказывается уже точным.

Воспользовавшись полуэмпирическими соотношениями (5.5), (6.26), (6.27) и (6.40), мы можем преобразовать уравнение (6.46) в следующее полуэмпирическое уравнение баланса турбулентной энергии:

Здесь К — коэффициент турбулентной вязкости (переноса импульса), а коэффициенты турбулентного переноса тепла и, соответственно, энергии. Пренебрегая диффузией энергии (т. е. последним слагаемым в правой части), мы получим отсюда следующий, эквивалентный (6.48) критерий

существования незатухающей турбулентности:

Здесь

- обычное число Ричардсона (см. формулу (2.3) на стр. 98, в которой вместо использовалась величина в соответствии с равенством (6.40), немного более точным, чем Критерий (6.50) был впервые получен Ричардсоном (1920) (предполагавшим, что он, очевидно, показывает, что никак не определяет еще точного значения На стр. 124 мы уже отмечали, что согласно теории гидродинамической устойчивости течение расслоенной жидкости оказывается устойчивым относительно бесконечно малых возмущений, если во всех его точках следовательно,

С другой стороны, однако, есть некоторые основания предполагать, что, может быть, даже при и турбулентность может существовать при сколь угодно больших значениях (так что см. ниже стр. 381 и 436).

Так как по определению — то уравнение (6.49) для стационарных условий и в пренебрежении диффузией турбулентной энергии может быть представлено в виде

Отсюда для коэффициента турбулентной вязкости К получается выражение

Согласно формуле (6.52), К как будто бы обращается в нуль (т. е. прекращается турбулентный обмен) при т. е. в противоречии со сказанным выше. На самом деле, однако, использование полуэмпирического соотношения (6.27) с при приближающемся к теряет смысл, так что и соотношение (6.52) здесь не может быть применено. Заметим теперь, что в отсутствие термической стратификации в пределах логарифмического пограничного слоя (так

как в силу (6.49) здесь поэтому при произвольной стратификации удобно положить

Функция очевидно, должна удовлетворять условиям где Чтобы подчеркнуть, что можно ввести в рассмотрение вместо функцию такую, что

с помощью этой новой функции выражение для К записывается в аналогичном (6.53) виде

но уже с добавочным множителем при в последних скобках. Тот же результат (6.55), очевидно, можно получить, если принять, что вместо пренебрежения диффузией турбулентной энергии считать эту диффузию пропорциональной слагаемому (т. е. использовать вместо (6.47) уравнение (6.47) с ). В соотношении (6.55), очевидно, но теперь уже автоматически и поэтому можно допустить, что нигде не обращается внуль. В п. 7.4 мы увидим, в частности, что разумные в ряде отношений результаты получаются, если даже просто положить, что Следует, однако, подчеркнуть, что с точки зрения теории такой выбор функции ничем не оправдан и он вполне может быть изменен для получения лучшего согласия с данными экспериментов (подробнее об этом мы еще будем говорить в следующем параграфе).