Диффузия в безграничном турбулентном потоке с постоянным градиентом средней скорости

В заключение настоящего пункта остановимся на случае диффузии примеси в безграничном потоке с постоянным поперечным градиентом скорости и однородным и стационарным полем пульсаций мы видели, что в этом случае взаимодействие градиента скорости с поперечным рассеянием приводит не к простому увеличению эффективного коэффициента горизонтальной диффузии, как это было в случае течения в трубе или в канале, а к качественному изменению закономерностей продольного рассеяния (выражающемуся в том, что продольная дисперсия становится асимптотически пропорциональной а не как обычно). Поэтому вначале сферическое облако примеси в таком потоке через некоторое время принимает форму сильно вытянутого по направлению оси эллипсоидообразного веретена, большая ось которого слегка наклонена по отношению к плоскости Поскольку псле пульсаций здесь однородно и стационарно, при использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии здесь не возникает трудности с определением зависимости коэффициентов турбулентной диффузии от координат: эти коэффициенты естественно считать постоянными в пространстве и во

времени. Поэтому есть все основания надеяться, что основные особенности рассматриваемого процесса диффузии можно выяснить, рассмотрев решение дифференциального уравнения

при начальном условии Нетрудно убедиться, что искомое решение, уравнения (10.87) будет представлять собой трехмерное распределение Гаусса со вторыми моментами

где (этот результат и некоторые его обобщения были опубликованы Новиковым (1958); позже немного более подробно он был изложен также Элриком (1962)). Формулы (10.88) очень наглядно показывают разницу между случаями и они полностью согласуются также и с формулами (10.53), согласно которым удвоенные коэффициенты турбулентной диффузии равны производным в нуле от компонент тензора дисперсии При сравнении же этих формул с формулами (9.57), (9.57) и (9.58), выведенными на основе лагранжева описания турбулентности, видно, что наши новые результаты представляют собой асимптотический вид найденных раньше более точных выражений для дисперсий при (причем, как обычно, . Выражения же для дисперсий при не слишком больших значениях полуэмпирическая теория турбулентной диффузии не позволяет определить. Таким образом, мы еще раз убеждаемся в том, что эта теория описывает только асимптотические закономерности, имеющие место при больших временах диффузии.

Поскольку максимум многомерной плотности нормального распределения вероятностей обратно пропорционален корню квадратному из детерминанта матрицы дисперсий, концентрация в центре облака примеси, созданного в момент мгновенным точечным источником, в поле однородной турбулентности с градиентом скорости с ростом будет убывать асимптотически пропорционально (а не пропорционально как это было при постоянной средней скорости). Точно так же в случае мгновенного линейного источника на оси максимальная концентрация примеси будет убывать пропорционально (вместо Зная решение, отвечающее мгновенному точечному источнику, с помощью формул (10.6) и (10.8) можно найти также и распределение концентрации,

отвечающее стационарному точечному и линейным источникам; на этом, однако, мы уже не будем задерживаться.

В случае более сложного, чем линейный, профиля средней скорости в безграничном пространстве и зависимости коэффициентов турбулентной диффузии от координаты точное решение уравнения (10.55), отвечающее мгновенному точечному источнику, уже не может быть явно выписано. Но если зависимость средней скорости и коэффициентов диффузии от задается достаточно простыми формулами (например, если функции являются степенными), то основные особенности процесса диффузии, описываемого полуэмпирическим уравнением (10.55), можно исследовать с помощью уравнений (10.76), (10.76), и т. д. для моментов При этом оказывается, что здесь также взаимодействие вертикального градиента средней скорости с вертикальной диффузией, описываемой коэффициентом приводит к горизонтальному рассеянию, как правило, при большом времени диффузии много превосходящему обычную горизонтальную турбулентную диффузию С коэффициентом При этом в отличие от ситуации, с которой мы столкнулись при изучении горизонтальной диффузии в трубах и каналах, в безграничном пространстве это дополнительное горизонтальное рассеяние обычно не сводится к простому увеличению коэффициента горизонтальной диффузии до некоторого нового значения а приводит к тому, что горизонтальная дисперсия оказывается пропорциональной более высокой, чем первая, степени Обо всем этом, однако, мы более подробно будем говорить в следующем разделе в связи с рассмотрением более важного практически случая диффузии в полупространстве для которого также сохраняются указанные здесь особенности процесса горизонтального рассеяния, вызываемого взаимодействием вертикального градиента средней скорости с вертикальной диффузией.