ГЛАВА IV. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ТЕМПЕРАТУРНО-СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ

§ 7. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА СЛУЧАЙ ТЕМПЕРАТУРНО-СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЫ

7.1. Турбулентный пограничный слой в температурно-стратифицированной среде как модель приземного слоя атмосферы

В предыдущей главе были подробно рассмотрены основные закономерности турбулентных течений жидкости в пограничном слое над неограниченной плоской пластинкой. Полученные выводы мы сравнивали с эмпирическими данными, относящимися как к искусственным течениям, создаваемым в лаборатории, так и к наблюдаемым в атмосфере движениям воздуха вблизи поверхности земли. При этом, однако, нам пришлось оговорить, что из наблюдений в атмосфере для данной цели могут использоваться только наблюдения, относящиеся к нейтральной (безразличной) стратификации, т. е. к тем случаям, когда в нижних слоях воздуха температура практически не меняется с высотой. Но такая нейтральная стратификация довольно редко

наблюдается в природе. Действительно, днем обычно температура заметно понижается с высотой, а ночью она, как правило, повышается с высотой (как говорят, имеет место инверсия температуры), так что нейтральной стратификация оказывается лишь в течение небольших промежутков времени перед заходом и после восхода Солнца. Следовательно, движения в приземном слое воздуха в большинстве случаев не могут быть уложены в простую схему турбулентного пограничного слоя, рассмотренную в гл. 3.

Итак, как правило, при изучении турбулентности в приземном слое атмосферы необходимо учитывать наличие в атмосфере температурной стратификации, создающей систематическое изменение плотности среды с высотой. Как известно, в поле тяжести наличие неоднородностей плотности жидкости приводит к появлению архимедовых сил, способствующих перемещению вверх жидких частиц, менее плотных, чем окружающая среда, и перемещению вниз частиц, более плотных, чем окружающая среда - Эти архимедовы силы складываются с силами чисто гидродинамического происхождения, которые действуют на жидкие частицы и в отсутствие силы тяжести. В результате частицы менее (более) плотные, чем окружающая среда, при движении вверх (вниз) получают дополнительную энергию за счет работы архимедовых сил, а при движении вниз (вверх), наоборот, теряют часть своей энергии на преодоление архимедовых сил. Тем самым потенциальная энергия расслоенной по плотности среды в поле тяжести может непосредственно переходить в энергию турбулентности, а энергия турбулентности может обратно переходить в потенциальную энергию неоднородной тяжелой среды. Количественному учету влияния этих переходов энергии на режим турбулентности и будет посвящена настоящая глава.

В п. 6.4 был подсчитан вклад, вносимый работой архимедовых сил в баланс турбулентной энергии. Этот вклад (на единицу объема) дается выражением

где пульсация вертикальной скорости (см. формулу (6.38) на стр. 340). Из выражения (7.1) видно, что стратификация воздуха будет влиять на турбулентность, лишь если пульсации плотности будут коррелированы с пульсациями Далее нам будет удобно перейти от пульсаций плотности, непосредственное измерение которых в атмосфере очень затруднительно, к пульсациям температуры, легко доступным, непосредственному измерению. При этом, как и в п. 6.5, мы будем учитывать только пульсации плотности, связанные с пульсациями температуры, а гораздо меньшими пульсациями плотности, вызываемыми относительно очень малыми пульсациями атмосферного давления, пренебрежем. Так как в случае не слишком больших пульсаций температуры вполне можно полагать где Т — абсолютная температура, отсчитываемая от абсолютного нуля, то в этом приближении

где вертикальный турбулентный поток тепла (см. выше стр. 341). Отсюда видно, что в атмосфере влияние архимедовых сил на турбулентность непосредственно связано с турбулентной теплопередачей от подстилающей поверхности к атмосфере или наоборот. Это обстоятельство снова приводит к выводу, что указанное влияние должно исчезать при равном нулю вертикальном градибнте температуры: в самом деле, согласно основной формуле полуэмпирической теории,

где коэффициент турбулентной температуропроводности, и, следовательно,

так что

Мы видим, что при теоретическом анализе турбулентных процессов в приземном слое атмосферы надо учитывать наличие вертикальной температурной стратификации и связанного с ней вертикального турбулентного потока тепла. С другой стороны, горизонтальной неоднородностью подстилающей поверхности, всегда в какой-то мере имеющейся в реальной атмосфере, естественно на первых порах пренебречь. В самом деле, можно надеяться, что по крайней мере в случае сравнительно ровной

подстилающей поверхности, характер которой не меняется заметно на протяжении достаточно большой вбласти, эта неоднородность не будет играть очень большой роли; в то же время ее учет очень осложняет теоретический анализ. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь упрощенную модель турбулентности в жидкости, заполняющей полупространство над бесконечной однородной плоской поверхностью постоянной шероховатости (высотой вытеснения учет которой сводится к простому сдвигу начала отсчета значений мы в дальнейшем для простоты также будем пренебрегать). В соответствии с этим в настоящей главе мы всегда будем предполагать, что все одноточечные осредненные характеристики гидродинамических полей зависят только от вертикальной координаты

Допуская, что все одноточечные моменты зависят только от мы тем самым неявно предполагаем, что эти моменты могут быть определены, т. е. что значения всех гидродинамических полей в приземном слое атмосферы обладают определенной статистической устойчивостью. Вообще говоря, это предположение также может вызывать сомнения, так как условия в атмосфере существенно зависят от времени суток и от времени года, причем, кроме регулярных суточных и годовых колебаний, значения любого гидродинамического элемента в данной точке атмосферы испытывают еще нерегулярные колебания самых разнообразных периодов. Эти нерегулярные колебания можно рассматривать как проявления турбулёнтности различных пространственных масштабов, от весьма малых (порядка сантиметров, и долей сантиметра) и до очень больших — порядка размеров циклонов и антициклонов или даже масштабов неоднородностей общей циркуляции атмосферы. Поэтому временные средние значения, например, температуры или скорости ветра в фиксированной точке атмосферы оказываются, во-первых, существенно зависящими от величины интервала осреднения и, во-вторых, при данном масштабе осреднения колеблющимися от выборки к выборке под действием компонент турбулентности с периодами, сравнимыми с величиной интервала осреднения или превосходящими эту величину. Указанное явление, называемое «эволюцией уровня» метеорологических полей, существенно затрудняет попытки определения статистических характеристик таких полей. Тем не менее, опыт показывает, что если ограничиться лишь наблюдениями, относящимися к определенному сезону года, определенному времени суток и определенным синоптическим условиям (т. е. определенной «погоде»), то при осреднении по временному интервалу заметно превосходящему характерный период «макроструктурных элементов» (турбулентных образований, содержащих основную долю энергии турбулентности),

средние значения метеорологических полей будут уже относительно устойчивыми. Но в таком случае соответствующие наблюдения можно считать образующими «статистический ансамбль», позволяющий производить вероятностное осреднение. В приземном слое воздуха временной масштаб макроструктурных элементов можно оценить по порядку величины как отношение где характерное значение скорости ветра, характерный горизонтальный масштаб макроструктурных элементов, измеряющийся десятками или немногими сотнями метров. Поэтому имеет порядок нескольких десятков секунд, и при осреднении по интервалам времени порядка десяти-двадцати минут средние значения скорости ветра, температуры и т. д. оказываются уже относительно устойчивыми и рассматриваться как приближенные значения вероятностных средних для соответствующих случайных полей. Правда, при дальнейшем значительном увеличении периода осреднения до интервалов порядка нескольких часов или еще больших средние значения заметно меняются и могут снова стать малоустойчивыми за счет влияния длиннопериодных «синоптических колебаний», относящихся уже к турбулентности средних масштабов, а затем и к макротурбулентности; однако такой турбулентностью мы здесь не будем заниматься.

Кроме предположения о горизонтальной однородности, мы примем еще некоторые упрощающие предположения, касающиеся гидродинамических уравнений, описывающих рассматриваемую йами турбулентность. Прежде всего в соответствии со сказанным выше мы пренебрежем изменениями плотности, вызываемыми пульсациями давления, и ограничимся уравнениями, линеаризованными относительно отклонений полей плотности, температуры и, давления от соответствующих «стандартных значений» (зависящих только от и удовлетворяющих, уравнению статики и уравнению состояния Величины мы будем в дальнейшем даже считать просто постоянными, так как их изменения с высотой в приземном слое толщиной в несколько десятков метров пренебрежимо малы. В таком случае уравнения движения обратятся в уже известные нам «уравнения теории свободной конвекции»:

В этих уравнениях член описывающий «архимедовы ускорения» жидких частиц, явно учитывает влияние силы тяжести. В то же время сила Кориолиса здесь отброшена, так как согласно оценке, приведенной на стр. 349, эта сила в пределах нижних 50 м (или около того) не оказывает заметного влияния на осредненное движение, а, значит, и тем более не может влиять на пульсационное движение, скорость которого в нижней атмосфере примерно на порядок ниже средней скорости. Разумеется, выше немногих десятков метров над поверхностью земли уравнения (7.5) без силы Кориолиса уже становятся неприменимыми; это надо иметь в виду при сопоставлении выводов из указанных уравнений с данными наблюдений.

Уравнение неразрывности в приближении свободной конвекции может быть записано так же, как и в случае несжимаемой жидкости:

В силу горизонтальной однородности отсюда вытекает, что так что осредненное движение здесь является плоскопараллельным и задается вектором средней скорости Ясно также, что в отсутствие силы Кориолиса и при постоянном по высоте горизонтальном градиенте давления направление вектора и не может зависеть от Направим теперь ось вдоль вектора и . В таком случае будет справедливо равенство поэтому распределения вероятностей для гидродинамических полей здесь естественно считать инвариантными не только по отношению к параллельным переносам в плоскости но и по отношению к отражениям относительно плоскости Отсюда, в частности, вытекает, что

Учитывая, что средняя сила ветра в приземном слое меняет за сутки на величину порядка нетрудно подсчитать, что в обычных условиях (при которых не проходит какой-либо особенно быстрой смены погоды) член с производной в осреднением первом уравнении (7.5) оказывается даже заметно меньшим, чем член с градиентом среднего давления или чем средняя кориолисова сила. Поэтому при осреднении уравнений (7.5) производные по времени также можно откинуть и считать, что в приземном слое

выше уравнение (5.11) на стр. 222). Таким образом, среднее течение в приземном слое можно считать не только плоскопараллельным, но и стационарным, а напряжение трения (вертикальный поток импульса) — постоянным по высоте.

Кроме уравнений (7.5) и (7.6), мы должны использовать еще и уравнение притока тепла, определяющее изменения во времени температуры Т. Согласно результатам это уравнение можно записать в виде

где приток тепла за счет излучения и за счет изменений фазового состояния содержащейся в воздухе влаги (другими формами притока тепла и, в частности, притоком тепла за счет диссипации кинетической энергии в приземном слое вполне можно пренебречь). Если мы пренебрежем и притоком тепла то получим обычное уравнение теплопроводности

осреднение которого приводит к выводу, что в стационарных условиях

т. е. что средний поток тепла по вертикали, создаваемый молекулярной и турбулентной теплопроводностью, является постоянным (ср. уравнение (5.73) на стр. 280, отличающееся от (7.9) лишь выбором положительного направления потока Если же учесть и величину (основную часть которой обычно составляет радиационный приток тепла), то вместо (7.9) мы получим более сложное уравнение

где — так что обычно можно отождествить со средним лучистым потокам тепла по вертикали. Согласно предварительным данным Робинсона (1950) (см. также Халтинер и Мартин (1957), гл. 15) существенное изменение потока с высотой, по-видимому, обычно имеет место лишь в тонком слое воздуха около поверхности земли, толщина которого не превосходит (или лишь немного превосходит) Если это действительно так, то, рассматривая более высокие слои, можно полагать т. е. пренебрегать лучистым притоком тепла Косвенным подтверждением этого обстоятельства

может служить также то, что теория, основанная на уравнении (7.9), как будет видно из дальнейшего, в большинстве случаев удовлетворительно согласуется с данными наблюдений в приземном слое. В целом, однако, вопрос о законности приближения (7.9) в приземном слое воздуха пока еще нельзя считать окончательно выясненным ни теоретически, ни экспериментально. Особенно много сомнений с этой точки зрения вызывают случаи очень устойчивой стратификации (наблюдаемой, например, в ночное время), когда турбулентный поток тепла очень мал, а изменение с высотой потока может быть довольно заметным (см. Функ (1960)). Поэтому попытки более точного учета влияния радиационного теплообмена на турбулентность, начатые работами Таунсенда (1958) и Ямамото и Кондо (1959), следует считать вполне актуальными. Поскольку, однако, в этом направлении пока еще имеются лишь весьма предварительные оценки, мы ограничимся здесь рассмотрением только более грубой теории, исходящей из предположения (7.9), построение которой во всяком случае следует считать необходимым первым шагом к разъяснению закономерностей турбулентности в приземном слое.

Теперь мы можем окончательно описать ту теоретическую модель, изучению которой будет посвящена настоящая глава. Мы будем рассматривать плоскопараллельное стационарное течение жидкости в полупространстве над однородной поверхностью (характеризуемой определенной шероховатостью описываемое «уравнениями свободной конвекции» (7.5), (7.6) и (7.8) и удовлетворяющее условиям (7.7) и (7.9) с заданными значениями (эти условия играют здесь роль граничных условий на верхней границе приземного слоя). Согласно сказанному выше, можно ожидать, что эта модель будет сравнительно хорошо соответствовать реальным условиям в нижнем слое атмосферы (порядка нескольких десятков метров) над относительно ровной и однородной подстилающей поверхностью и в условиях устойчивой погоды (за исключением, быть может, тонкого подслоя, непосредственно примыкающего к земле, и отдельных случаев, когда турбулентный обмен особенно мал или изменение по высоте радиационного потока тепла особенно велико). Можно думать также, что та же модель может быть применена и к некоторым другим течениям — например, к турбулентности в придонном или приповерхностном слое

моря в условиях изотермии, но ааметной вертикальной стратификации по солености (а следовательно, и по плотности и к некоторым искусственным турбулентным потокам, создаваемым в лаборатории (в случае стратификации по плотности мы должны только, разумеется, заменить всюду и на В дальнейшем, однако, мы для определенности все время будем говорить о турбулентности в приземном слое атмосферы (так как именно к ней будут относиться почти все привлекаемые нами эмпирические данные), понижая всюду под «приземным слоем» указанную идеализированную модель стратифицированной среды.