Формулы Саттона для рассеяния примесей в атмосфере

Приведенные выше оцеикк горизонтального рассеяния в приземном слое воздуха открывают новые возможности для математического анализа процесса распространения примесей от мгновенных источников. Ясно, одиако, что такой анализ неизбежно будет довольно сложным; поэтому в практических приложениях широкое применение получили различные довольно грубые, но зато простые приближенные приемы описания атмосферной диффузии. В частности, в Англии и США при расчетах диффузии примесей в атмосфере часто используются приближенные формулы, предложенные Саттоном (1932, 1949, 1953). Согласно этим формулам, распределение примеси от мгновенного точечного источника предполагается имеющим гауссовскую форму (10.12) (в системе координат, перемещающейся вместе со средним ветром с постоянной скоростью ), но с дисперсиями растущими быстрее,

чем первая степень соответствии и с формулами (10.108) и с тем, что убывание наземной концентрации, отвечающее дисперсиям в реальных приложениях оказывается слишком медленным). Чтобы определить функциональную форму дисперсий Саттои предположил, что при диффузии в приземном слое атмосферы можно приближенно пользоваться классической формулой Тэйлора для (строго получающейся лишь в предположении об однородности турбулентности), приняв при этому что лаграижевы корреляционные функции имеют вид

Здесь некоторые постоянные масштабы времени, а показатель , согласно Саттону, принимает значения порядка (в зависимости от стратификации). Поскольку предполагается, что лагранжев масштаб времени формулы (9.32) оказывается бесконечно большим; именно поэтому теория Саттона не приводит к асимптотически линейному росту дисперсий при возрастании времени (и отсюда же следует, что эта теория, строго говоря, не является одним из вариантов обычной полуэмпирической теории турбулентной диффузий, пригодной, как отмечалось выше, лишь при Однако, как и в обычной полуэмпирической теории, в теории Саттоиа также рассматриваются лишь достаточно большие значения но большие не по сравнению с (равным здесь бесконечности), а по сравнению с Согласно (10.109) и (9.31), при дисперсия оказывается асимптотически пропорциональной соответствующую асимптотическую формулу Саттои записывает в виде

где — средняя скорость ветра в рассматриваемом слое воздуха, постоянные коэффициенты (при это означает, что . В случае диффузии примесей от высотных источников Саттои, ориентируясь На экспериментальные данные, рекомендует считать коэффициенты зависящими от высоты источника Н (и убывающими с ростом ). Отметим, что при определении дисперсий формулой (10.110) функция (10.12) также оказывается решением уравнения диффузии вида (10.55), но с коэффициентами диффузии зависящими не от высоты а от времени диффузии Но при этом уравнение (10.55) уже не может быть выведено из статистических предположений полуэмпирической теории диффузии, требующих (см. формулы (10.53)), чтобы коэффициенты диффузии определялись только полем скорости и не зависели бы от того, когда и где в это поле внесены источники примеси (как отметил Тэйлор (1969), то, что коэффициенты турбулентной диффузии в полуэмпирической теории не могут зависеть от вытекает уже принципа суперпозиции, соответствующего предположению о линейности уравнения диффузии: при зависимости от значение в фиксированной точке ( при наличии нескольких мгновенных источников примеси, выделивших примесь не одновременно, было бы многозначным).

Зиая распределение концентрации от мгновенного точечного источника, можно без труда рассчитать концентрацию и от стационарных точечного и линейного источников точно так же, как это было сделано выше в применении к формулам Робертса, отвечающим предположению о постоянстве

коэффициентов диффузии. Так, например, случаю диффузии от стационарного точечного источника производительности в точке при условии «отражения» примеси поверхностью Земли в теории Саттона отвечает родственная (10.90) формула

(в случае линейного источника на прямой здесь надо только справа опустить множитель, зависящий от и заменить Согласно (10.111), распределение примеси поперек ветра в горизонтальной плоскости оказывается гауссовским с дисперсией а распределение наземной концентрации по направлению среднего ветра имеет вид

т. е. убывает асимптотически пропорционально в случае линейного источника — пропорционально Максимум наземной концентрации (10.112) равен -Щтг обратно пропорционален скорости ветра и квадрату высоты источника) и достигается на расстоянии от источника (которое, в отличие от случая теории Робертса, не зависит от скорости ветра ).

Сопоставление формул Саттона со сравнительно новыми и полными эмпирическими данными о диффузии в атмосфере можно найти, например, в работах Бареда и Хоугена (1959), Дриммеля и Рейтера (1960) и Хоугена, Бареда и Антанаитиса (1961); сопоставлению формулы (10.109) с эмпирическими данными о лагранжевых корреляционных функциях посвящена работа Манна (1963). Приведенные в указанных статьях материалы показывают, что формулы Саттона весьма неточно описывают реальные лагранжевы корреляционные функции; тем не менее, их можно более или менее удовлетворительно согласовать с имеющимися эмпирическими данными о диффузии, если только значительно расширить интервал допустимых значений и допустить, что не только параметры но и могут принимать различные значения для диффузии по различным направлениям (т. е. заменить в формуле (10.110) параметр на Но в таком случае число неопределенных параметров в формулах теории Саттона оказывается настолько большим, что оно уже само по себе вполне объясниет возможность согласования этих формул с результатами полевых экспериментов; зависимость же параметров С, и от метеорологических условий все равно оказывается довольно сложной и плохо изученной. Поэтому представляется естественным искать другие пути приближенного описания данных об атмосферной диффузии, которые были бы достаточно просты, более обоснованы теоретически, чем формулы Саттона,