10.5. Диффузия в приземном слое воздуха

Среди примеров турбулентной диффузии, упоминавшихся в начале наиболее важны, бесспорно, те, в которых идет речь о диффузии примесей в атмосфере. Поэтому неудивительно, что в литературе по. проблеме турбулентной диффузии центральное место занимают работы, посвященные именно диффузии в атмосфере (к числу таких работ относятся, в частности, и все книги и обзорные статьи, перечисленные на стр. 506).

При изучении атмосферной диффузии наибольший интерес представляет диффузия в приземном слое воздуха, наиболее

непосредственно связанном с жизнью и деятельностью человека. Специфика задачи здесь состоит в том, что диффузия происходит в турбулентном пограничном слое (вообще говоря, термически стратифицированном), заполняющем полупространство над твердой или жидкой подстилающей поверхностью (которую мы в дальнейшем будем предполагать однородной и примем за плоскость Поэтому результаты предыдущего пункта, в котором предполагалось, что жидкость либо течет между твердыми стенками в трубе или канале, либо же заполняет все пространство, непосредственно к атмосферной диффузии неприложимы. Заметим, впрочем, что рассматривавшаяся выше модель диффузии в плоском канале между стенками может быть с известным основанием применена к диффузии в приземном слое воздуха при наличии на высоте Н мощного инверсионного слоя (в котором температура растет с высотой), приводящего к резкому уменьшению вертикального обмена на этой высоте (см., например, Раундс (1955), Сафмен (19626), Цейтин (1963)). Ясио, однако, что основной интерес для теории атмосферной диффузии представляет все же не эта модель, а случай диффузии во всем полупространстве к рассмотрению которого мы теперь и перейдем.

Решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии, не учитывающие изменения ветра с высотой

Начнем с простейшего подхода, использующего полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии. Будем пока, как обычно, предполагать, что оси системы координат в которой направление совпадает с направлением среднего ветра являются главными направлениями тензора коэффициентов турбулентной диффузии . В таком случае полуэмпирическое уравнение диффузии принимает вид (10.55), и чтобы все основные задачи теории диффузии свелись к четко поставленным задачам математической физики, требуется только еще как-то задать зависимость от высоты скорости ветра и коэффициентов диффузии

Решение уравнения (10.55) удается получить в аналитическом виде лишь при некоторых частных предположениях о характере зависимости коэффициентов этого уравнения от высоты. Качественные особенности решений, отвечающих различным типам источников примеси, можно выяснить на простейшем примере уравнения (10.58), т. е. уравнения вида (10.55) с постоянными коэффициентами Такое простейшее полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии было исследовано Робертсом (1923). Воспользовавшись тем, что в этом

случае решение, отвечающее наличию в точке безграничного пространства мгновенного точечного источника производительности получается из (10.12) с помощью замены на на легко убедиться, что в случае диффузии в полупространстве с краевым условием «отражения» при решение, отвечающее мгновенному точечному источнику в точке в момент дается формулой

При краевом условии «поглощения» (т. е. при решение уравнения (10.58) будет отличаться от (10.89) только тем, что при втором слагаемом в квадратных скобках будет стоять знак минус, а не знак плюс. Аналогично формулы (10.59) и (10.61) могут быть использованы для получения решений уравнения (10.58) в полупространстве (с поглощающей или отражающей примесь границей), отвечающих стационарному точечному или линейному источнику на высоте Эти решения обычно можно еще упростить, воспользовавшись тем, что и и слагаемое и почти всегда значительно превосходит соответствующий «диффузионный член» например оценки Кароля Поэтому слагаемым в 00-55) чаще всего можно пренебречь (что соответствует в формулах (10.59) и (10.61) переходу к пределу при При этом решение, отвечающее стационарному точечному источнику производительности в точке и условию отражения примеси на границе принимает вид

В случае поглощения примеси на границе мы опять должны только заменить в последней формуле знак плюс в квадратной скобке знаком минус. Согласно (10.90) распределение примеси поперек направления ветра в горизонтальной плоскости

при любых задается гауссовской функцией со средним квадратичным отклонением пропорциональным и обратно пропорциональным При возрастании X (и фиксированных концентрация О убывает асимптотически пропорционально и в случае диффузии в поле однородной турбулентности в безграничном пространстве). В случае «отражения» примеси наибольшая наземная концентрация примеси обратно пропорциональна квадрату высоты источника; она достигается при на расстоянии от источника прямо пропорциональном При краевом условий поглощения скорость поглощения примеси подстилающей поверхностью как легко проверить, убывает асимптотически пропорционально . В этом случае наибольшая скорость оседания отах обратно пропорциональна кубу высоты и достигается при

Решение, отвечающее стационарному линейному источнику, расположенному на прямой и производящему за единицу времени массу примеси на каждую единицу своей длины, при краевом условии «отражения» будет иметь вид

(в случае поглощения примеси поверхностью земли мы снова должны заменить здесь знак плюс на минус). Согласно (10.91) наземная концентрация от линейного источника на больших расстояниях от него должна убывать пропорционально Решения уравнения (10.58), отвечающее более общему граничному условию где также могут быть явно выписаны, но они имеют более сложный вид, и мы на них не будем останавливаться.

На первый взгляд перечисленные выше результаты, получающиеся при использовании уравнения (10.58) для концентрации представляются довольно правдоподобными, но они никак не согласуются с эмпирическими данными, полученными

при многочисленных полевых исследованиях диффузии в приземном слое воздуха. Так, например, опыты показывают, что наземная концентрация примеси, создаваемой стационарным точечным источником, при безразличной температурной стратификации убывает при удалении от источника примерно пропорционально (согласно Саттону (1953) пропорционально но никак не пропорционально ; наземная же концентрация от стационарного линейного источника при безразличной стратификации убывает пропорционально или (Саттон (1953), Паскуил (1962б)), но не пропорционально Данные, относящиеся к устойчивой или неустойчивой стратификации, менее определенны, чем в случае безразличной стратификации, но и они показывают, что ни при какой стратификации убывание наземной концентрации не следует простым законам, вытекающим из формул (10.90) и (10.91) (см., например, Дикон (1949)). Таким образом, приходится заключить, что уравнение (10.58) непригодно для количественного описания процесса турбулентной диффузии в приземном слое воздуха.

Полученное несоответствие в принципе может объясняться тем, что полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии вообще не может быть вполне строго обосновано и не является точным. Ясно, однако, что только на этом основании еще нельзя заключить, что полуэмпирическое уравнение диффузии неприменимо к рассеянию примесей в атмосфере. В самом деле, все предыдущие выводы делались на основе очень грубой модели, в которой полностью пренебрегалось зависимостью скорости ветра и коэффициентов диффузии от высоты В то же время хорошо известно, что в действительности в атмосфере и скорость ветра, и коэффициенты обмена растут с высотой (см. выше гл. 4). Поэтому естественно прежде всего попытаться обобщить используемую модель, приняв какие-то разумные предположения о виде функций Такие попытки предпринимались многими авторами, причем, поскольку решение уравнения диффузии с переменными коэффициентами наталкивается на значительные аналитические трудности, эти попытки породили обширную литературу, представляющую, главным образом, прикладной интерес.

Заметим прежде всего, что явное аналятическое решение нестационарных задач теории диффузии в полупространстве (легко сводящихся к нахождению формул для диффузии примеси от мгновенного точечного источника) в случае меняющейся с высотой скорости ветра до сих пор, по-видимому, не было получено ни в одном случае. Поэтому при решении задачи о расплывании облака примеси, созданной мгновенным источником, всегда используются. те или иные приближенные приемы. Чаще всего при этом сначала исследуется лишь процесс вертикальной диффузии примеси, т. е. определяется зависимость от времени суммарной концентрации на высоте

равной выше формулу (10.75)), и только после этого приближенна учитывается также и горизонтальная диффузия. Функция как мы знаем, удовлетворяет уравнений (10.76) вида

соответствующие начальные и краевые условия в случае мгновенного источника на высоте в момент и «отражения» примеси на границе будут иметь вид

Таким образом, распределение примеси между различными горизонтальными плоскостями не зависит от профиля ветра и от коэффициентов горизонтального обмена и определяется единственной функцией (и высотой источника Я). Решения уравнения (10.76) при условиях (10.92) для некоторых функций пригодных для аппроксимации профиля коэффициента вертикального обмена в приземном слое при различных метеорологических условиях, были найдены, в частности, Лайхтманом в 40-х годах; позже они исследовались также и другими авторами (см., например, Монин При такое решение имеет вид

где символ функции Бесселя от мнимого аргумента. Поскольку при безразличной температурной стратификации где (ср. (5.26)), решением (10.93) естественно пользоваться при отсутствии заметного вертикального градиента температуры. В случае наземного источника (т. е. при формула (10.93), заметно упрощается: здесь

В более общем случае степенной зависимости коэффициента обмена от высоты, когда где решение задачи (10.92) для уравнения (10.76) дается формулой

при отсюда следует, что

Значительно более громоздкие формулы для получаются при использовании функций содержащих «излом», т. е. составленных из двух аналитических выражений, действующих в различных интервалах высот. Тем не менее, для случая, когда

аналитическое представление функции (в виде некоторого интеграла от цилиндрических функций) было указано Мониным (1956а), составившим также таблицу значений этой функции (в безразмерных переменных, позволяющих исключить неопределенные постоянные соответствующей наземному источнику примеси (т. е. случаю

Следуя развитой в гл. 4 теории подобия для приземного слоя воздуха, при выборе аналитической формулы для функции целесообразно сначала перейти к безразмерным переменным

где естественный масштаб высот в приземном слое, определяемый формулой (7.12). Если, как обычно, считать, что коэффициент обмена для тепла совпадает с коэффициентом обмена для пассивной примеси, то в силу формулы (7.21) величина К. равенства (10.96) будет отличаться от числа Ричардсона (или, в случае неустойчивой стратификации, от его модуля) лишь множителем который, по-видимому, в большинстве случаев не очень сильно отклоняется от единицы. Функция теперь будет определяться условиями

которые уже универсальны, т. е. не содержат никаких метеорологических параметров. При этом, теоретически говоря, нам надо рассмотреть лишь случаи неустойчивой и устойчивой стратификации, которым отвечают две разные функции и мы получим формулы, пригодные во всех реальных случаях. Практически удобно добавить сюда также и третий случай безразличной стратификации (хотя в принципе его можно получить из любого из двух предыдущих при помощи предельного перехода . В этом третьем случае, как мы уже говорили, целесообразно полагать и, следовательно, применять формулы (10.93) и (10.93). Что же касается устойчивой и неустойчивой стратификации, то если бы соответствующие универсальные функции были достаточно точно известны, то можно было бы даже не аппроксимировать эти функции аналитическими формулами, а раз навсегда решить две задачи (10.97) численно и составить таблицы соответствующих функций от трех переменных. Поскольку, однако, из § 8 мы знаем, что функция и для неустойчивой и, особенно, для устойчивой

стратификации известна лишь в общих чертах, и что использование теории подобия в реальных условиях всегда сопровождается значительным разбросом эмпирических данных, пока вполне достаточно ограничиться рассмотрением приближенных выражений для позволяющих получить для явные формулы. В частности, в случае устойчивой стратификации при слабой устойчивости (т. е. тогда, когда интерес представляют лишь сравнительно малые значения можно, следуя Лайхтману (1944) и Дикону (1949), приближенно заменить степенной функцией вида с показателем , немного меньшим единицы. При сильной устойчивости (т. е. когда речь идет о широком интервале значений можно воспользоваться тем, что при и при и применять функцию вида (10.95). Точно так же в случае неустойчивой стратификации при слабой неустойчивости можно приближенно принять, что где немного больше единицы. При более сильной неустойчивости значительно более оправданной является «составная» формула вида

вытекающая из (7.51), а при особо резкой неустойчивости (когда основной интерес представляют значения превосходящие 0,05) можно полагать и пользоваться формулами (10.94) — (10.94) с

Полученные выше результаты позволяют довольно точно описать вертикальную диффузию в приземном слое воздуха при любой температурной стратификации. Что же касается учета горизонтальной диффузии, то простейший (но весьма грубый) метод здесь заключается в том, что скорость ветра и коэффициенты приближенно заменяются постоянными величинами равными средним значениям соответствующих функций от в пределах между верхней и нижней границами получающегося облака примеси (которые можно заранее рассчитать по функции При этом концентрация отвечающая случаю мгновенного точечного источника производительности в точке , возникшего в момент времени будет в первом приближении представляться в виде

где решение соответствующего уравнения (10.76) при условиях (10.92). Поскольку коэффициенты обычно не очень хорошо известны, практическое применение формулы (10.99) часто оказывается довольно затруднительным и может привести при разных выборах значений этих коэффициентов к заметно различающимся результатам. Еще более существенно, однако, то, что независимо от того, как определяются коэффициенты при использовании формул вида (10.99) с постоянной средней скоростью ветра мы полностью теряем важный эффект взаимодействия вертикального перемешивания с вертикальным градиентом скорости, который, как было показано выше, в турбулентных потоках в трубе или в канале и в безграничном пространстве при достаточно большом времени

диффузии играет основную роль в горизонтальном рассеянии. Отсюда ясно, что формула (10.99) и в приземном слое воздуха может быть применима лишь при сравнительно малых значениях