2.5. Математическая формулировка вопроса об устойчивости относительно малых возмущений

Условия возникновения турбулентности далеко не всегда удается выяснить столь простыми средствами, как это имело место в изложенных выше примерах. В общем случае эффективным средством исследования устойчивости является так называемый метод малых возмущений, идею которого мы сейчас изложим в применении к движениям несжимаемой жидкости постоянной плотности

Метод малых возмущений состоит в том, что поля скорости и давления удовлетворяющие уравнениям гидродинамики, пишутся в виде представляют собой частное решение тех же уравнений, устойчивость которого исследуется, а — малое возмущение.: Учитывая, что поля сами удовлетворяют уравнениям гйдродинамики, и пренебрегая квадратичными выраже ниями относительно возмущений, удается для получить

линейные уравнения вида

Продифференцировав уравнение (2.7), содержащее по просуммировав результат по и использовав последнее уравнение (2.7), можно выразить через с помощью формулы, аналогичной, формуле (1.9). Поэтому общее решение системы (2.7) будет определяться заданием одних лишь начальных значений функций При этом можно (по крайней мере в принципе) попытаться установить условия, при которых не все решения соответствующей задачи с начальными условиями будут затухать во времени; эти условия и будут условиями абсолютной неустойчивости решения Разумеется, если даже соответствующие условия и не будут выполняться, так что решение будет абсолютно устойчиво (относительно малых возмущений), остается еще возможность, что относительно конечных возмущений (описываемых существенно нелинейными уравнениями) это решение все же будет неустойчиво, т. е. что течение, описываемое этим решением, будет представлять собой систему с жестким возбуждением. Однако для того, чтобы опровернуть и эту возможность, требуются уже существенно иные методы исследования (см. ниже п. 2.9).

В случае, когда решение описывает стационарное ламинарное течение жидкости, коэффициенты системы уравнений (2.7), очевидно, не будут зависеть от времени. В таком случае эта система будет допускать частные решения вида

зависимость которых от времени задается экспоненциальным множителем вообще говоря, комплексной «частотой» . Допустимые значения «собственных частот» со и отвечающие им

«амплитуды» при этом будут определяться из некоторой задачи на собственные значения для линейной системы уравнений с частными производными. В тех случаях, когда коэффициенты этой системы не зависят от каких-то пространственных координат, число независимых переменных, - входящих в полученную систему, можно уменьшить, предположив заранее, что зависимость амплитуд и от соответствующих координат будет также экспонейциальной с фиксированным «волновым числом» (т. е. зафиксировав заранее, пространственный масштаб возмущения в направлении осей координат, по которым невозмущенное течение является однородным). Так, например, если невозмущенное течение зависит только от координаты , то можно положить

при этом собственные частоты и амплитуды к уже определяться из задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей параметры и Аналогичные формулы, в которых лишь заменяется на и будут иметь место для течения, существенно зависящего лишь от

Существенно, что весьма часто собственные функции оказываются образующими полную систему функций в пространстве всех векторных функций , удовлетворяющих уравнению неразрывности и соответствующим краевым условиям (если или то для этого, разумеется, достаточно, чтобы функции или при любом фиксированном или фиксированных образовывали полную систему функций в пространстве соответствующих векторных функций от двух или одного переменного). В таком случае любое начальное поле можно разложить в ряд (или интеграл) по этим собственным функциям. Поэтому общее

решение задачи с начальными условиями для системы уравнений (2.7) здесь может быть представлено в виде суперпозиции элементарных решений, экспоненциально зависящих от времени, так что общая задача об устойчивости может быть сведена к изучению лишь соответствующей задачи на собственные значения. А именно, здесь для устойчивости рассматриваемого ламинарного течения по отношению к малым возмущениям необходимо и достаточно, чтобы у всех возможных «собственных частот» мнимая часть была отрицательной. При наличии пространственной однородности по каким-то координатам различные собственные частоты будут, вообще говоря, зависеть от пространственных «масштабов» возмущений (т. е. от волновые чисел или и от числа Ясно, что при мнимые части всех частот будут стремиться к отрицательным значениям (так как при состояние покоя всегда устойчиво). Однако при возрастании мнимые части некоторых частот могут возрастать и, в конце концов, становиться положительными. Предположим, что задача на собственные значения, отвечающая, фиксированному масштабу возмущений (т. е. фиксированным или имеет дискретный спектр собственных частот (это предположение выполняется для многих важных течений). В таком случае критическое число соответствующее границе устойчивости ламинарного течения по отношению к малым возмущениям данного масштаба, будет определяться из уравнения где означает мнимую часть числа Наименьшее из таких критических значений для возмущений различных масштабов будет критическим числом потока в целом, т. е. при рассматриваемое ламинарное течение будет абсолютно неустойчивым, а при устойчивым. Заметим еще только, что введенное здесь число характеризующее абсолютную неустойчивость, очевидно, должно быть не меньше, чем критическое число Рейнольдса, характеризующее устойчивость потока относительно возмущений конечной амплитуды. Поэтому, следуя обозначениям, использованным на стр. 82, его можно было бы обозначить как . С другой стороны, однако, наличие неустойчивости при означает только, что при таких Числах Рейнольдса соответствующее ламинарное течение не может существовать, но совсем не означает еще, что оно обязательно перейдет в турбулентное течение. В самом деле, вообще говоря, возможно, что при нарушении устойчивости данное ламинарное течение превратится в новое ламинарное течение, являющееся уже устойчивым, а переход к турбулентности осуществится лишь при нарушении устойчивости и этого нового ламинарного течения при

числах Рейнольдса, значительно превосходящих (см. примеры в пп. 2.6-2.7).

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто, но все же не всегда — это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-то коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные «собственные функции» часто просто упускаются из виду, в результате чего система «элементарных решений» вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни (1962)). В тех случаях, когда система функций по каким-то причинам оказывается неполной, исследование одной лишь соответствующей задачи на собственные значения недостаточно для. решения задачи об устойчивости, и для полного выяснения вопроса приходится исследовать поведение общего решения соответствующей задачи с начальными условиями. Такое исследование весьма сложно; однако в частном случае идеальной жидкости с оно тем не менее позволило получить ряд вполне окончательных результатов (см. работы Дикого (1960а, б) и Кэйза (1960а, б), о которых подробнее ещё будет говориться ниже).