2.6. Устойчивость течения между двумя вращающимися цилиндрами

Одним из важных примеров абсолютной неустойчивости, допускающей полный математический анализ, является неустойчивость движения Куэтта между цилиндрами — плоского стационарного течения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами. Пусть и радиус и угловая скорость вращения внутреннего цилиндра, а внешнего. В цилиндрических координатах с осью по оси цилиндров поле

скорости стационарного течения определяется формулами

вывод которых был приведен выше (см. формулу (1.28) на стр. 44).

Пренебрегая сперва действием вязкости, можно определить критерий неустойчивости из следующих элементарных физических соображений. При стационарном ламинарном течении действующая на элементы жидкости центробежная сила уравновешивается радиальным градиентом давления. Пусть теперь элемент массы сместился под действием возмущения из положения с координатой в положение с координатой Тогда в силу закона сохранения момента количества движения в новом положении его скорость будет равна и, следовательно, на него будет действовать центробежная сила Равновесие будет неустойчивым, если эта, сила окажется больше ее равновесного значения на расстоянии от оси, равного по величине градиенту давления на расстоянии Следовательно, условие неустойчивости (которое для рассматриваемого здесь течения невязкой жидкости было установлено Рэлеем (1916а)) будет иметь вид

или, иначе,

С помощью формулы. (2.10) критерий неустойчивости Рэлея приводится к виду Если цилиндры вращаются в разные стороны, то где-то между цилиндрами меняет знак; таким образом, в этом случае течение наверное будет неустойчивым. При одинаковом направлении вращения цилиндров можно положить и тогда всюду будет при этом рэлеевский критерий неустойчивости принимает вид

Аккуратный математический вывод этого результата с помощью применения к движению невязкой жидкости методов теории

возмущений был дан Сингом (1933) для случая осесимметричных (т. е. не зависящих от возмущений поля скорости и Чандрасекаром (1960) для случая произвольных возмущений этого поля.

Более полный анализ (учитывающий также влияние вязкости) может быть осуществлен только с помощью метода малых возмущений, впервые примененного к данной задаче Тэйлором (1923). Так как невозмущенное поле скорости (2.10) здесь зависит только от координаты то, следуя (2.8) и (2.9), возмущение скорости и давления здесь можно искать в виде

где длина волны возмущения в направлении оси целое неотрицательное число, определяющее зависимость возмущения от угла — зависящие от «амплитуды» возмущения с заданной длиной волны, заданным значением и собственной частотой и. Подставляя формулы (2.10) и (2.13) в общую систему уравнений (2.7) и учитывая граничные условия при мы придем к задаче на собственные значения, определяющей спектр частот допустимых при данных Можно показать (см., например, Ди Прима (1961)), что эта задача после некоторых преобразований (включающих, в частности, исключение из полученной системы функций и может быть сведена к следующей системе дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций

где определяются из (2.10), это дифференциальный оператор

Граничные условия, при которых должна решаться система шестого порядка (2.14), имеют вид

По-видимому, нетрудно показать, что задача (2.14) — (2.16) всегда имеет дискретное множество собственных значений причем соответствующие собственные функции образуют полную систему в пространстве пар функций удовлетворяющих граничным условиям (2.16). Отсюда уже вытекает, что определяемые с помощью (2.13) начальные поля и , отвечающие собственным функциям со всевозможными и целыми неотрицательными будут образовывать полную систему функций в пространстве векторных функций от удовлетворяющих условию соленоидальности и обращающихся в нуль при Таким образом, исследование задачи на собственные значения (2.14) — (2.16) полностью исчерпывает исследование устойчивости течения Куэтта между цилиндрами. Однако сама эта задача на собственные значения столь сложна, что она до сих пор остается неизученной.

Вместо того, чтобы рассматривать общую систему уравнений (2.14), почти все исследователи, занимавшиеся вопросом об устойчивости течения Куэтта между цилиндрами, заранее предполагали, что т. е. ограничивались лишь осесимметричными возмущениями поля скорости основного течения. В таком случае эта система заметно упрощается и, как нетрудно видеть, может быть переписана в виде

где

Краевая задача (2.17) — (2.16) при, фиксированном имеет счетное число собственных значений и собственных функций Однако соответствующие функции теперь уже, разумеется, не будут образовывать полную систему в пространстве допустимых начальных полей (хотя бы потому, что все эти функции не зависят от Тем не менее, обычно область пар которым отвечают неустойчивые возмущения вида возмущения такого, вида с просто отождествляются со всей областью неустойчивости (см., например, Линь (1955), Чандрасекар Стюарт Иначе говоря, обычно предполагается (хотя это и не всегда специально оговаривается), что при всех значениях при которых имеется хоть одно собственное значение будет иметься также и значение (отвечающее ) с (т. е. что при возрастании числа Рейнольдса неотрицательная мнимая часть всегда раньше всего появляется при Так как данные экспериментов, как будет видно из дальнейшего, прекрасно подтверждают совпадение области неустойчивости, определяемой из рассмотрения одних лишь осесимметричных возмущений, со всей областью неустойчивости течения между вращающимися цилиндрами, то они подтверждают тем самым и это последнее предположение (см. также сноску на стр. 105).

Будем теперь считать радиусы фиксированными. Нетрудно видеть, что при достаточно малых и все собственные значения будут иметь отрицательную мнимую часть (так как состояние покоя всегда устойчиво). Если же мы будем увеличивать угловые скорости не меняя отношения (что в данном случае соответствует увеличению числа Рейнольдса без нарушения геометрического подобия), то при некоторых нулевая мнимая часть ни у одного так и не появится (т. е. движение все время останется устойчивым), в то время как при других значениях при некотором впервые появится значение такое, что какое-то будет уже иметь нулевую мнимую часть (т. е. движение станет неустойчивым).

Любопытно, что в этой задаче при всех потеря устойчивости имеет место в связи с появлением собственного значения такого, что не Только но и вообще (точное математическое доказательство этого факта, по-видимому,

было дано лишь для случая, когда в работах Пэлью и Саусвелла (1940) и Мексина (1946); однако и данные экспериментов и результаты численных расчетов подтверждают, что на самом деле он имеет общий характер). Это значит, что при потере устойчивости течения Куэтта между цилиндрами появляется новое стационарное движение с полем скорости и, где (такое движение имеет характер ряда вихрей, расположенных в меридиональных плоскостях). То, что переход от устойчивого состояния к неустойчивому происходит через стационарное состояние, которому отвечает чисто нулевое собственное значение в работах по гидродинамической теории устойчивости иногда называется принципом смены устойчивости. В свое время этому принципу придавалось большое значение, но в настоящее время известно, что он выполняется лишь в некоторых специальных случаях и нарушается для многих простых течений (например, для плоского течения Пуазейля). При дальнейшем возрастании числа появляется целый интервал значений для которых имеются собственные значения Опыт показывает, однако, что при этом возмущенное движение довольно долго еще имеет характер совокупности стационарных периодических вихрей, но уже с периодом, который не может быть определен из линейной теории (ср. ниже п. 2.9). При дальнейшем значительном возрастании и это периодическое движение в конце концов становится неустойчивым и переходит в неупорядоченное турбулентное движение.

Хотя краевая задача (2.17) — (2.16) значительно проще, чем (2.14) — (2.16), вычисление соответствующих собственных значений все равно наталкивается на значительные трудности. Поэтому первоначально это вычисление было осуществлено Тэйлором (1923) лишь в предположении очень узкого зазора между цилиндрами (т. е. при , позволяющем еще значительно упростить исходные уравнения. Метод Тэйлора основан на разложении решений системы уравнений по некоторой специальной ортонормированной системе функций; при этом рассматриваемые дифференциальные уравнения, очевидно, сводятся к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Позже этот метод был несколько усовершенствован Сингом (1938); другие численные методы (в частности, метод, опирающийся на сведение

рассматриваемой краевой задачи к некоторой вариационной задаче, и метод Галеркина), также применимые только в случае узкого зазора между цилиндрами, были развиты Пэлью и Саусвеллом (1940), Мексином (1946), Чандрасекаром (1954, 1961), Ди Прима (1955), Стайнмен (1956), Дьюти и Ридом (1964) и другими авторами. Лишь сравнительно недавно Виттинг (1958) предложил более общий подход, использующий разложение решений по степеням параметра а в работах Чандрасекара (1958), Чандрасекара и Элберт (1962), Кирхгеснера (1961) и Спэрроу, Мунро и Джонсона (1964) были разработаны еще более общие методы численного решения задачи о собственных значениях (2.17) — (2.16) при произвольных Заметим еще, что сам факт неустойчивости течения вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами при некоторых значениях был, строго доказан Крыловым (1963) без всякого использования численных методов, но такое доказательство не дает возможности определить границу области неустойчивости. Численные же методы позволяют найти эту границу с большой степенью точности и показывают, что она во всех случаях имеет примерно одинаковую форму.

Рис. 13. Расположение области неустойчивости на плоскости для течения Куэтта между цилиндрами при двух значениях отношения

Область неустойчивости на рисунке заштрихована. Пунктиром нанесена граница области неустойчивости для соответствующего течения невязкой жидкости (по Рэлею).

Для примера мы воспроизводим на рис. 13, а расположение области плоскости в которой возможны неустойчивые возмущения, не зависящие от при (по расчетам Тэйлора, прекрасно согласующимся и со всеми

последующими расчетами), а на рис. 13, б — расположение той же области при (по расчетам Чандрасекара). В обоих случаях (а также и при всех других в области ни при каких не возникает неустойчивости, так что вязкость здесь может иметь лишь стабилизирующее значение. В области же согласно данным рис. 13 при достаточно большом обязательно возникает абсолютная неустойчивость. В незаштрихованной на рис. 13 области движение оказывается устойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям, но, как показывает опыт, при достаточно больших оно все же неустойчиво по отношению к возмущениям конечной величины, причем в этом случае потеря устойчивости приводит к спонтанному образованию развитой турбулентности. Граница области устойчивости, рассчитанная Тэйлором, прекрасно совпала с опытными данными, найденными и им самим, и рядом других исследователей, и это явилось первым большим успехом гидродинамической теории возмущений (см. рис. 13, а, на котором точками указаны эмпирические значения ряда пар при которых впервые возникает потеря устойчивости). Расчеты для случая также прекрасно подкрепляются имеющимися опытными данными Доннели и Фультца (1960) (точки на рис. 13,6; ср. также Доннели (1962)).