5.5. Турбулентные течения в каналах и круглых трубах; законы сопротивления

Рассматривавшиеся выше общие закономерности турбулентных течений около твердой стенки относились к широкому классу течений, включающему, в частности, и течения в каналах и трубах; поэтому многие экспериментальные данные о турбулентности в каналах и трубах уже использовались в предыдущем изложении. Однако течения, в каналах и трубах обладают также и важными особенностями, отличающими их от идеализированных течений в полупространстве с которыми мы до сих пор имели дело. В первую очередь здесь надо отметить, что в отличие от течения в полупространстве для течений в каналах и трубах имеется характерная длина (полуширина канала) или (радиус трубы) и характерная скорость (максимальная скорость в середине канала или на оси трубы) или (средняя скорость, определяемая как или же Отсюда ясно, что теория течений в слое постоянного трения около стенки не исчерпывает

всей теории течений в каналах и трубах, к рассмотрению которой мы сейчас и перейдем.

Начнем с общих соображений о подобии, причем сначала для простоты будем считать, что стенки являются аэродинамически гладкими. Течение мы будем рассматривать лишь на достаточно больших расстояниях от входа в канал или трубу, на которых условия у входа уже не сказываются, и будем предполагать его стационарным и полностью турбулентным. В таком случае отличной от нуля будет лишь одна компонента средней скорости, и все статистические характеристики потока будут зависеть от единственной координаты расстояния от стенки канала или трубы (для трубы где расстояние от оси). При заданных размерах канала или трубы и заданных плотности и вязкости жидкости мы будем иметь однопараметрическую совокупность течений, определяемых значением «напора» — постоянного продольного градиента давления. Градиент давления будет уже однозначно определять такие характеристики течения, как скорости и напряжение трения на стенке то или, иначе, динамическую скорость

Таким образом, значения статистических характеристик течения на расстоянии z от стенки здесь могут зависеть от следующих параметров: (для трубы мы теперь через обозначаем радиус, т. е. полагаем и одной из скоростей или Из этих параметров можно составить две безразмерные комбинации: число Рейнольдса (в качестве характерной скорости мы выбираем скорость и и безразмерное расстояние Следовательно,

эта более общая формула заменяет теперь формулу (5.13).

Мы видим, что профиль средней скорости течения в канале или в трубе, вообще говоря, определяется некоторой функцией от двух переменных (которая, разумеется, может быть различной для канала и для трубы). Имеются, однако, два важных предельных случая, в которых функцию удается все же выразить через функции от одного переменного; к ним мы сейчас и перейдем.

Первый случай (детально рассмотренный в п. 5.2-5.4) - это случай малых значений z (таких, что ). В этом

случае зависимость скорости от длины становится несущественной, так что формула (5.39) должна обратиться в соотношение

совпадающее с (5.13). Второй же предельный случай, с которым мы раньше не сталкивались, — случай больших значений соотвётствующих «турбулентному ядру» течения, примыкающему к середине канала или оси трубы. В области больших значений удаленной от твердых стенок, можно рассчитывать на применимость тех же рассуждений, которыми мы пользовались на стр. 299—230 в связи с выводом логарифмической формулы для профиля средней скорости. А именно, поскольку вдали от стенок при развитой турбулентности турбулентное напряжение трения обычно во много раз превосходит вязкое напряжение, то есть основания думать, что в «турбулентном ядре» вязкость не будет оказывать непосредственного влияния на режим движения (хотя косвенно она все же будет влиять, поскольку от нее зависят граничные условия на границе «ядра» и значение параметра и, определяющего в силу (5.17) и (5.17) величину турбулентного напряжения во всех точках потока). При отсутствии характерного масштаба длины отсюда следовало соотношение (5.21), приводящее к логарифмическому профилю, при наличии же такого масштаба мы будем иметь более общее равенство где некоторая функция от одного переменного. Представив, далее, эту функцию в виде где и проинтегрировав выражение для в пределах от некоторого значения до найдем

Соотношение (5.41), называемое обычно законом дефекта скорости, впервые было указано Карманом (1930) в применении к течению в трубе, исходя из экспериментальных данных Фрича (1928). В дальнейшем этот закон неоднократно тщательно проверялся (см. ниже рис. 30 и 31), и теперь уже нет сомнений, что он представляет собой частный случай весьма общего принципа подобия по числу Рейнольдса, выполняющегося со значительной степенью точности для широкого класса турбулентных движений. Согласно этому принципу при достаточно больших числах Рейнольдса (при где

характерные масштабы скорости и длины) для достаточно большой области турбулентного течения (обычно охватывающей почти весь поток за исключением сравнительно тонких слоев, примыкающих к стенкам) осредненное движение не зависит непосредственно от коэффициента вязкости (т. е. от числа Рейнольдса), оказывающего влияние на поток только через посредство граничных условий и величины (см. Таунсенд (1956)). Заметим еще, что такое «подобие по числу Рейнольдса», вообще говоря, будет иметь место не только для средней скорости, но и для всех статистических характеристик течения, не связанных непосредственно с диссипацией кинетической энергии под действием вязкости (т. е., например, для или но не для этом последнем утверждении мы здесь, однако, уже не будем задерживаться.

Приведем теперь важное рассуждение Изаксона (1937) (развитое затем в работах Милликена (1938) и Мизеса (1941)), позволяющее в некоторых случаях установить точный вид функций . А именно, предположим, что так что существует некоторый интервал значений для которого общую формулу (5.39) можно представить и в виде (5.40), и в виде (5.41) (это предположение, разумеется, уже не может быть обосновано теоретически, а должно проверяться на конкретных экспериментальных данных). В таком случае, складывая равенства (5.40) и (5.41), мы получим

где через обозначена величина которая, очевидно, может зависеть только от числа Рейнольдса (но не от Но из функционального уравнения (5.42) легко следует, что все три функции являются логарифмическими. В самом деле, продифференцировав равенство (5.42) сначала по а затем по получим

отсюда вытекает, что , где постоянные интегрирования. Таким образом, мы снова пришли к соотношению (5.25), исходя из немного других соображений. Подставляя теперь полученное выражение функции в (5.42), убеждаемся, что

Таким образом, «закон дефекта скорости» в области его пересеченияс законом (5.40) должен иметь вид

причем если только формула (5.43) может быть применена вплоть до значения (т. е. то, очевидно, (последний вывод, разумеется, не следует автоматически из приведенных рассуждений, так как они относятся лишь к области Наконец, логарифмическая формула для дает нам следующую зависимость отношения от числа Рейнольдса:

Вводя вместо коэффициент сопротивления трения мы можем переписать последнюю формулу также в виде

До сих пор мы все время предполагали, что стенки рассматриваемого канала или трубы являются гладкими. Легко видеть, однако, что приведенные рассуждения могут быть перенесены почти без всяких изменений и на случай канала или трубы с шероховатыми стенками. В этом случае функция в равенстве (5.39) и функция в равенстве (5.40) могут зависеть также от дополнительных аргументов (или определяющих размеры, форму и взаимное расположение неровностей стенки. Тем не менее, естественно думать, что в «ядре» течения наличие шероховатости будет сказываться только через значения граничных условий и значение турбулентного напряжения трения (зависящего от величины трения о стенку), но не непосредственно; если это так, то соотношение (5.41) должно быть одинаковым и для гладких, и для шероховатых стенок. Но в таком случае, предположив, что области, в которых выполняются соотношения (5.40) и (5.41), частично перекрываются между собой, мы немедленно приходим к функциональному уравнению (5.42) с той только разницей, что теперь функции могут зависеть еще от дополнительных

параметров, характеризующих шероховатость. Отсюда, как и выше, вытекает, что при все три функции должны быть логарифмическими с общим коэффициентом при логарифме; следовательно, этот коэффициент должен являться универсальной постоянной (так же как и коэффициент Что же касается коэффициентов то они могут содержать еще некоторое общее слагаемое, зависящее от размеров и характера шероховатости. Если считать, что формула (5.43) применима вплоть до значения то вообще поэтому при этом предположении данные измерений коэффициента сопротивления позволяют сразу определить и значение коэффициента В (или коэффициента В формулы (5.28), просто связанного с В). Именно таким образом и были получены значения В при разных представленные в виде черных точек на рис. 28.

В частном случае динамически вполне шероховатой стенки функция не должна зависеть от вязкости т. е. она будет функцией только от Отсюда вытекает, что функция здесь будет зависеть только от Следовательно, в этом случае соотношения (5.44) и (5.45) принимают вид

где коэффициент может зависеть от формы и взаимного расположения неоднородностей стенки.

Значительное число экспериментальных данных, подтверждающих справедливость соотношения (5.40) (совпадающего с для турбулентных течений трубах и каналах, было собрано на рис. 25. Разумеется, для того чтобы указанные здесь расстояния можно было перевести в значения переменной надо знать число которое является сложной функцией от числа Рейнольдса неявно задаваемой соотношением (5.45). Для ориентировки мы лриведем

таблицу, показывающую зависимость нижней границы логарифмического пограничного слоя для течений в гладких трубах от наиболее широко используемого числа Рейнольдса

(на связи скоростей мы еще остановимся ниже). С ростом числа Рейнольдса отношение естественно, уменьшается, но это уменьшение не будет безграничным. Для каждой реальной трубы при возрастании числа Рейнольдса в конце концов наступает момент, когда она оказывается уже вполне шероховатой; после этого нижняя граница логарифмического слоя начинает уже зависеть только от и не меняется при дальнейшем возрастании средней скорости течения.

Что же касается до верхней границы значений для которых оказывается применимой логарифмическая формула (5.25), то выше уже отмечалось, что по данным Никурадзе и в гладких, и в шероховатых трубах эта граница в широком диапазоне чисел Рейнольдса оказывается весьма близкой к значению (так что логарифмический пограничный слой тянется почти до центра трубы). При этом, однако, для применения логарифмической формулы ко всему течению в трубе Никурадзе пришлось несколько изменить коэффициенты по сравнению с теми, которые давали наилучшее совпадение в примыкающей к стенке части потока. Отсюда ясно, что предложенные Никурадзе логарифмические формулы для всего течения в целом нельзя считать совпадающими с теоретическим законом (5.25), справедливым при . В самом деле, коэффициенты в теоретической формуле (5.25), очевидно, должны определяться на основании по возможности массового материала, относящегося лишь к пристеночной части турбулентных течений; только используя такие коэффициенты, можно пытаться выяснить, нарушается ли закон изменения скорости, отвечающий логарифмическому пограничному слою, в центральной части течения. Попытка такого рода впервые была предпринята Милликеном (1938), использовавшим почти все имевшиеся в то время немногочисленные данные о течениях в трубах и каналах.

Любопытно, что для значений коэффициентов в формуле (5.25) Милликен получил значения почти не отличающиеся от тех, которые считаются наиболее надежными в настоящее время выше стр. 234). Далее, согласно его оценкам отклонения профиля средней скорости в круглой трубе от значений, даваемых формулой (5.25), начинаются примерно при после изменения значения на причем при всех они не превосходят 10% от соответствующего значения Несмотря на то, что количество экспериментальных данных о профиле скорости в круглых трубах к настоящему времени заметно выросло по сравнению с 1938 г. (см. по этому поводу, например, обзорную статью Хинце (1962)), эти выводы Милликена и сейчас полностью остались в силе.

Из результатов Никурадзе ясно также, что если оба коэффициента в логарифмической форме (5.43) закона дефекта скорости рассматривать как эмпирические постоянные, то можно считать, что эта формула действует вплоть до т. е. хорошего совпадения с экспериментальными данными можно достигнуть даже и при Теоретически, однако, значение А нельзя считать произвольной постоянной, а надо определять его из обработки результатов измерений, относящихся к примыкающей к стенке части течения.

Рис. 30. Проверка закона дефекта скорости для турбулентного течения в трубе по данным Лауфера (1954).

В таком случае для получения наилучшего совпадения приходится принять, что (см., например, заимствованный из книги Хинце (1959) рис. 30, построенный на материале измерений Лауфера (1954); значение т. е. , здесь выбрано в соответствии с рекомендацией Клаузера (1956)). Аналогичные результаты

получаются и для течений в прямоугольном канале (см. заимствованный из статьи Шубауэра и Чена (1959) рис. 31, где положено ; отклонения от логарифмической формулы (5.43) в обоих случаях начинаются примерно при

Рис. 31. Проверка закона дефекта скорости для турбулентного течения в прямоугольном канале по данным Лауфера и Денха (F. DOnch) .

Рис. 32. Сравнение профилей средней скорости при ламинарном и турбулентном течениях в трубе.

Вопрос о выборе аналитической формулы для функции дающей хорошее совпадение с опытными данными на большем интервале значений обсуждается во многих работах (см., например, Госс (1961)). Однако в практических задачах чаще всего можно просто считать, что профиль средней скорости в трубе при турбулентном течении вплоть до самой оси описывается логарифмической формулой. Ясно, что такой профиль резко отличается от параболического профиля ламинарного течения Пуазейля: вследствие гораздо более сильного радиального перемешивания. в турбулентном течении профиль скорости всюду, кроме тонкого пристеночного слоя, оказывается заметно более сглаженным, чем в лами: парном течении (см. рис. 32). Заметим еще, что при функция мало отличается от функции поэтому

неудивительно, что при первых тщательных измерениях профиля скорости около оси трубы, произведенных Дарси (1858) была получена эмпирическая формула, которая в наших обозначениях имеет вид

Считая профиль скорости логарифмическим вплоть до оси трубы и пренебрегая тонким пристеночным слоем толщины к которому уже неприменима логарифмическая формула, можно установить также простое соотношение между максимальной скоростью на оси трубы и средней скоростью . В самом деле, проинтегрировав равенство (5.43) с -умноженное на , в пределах от до и разделив результат на получим

Следовательно, для гладких труб (ср. (5.44))

Это соотношение также хорошо подтверждается на опыте. Формула (5.47) позволяет установить форму закона сопротивления, т. е. зависимость от числа Рейнольдса безразмерного коэффициента сопротивлениях (отличающегося от коэффициента в формуле (5.45), кроме; несущественного численного множителя, лишь заменой максимальной скорости более просто измеряемой средней скоростью . В самом деле, представив в (5.47) выражение в виде произведения получим

(кликните для просмотра скана)

Величина К просто определяется по известному перепаду давления на участке трубы длины I и по расходу поэтому количество данных о зависимости от очень велико. Как показал Никурадзе (1932), все эти данные очень хорошо согласуются с формулой (5.48) при следующих значениях коэффициентов: соответствует рис. 33, где вместе с кривой (5.48) нанесена также и прямая отвечающая в силу (1.26) ламинарному течению в трубах). Согласно формуле (5.48), X неограниченно убывает с ростом на самом деле это, разумеется, будет не так, поскольку при возрастании каждая труба в конце концов оказывается вполне шероховатой. Как только это произойдет, коэффициент сопротивления трубы становится уже независимым от числа Рейнольдса и определяется по формуле

вытекающей из формулы (5.28) с прилагаемой ко всем значениям z из интервала Такое поведение коэффициента Я наглядно иллюстрируется данными рис. 34.

Если не требуется очень большая точность, то можно считать, что и в случае турбулентного течения в плоском канале ширины логарифмическая форма закона дефекта скорости (5.43) также выполняется вплоть до значения отвечающего центру канала (при этом, разумеется, должно равняться нулю). Та же формула часто применяется и в случае течения в открытом плоском канале глубины ограниченном сверху свободной поверхностью жидкости (для такого канала максимальная скорость очевидно, будет достигаться на верхней границе течения, так что и здесь Иногда также в случае открытого канала вместо формулы (5.43) используется следующая формула Кармана (1930):

Еще лучшего совпадения с данными опыта можно здесь добиться, приняв несколько более общую формулу

где С — новый числовой коэффициент, который по данным Ханта (1954) оказывается немного большим единицы.

Рис. 34. Зависимость коэффициента сопротивления К от числа Рейнольдса для шероховатых труб различной шероховатости.

Наконец, Эллисон (1960), исходя из некоторых теоретических соображений, предложил в случае открытого канала вместо формул (5.49) или (5.49) использовать соотношение вида

Правая часть которого при некоторых значениях оказывается очень близкой и к правой части и к правой части (5.49) или (5.49). Согласно предложенной Эллисоном косвенной оценке коэффициента (о которой мы еще скажем чуть подробнее в что не противоречит также и имеющимся эмпирически данным о профиле средней скорости в открытых, каналах,

Для ограниченного интервала значений числа Рейнольдса общая формула (5.48) может быть приближенно заменена также значительно более простыми степенными законами сопротивления внда

Подобные степенные законы получаются, в частности при аппроксимации (часто применявшейся в прошлом) профиля скорости степенными формулами вида

при этом, как легко видеть,

Наиболее известным степенным законом сопротивления является эмпирический закон Блазиуса (1913)

установленный с помощью обработки данных, относившихся к числам Рейнольдса не превосходящим (ср. рис. 33). Согласно (5.51), закону Блазиуса соответствует «закон 1/7» для профиля скорости, в силу которого этот «закон 1/7» (хорошо выполняющий при широко использовался во многих исследованиях, начиная с 20-х годов нашего столетия. Однако степенные законы не являются универсальными (т. е. годными при всех числах Рейнольдса): при больших числах Рейнольдса приходится использовать меньшие значения

Разумеется, помимо степенных формул можно подобрать и другие формулы для аппроксимирующие неявное соотношение (5.48) на большом интервале значений . В частности, Никурадзе предложил использовать приближенную формулу другими исследователями было предложено еще несколько формул такого рода (см., например, посвященную некоторым таким формулам критическую заметку Колмогорова