4.2. Моменты и семиинварианты случайных полей

В теории турбулентности приходится иметь дело со случайными полями — случайными функциями от точки М четырехмерного пространства — времени. Моментами порядка такого поля называются средние значения произведений К значений поля:

Эти моменты зависят от координат тех точек, в которых берутся значения поля, так. что момент порядка, вообще говоря, является функцией от переменных. Следует, однако, иметь в виду, что некоторые из точек могут и совпадать друг с другом; число различных среди них определяет тип момента. В этой связи мы будем различать моменты одноточечного типа, двухточечного типа, трехточечного типа и т. д. (короче — одноточечные, двухточечные, трехточечные и т. д. моменты). Если тип момента меньше его порядка, то соответствующий момент будет обозначаться символом где запятыми отделены группы, относящиеся к различным точкам пространства — времени.

Средние значения произведений значений нескольких разных случайных полей, статистически связанных друг с другом, называются смешанными моментами этих полей. Так, например, поле вектора скорости будет иметь различных (обычных и смешанных) моментов порядка К, образующих вместе один трехмерный тензор ранга. В частности, важные для дальнейшего двухточечные моменты второго и третьего порядков поля скорости являются компонентами следующих тензоров второго и, соответственно, третьего рангов:

тензор очевидно, симметричен по индексам Аналогичные обозначения будут употребляться и для смешанных моментов других гидродинамических полей; например, двухточечные смешанные моменты поля давления и поля скорости или поля Давления и поля температуры будут обозначаться символами , или соответственно . В случае моментов, порядок которых превосходит их тип, группы индексов, относящиеся к различным точкам, будут отделяться запятыми; например, через ты будет обозначаться трехточечный смешанный момент шестого порядка полей скорости, давления и температуры, содержащий четыре компоненты скорости и являющийся тензором четвертого ранга, симметричным по парам индексов Центральные моменты (т. е. моменты пульсаций гидродинамических полей — их отклонений от своих средних значений) в случае полей с отличными от нуля средними значениями будут обозначаться так же, как и аналогичные обычные моменты, но с заменой буквы В на или с добавлением штрихов у соответствующих индексов.

Одноточечные моменты удобнее обозначать просто с помощью черты сверху (например, или впрочем, для Дисперсии поля иногда будет использоваться также и один из двух следующих специальных символов: а или (второе из этих обозначений уже использовалось в § 2 — см., например, рис. 7 и 24).

В тех случаях, когда аргументы являются произвольными точками четырехмерного пространства — времени, мы будем называть соответствующие моменты пространственно-временными. Чаще всего, однако, в исследованиях по теории турбулентности ограничиваются рассмотрением лишь моментов, в которых значения всех полей относятся к одному и тому же моменту времени такие моменты обычно называются пространственными. Иногда приходится иметь дело также со временными моментами — средними произведениями значений гидродинамических полей в одной точке (но в разные моменты времени). В дальнейшем, говоря просто о моментах, мы всегда будем иметь в виду пространственные моменты; если же речь будет идти о временных или пространственно-временных моментах, то это обстоятельство всегда будет специально оговариваться,

Особенно часто нам будут встречаться в этой книге так называемые корреляционные функции — двухточечные моменты вто-рого порядка. Корреляционная функция поля очевидно, симметрично зависит от аргументов

Кроме того, она обладает тем свойством, что

при любом целом неотрицательном и любом выборе точек вещественных чисел (ибо правая часть (4.15) совпадает со средним значением неотрицательной величины и В частности, при из (4.15) вытекает неравенство

В дальнейшем мы увидим, что любая функция удовлетворяющая (4.14) и (4.15), может являться корреляционной функцией некоторого случайного поля (см. сноску на

стр. 192). Смешанный двухточечный момент часто называют взаимной корреляционной функцией полей и и Эта функция удовлетворяет аналогичному (4.16) неравенству

кроме того, очевидно,

и если обозначить произвольные полей, то

при любом выборе точек вещественных чисел и целых чисел (принимающих значения от 1 до Двухточечные моменты выше чем второго порядка, очевидно, представляют собой корреляционные функции некоторых новых полей, являющихся произведениями исходных; поэтому такие двухточечные моменты иногда называют корреляционными функциями высших порядков.

Центральные двухточечные моменты второго порядка

и

представляют собой корреляционные функции пульсаций соответствующих полей; иногда, когда не будет опасности путаницы, мы их будем называть просто корреляционными функциями. Корреляционные функции пульсаций, разумеется, обладают всеми свойствами обычных корреляционных функций. Весьма важно также, что при делении функции на или на мы получаем коэффициент корреляции между или между

поэтому корреляционные функции пульсаций обращаются в нуль каждый раз, как только обращается в нуль соответствующий коэффициент корреляции. Так как естественно предполагать, что для любого гидродинамического поля и или пары таких полей и и статистическая связь между величинами или (характеризуемая величиной соответствующего коэффициента корреляции) безгранично ослабевает при неограниченном удалении точек друг от друга, то, следовательно, корреляционные функции пульсаций гидродинамических полей при таком удалении всегда стремятся к нулю. Это обстоятельство определяет важное свойство корреляционных функций пульсаций, которым обычные корреляционные функции, вообще говоря, уже не обладают.

Известно, что для независимых случайных величин среднее значение произведения равно произведению средних значений отдельных сомножителей. Так как значения гидродинамических полей в очень далеких точках почти независимы, то отсюда следует, что любые, центральные моменты гидродинамических полей (скажем, взятых в точках порядок которых равен их типу, стремятся к нулю при неограниченном удалении одной из точек от всех остальных. Однако для центральных моментов, порядок которых превосходит их тип, последнее утверждение уже будет неверным. Точно так же, для центральных моментов порядка стремление к нулю, вообще говоря, не будет иметь места, если неограниченно удаляться от остальных будет не одна точка, а некоторая группа точек. В то же зремя, в случае, например, общего центрального момента четвертого порядка нетрудно проверить, что разность

уже будет стремиться к нулю при любом изменении положения точек таком, что расстояние между хотя бы двумя из них неограниченно возрастает. Можно показать, что и в случае любого другого момента (центрального или обычного — безразлично) всегда можно подобрать такую комбинацию моментов низших порядков, что разность исходного момента

и этой комбинации стремится к нулю при неограниченном удалении друг от друга любых двух точек, от которых зависит рассматриваемый момент (см. мелкий шрифт ниже). Соответствующие разности момента порядка К и специально подобранных комбинаций моментов низших порядков как раз и совпадают с теми семиинвариантами случайных величин, о которых мы говорили в и поэтому называются семиинвариантами (кумулянтами) порядка К рассматриваемых гидродинамических полей.

Воспользовавшись определением семиинварианта, приведенным на стр. 183 (см. равенство (4.11)), нетрудно доказать, что семиинварианты гидродинамических полей турбулентного потока действительно обладают указанным здесь свойством. В самом деле, рассмотрим произвольный семиинвариант

где характеристическая функция значений гидродинамических полей (быть может, частично или полностью совпадающих между собой) в точках (которые также могут частично совпадать). Пусть теперь система точек изменяется таким образом, что расстояние между хотя бы двумя из них (например, между точками неограниченно увеличивается. В таком случае эта система обязательно разобьется на, по крайней мере, две такие подсистемы, каждая точка первой из которых неограниченно удаляется от каждой точки второй (достаточно, например, принять за первую подсистему совокупность всех точек, неограниченно удаляющихся от точки Но так как статистическая связь между значениями любых гидродинамических полей неограниченно ослабевает с увеличением расстояния между точками, в которых берутся эти значения, отсюда вытекает, что случайных величин распадаются на, по крайней мере, две группы, такие, что величины первой группы становятся в конце концов практически независимыми от величин второй группы. Воспользуемся теперь тем, что характеристическая функция совокупности двух групп статистически независимых случайных величин равна произведению характеристических функций каждой из этих групп по отдельности. Отсюда вытекает, что при рассматриваемом изменении совокупности точек функция стремится распасться в произведение где Подставляя это выражение функции в формулу (4.22) и учитывая, что при всех убеждаемся, что семиинвариант таком изменении системы течек стремится к нулю.