Теория Ландау

Значительно более перспективным (но и гораздо более трудным) представляется подход к исследованию поведения конечных возмущений основанный на рассмотрении полной системы нелинейных уравнений гидродинамики (2.32). При этом интерес представляет как исследование возмущений в потоке с числом Рейнольдса, меньшим определяемого из линейной теории возмущений числа (с целью определения критического числа Рейнольдса по отношению к конечным возмущениям), так и исследование возмущений при (с целью изучения дальнейшей эволюций слабых возмущений, экспоненциально возрастающих с ростом согласно линейной теории). В настоящее время, однако, в отношении обеих указанных здесь задач имеются только отдельные изолированные результаты, причем почти все они относятся лишь случаю чисел Рейнольдса, мало отличающихся от (по поводу более точной оценки области допустимых значений см. работу Дж. Стюарта (I960)).

Наиболее общие закономерности поведения конечных возмущений при близком к не зависящие даже от конкретного вида уравнений гидродинамики, были указаны Ландау (1944) (см. также Ландау и Лифшиц (1953), § 27). Будем сперва считать, что но мало. Так как при впервые появляется малое возмущение с «частотой» , имеющей нулевую мнимую часть, то при малом положительном будет существовать инфинитезимальное возмущение с полем скорости вида

где (так что при достаточно малом Отсюда ясно, что удовлетворяет уравнению

Однако формула (2.38) верна лишь в рамках линейной теории возмущений. При возрастании же неизбежно наступает момент, когда эта теория перестает действовать и должна быть заменена более полной теорией, учитывающей нелинейные по возмущениям члены уравнений гидродинамики. Правую часть уравнения (2.38) при этом можно рассматривать как первый член разложения в ряд по степеням (где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина). В следующем приближении (действующем при больших необходимо

учесть еще и следующие по порядку члены этого ряда. Следующие члены — это члены третьего порядка; однако надо учесть, что движение (2.37) сопровождается быстрыми (по сравнению с характерным временем возрастания амплитуды) периодическими колебаниями, описываемыми множителем в выражении для Эти периодические колебания нам неинтересны; поэтому для их исключения имеет смысл осреднить выражение по периоду времени, большому по сравнению с малому по сравнению с Так как члены третьего порядка по очевидно, все будут содержать периодический множитель, то они выпадут при таком осреднении. Что же касается членов четвертого порядка, то из них после осреднения сохранится лишь слагаемое, пропорциональное Таким образом, сохраняя слагаемые не выше четвертого порядка, мы будем иметь уравнение вида

(так как период осреднения много меньше то величины при осреднении практически не изменятся, так что (2.39) можно считать точным уравнением для амплитуды осредненного возмущения). При этом о знаке коэффициента 8 ничего сказать нельзя: вообще говоря, следует ожидать, что он может быть как положительным, так и отрицательным.

Общее решение уравнения (2.39) может быть записано в виде

где С — неопределенная постоянная интегрирования. Из формулы (2.40) следует, что если достаточно мало, то амплитуда сначала возрастает экспоненциально (в соответствии с линейной теорией), но затем скорость этого возрастания убывает, и при амплитуда стремится к конечному значению не зависящему от Заметим теперь, что у — это функция от числа Рейнольдса, которая обращается в нуль при и может быть разложена в ряд по степеням (последнее обстоятельство может быть выведено из теории возмущений), в то время как при Поэтому и, следовательно, при малых

Если же то решение (2.40) формально обращается В бесконечность при следовательно, еще

значительно раньше оно достигает столь больших значений, что далее уже приходится отказаться от использования уравнения (2.39), полученного с помощью сохранения лишь двух первых членов в разложении по степеням В этом случае, однако, уравнение (2.39) может быть применено для исследования поведения конечных возмущений при В самом деле, при коэффициент очевидно, будет отрицательным, т. е. малое возмущение вида (2.37) будет затухать. Так второй член в правой части (2.39) (равный - ) положителе при то при достаточно большом производная (осредненная по соответственно выбранному периоду времени) может стать положительной, т. е. по отношению к конечному возмущению движение будет неустойчивым уже при При не слишком больших амплитудах, при которых можно пользоваться уравнением (2.39), амплитуда будет возрастать, если Учитывая, что мы найдем, что относительно возмущений заданной амплитуды поток будет неустойчив при где Отсюда ясно, что в этом случае Ьудет меньше значения даваемого линейной теорией. Точный подсчет однако, не может быть сделан на основе приближенного уравнения (2.39), применимого лишь при малых так как он требует определения числа для сколь угодно больших значений

Перейдем теперь снова к случаю рассматривавшемуся нами выше. Мы еидим, что здесь разрастание возмущения (2.37) при немного превосходящем можно описать как мягкое самовозбуждение элементарного осциллятора, приводящее в конце концов к появлению установившегося периодического колебания с определенной конечной амплитудой. При этом существенно, что уравнение (2.39) определяет только амплитуду этого колебания; фаза же его не определяется однозначно внешними условиями, а зависит от случайных начальных значений фазы возмущения, т. е. фактически может быть произвольной. Таким образом, предельный режим установившихся колебаний рассматриваемого осциллятора характеризуется наличием одной степени свободы (в отличие от стационарного ламинарного течения, однозначно определяемого граничными условиями и поэтому вовсе не обладающего степенями свободы).

При дальнейшем возрастании это установившееся периодическое движение само может стать неустойчивым по отношению к малому возмущению Исследование такой неустойчивости потока с полем скорости (где — установившееся значерие возмущения (2.37)) в принципе можно

произвести с помощью обычного метода возмущений. Для этого надо только исследовать частные решения линейного уравнения относительно вида периодическая функция периода и определить частоту у которой при возрастании прежде всего появляется положительная мнимая часть. Тогда можно ожидать, что при немного большем колебание с этой частотой будет возрастать до некоторого конечного предела, так что при возникает квазипериодическое колебание с двумя периодами обладающее уже двумя степенями свободы (фазами колебаний). При дальнейшем возрастании все новые и новые осцилляторы приходят в колебательный режим, причем естественно думать, что интервалы между соответствующими «критическими» числами Рейнольдса будут все уменьшаться, а возникающие колебания будут становиться все более высокочастотными и мелкомасштабными. В результате при достаточно большом движение оказывается имеющим очень много степеней свободы и очень сложным и запутанным. Этому движению соответствует «предельный цикл» фазовых траекторий, в котором некоторые обобщенные координаты потока принимают фиксированные значения, а изменяются со временем (по формулам вида лишь координаты, отвечающие фазам соответствующих осцилляторов.

Траектория, образующая «предельный цикл», занимает в фазовом пространстве область, соответствующую всевозможным наборам начальных фаз колебаний осцилляторов, и с течением времени проходит практически через все точки этой области. Действительно, в моменты времени — в которые фаза принимает значение ось фаза любого другого колебания будет принимать значения В силу того, что отдельные частоты будут, вообще говоря, несоизмеримыми (за исключением очень специальных случаев, представляющихся совершенно неправдоподобными), последняя совокупность будет содержать значения, которые после приведения к интервалу оказываются сколь угодно близкими к любому наперед заданному числу из этого интервала. Отсюда вытекает, что возникающее таким образом развитое турбулентное движение будет обладать определенной «эргодичностью», проявляющейся в том, что с течением времени жидкость проходит через состояния, сколь угодно близкие к любым ее возможным состояниям движения.

Приведенные общие соображения и составляют суть предложенной Ландау теории возникновения турбулентности. Они представляются очень наглядными и физически убедительными;

надо, однако, иметь в виду, что Пока еще они ни в одном конкретном случае не были подтверждены непосредственными расчетами, и что описываемый ими механизм перехода к турбулентности заведомо не является универсальным. Так, например, в случае течения Пуазейля в трубе число определяемое из линейной теории возмущений, по-видимому, равно бесконечности (т. е. уравнение (2.38) не имеет смысла); следовательно, турбулентное движение здесь должно возникать в результате неустойчивости по отношению к конечным возмущениям, причем оно с самого начала, вероятно, обладает очень большим числом степеней свободы. При возникновении турбулентности в пограничном слое на плоской пластинке существенную роль, возможно, играет то обстоятельство, что возникающие при некотором числе Рейнольдса неустойчивые возмущения здесь переносятся вниз по течению в область с большим значением числа Рейнольдса. Во всяком случае, имеющиеся эмпирические данные о турбулизации пограничного слоя (о которых еще будет речь, ниже) также не укладываются в рамки развитых выше соображений. Значительно более напоминает описанный механизм возникновения турбулентности процесс появления турбулентного следа при обтекании конечных тел (см. выше стр. 85—86). По-видимому, относящиеся к этому процессу эмпирические данные могут быть объяснены исходя из теории Ландау, если предположить, что в потоке, обтекающем тело, а критические числа Рейнольдса для неустойчивостей различного порядка близки друг к другу. К сожалению, расчет критического числа Рейнольдса для обтекания конечного тела даже в рамках линейной теории представляет собой очень сложную задачу, не поддающуюся точному математическому решению. Поэтому количественное сопоставление развитой выше теории с имеющимися эмпирическими данными о турбулизации следа пока еще не представляется возможным.

Значительно более изученными являются случаи течения Куэтта между вращающимися цилиндрами, свободной конвекции между параллельными плоскостями и течения Пуазейля между параллельными плоскостями, для которых линейная теория возмущений может быть доведена до вполне окончательных результатов (см. выше пп. 2.6-2.8). Поэтому на вопросе о применении к указанным трем течениям теории Ландау (или,

точнее говоря, уравнения Ландау (2.39)) мы остановимся немного более подробно.

В первых двух из перечисленных трех случаев движение, возникающее при является стационарным (т. е. для него Тем не менее, развитые выше соображения вполне могут быть применены и к этим случаям, так как неустойчивое возмущение здесь зато оказывается периодическим относительно некоторых координат (координаты z в первом случае и координат х и у во втором); поэтому вместо осреднения по времени здесь можно воспользоваться осреднением по этим координатам. Другое, более существенное осложнение возникает в этих случаях в связи с тем, что неустойчивые возмущения здесь относятся к непрерывному спектру (они зависят от непрерывно меняющегося волнового числа поэтому, строго говоря, при (или здесь всегда существует непрерывное множество раз личных неустойчивых возмущений. Тем не менее, и это обстоятельство в конце концов оказывается непринципиальным, так как эмпирические данные явно показывают, что при малом (или всегда «выживает» (и достигает конечного значения) только одно неустойчивое возмущение со строго определенным волновым числом. О возможной причине такого положения мы еще скажем ниже; пока же примем за основу, что в обоих указанных случаях допустимо ограничиться исследованием отдельных возмущений вида (2.37) с фиксированным волновым числом и фиксированным значением определяемым из линейной теории.

Как эмпирические данные, так и теоретический анализ нелинейных уравнений (типа 2.32)), описывающих поведение конечных возмущений в течении Куэтта между цилиндрами и в подогретом снизу слое жидкости, показывают, что при (или здесь не существует стационарных возмущений с (см., например, работы Сорокина (1954) и Уховского и Юдовича (1963) об уравнениях свободной конвекции). В то же время при (или в обоих случаях происходит «разветвление» стационарных решений соответствующих нелинейных уравнений. А именно, в этой точке наряду с обычными ламинарными решениями появляются дополнительные стационарные решения, отличающиеся от обычных периодическими относительно координаты z (или ко ординат х членами, амплитуда которых при малых значениях (или пропорциональна Такие дополнительные решения нелинейных уравнений свободной конвекции были изучены в работах Сорокина (1954), Горькова (1957) и Малкуса и Верониса

(1958); для течения Куэтта между цилиндрами они могут быть определены исходя из излагаемых ниже результатов Дж. Стюарта (1958) и Дэви (1962). Поэтому есть все основания предполагать, что в случаях вихревого движения потоке жидкости между вращающимися цилиндрами при и свободной конвекции между плоскостями при мы сталкиваемся как раз с мягким самовозбуждением колебаний (только пространственных, а не временных) по схеме Ландау с Имеющиеся эмпирические данные показывают также, что возникающее здесь стационарное движение оказывается устойчивым в большом интервале значений так что критические числа первого и второго порядков здесь широко раздвинуты относительно друг друга (см., в частности, ниже рис. 23). Напомним также, что согласно данным Малкуса (1954а), о которых шла речь на стр. 113, в случае термической конвекции можно экспериментально определить даже несколько критических значений разных порядков.

Представляет несомненный интерес получение для рассматриваемых двух случаев уравнений типа (2.39), описывающих эволюцию во времени неустойчивых согласно линейной теории возмущений, непосредственно из динамических уравнений (2.32). В применении к течению Куэтта; между цилиндрами именно этому и были посвящены упоминавшиеся выше работы Дж. Стюарта (1958) и Дэви (1962). В первой из этих работ предполагалось, что и. что вращается (с угловой скоростью только внутренний цилиндр.

В этом случае вместо числа Рейнольдса удобно рассматривать так называемое число Тэйлора течение Куэтта становится неустойчивым при . Стюарт предположил далее, что разность мала (но положительна) и что в момент в рассматриваемом течении возникло неустойчивое согласно линейной теории малое возмущение. Считая, что форма этого возмущения мало меняется во времени (так что применима формула (2.37)), можно определить зависимость соответствующей амплитуды от времени с помощью уравнения баланса энергии возмущения (2.33) (являющегося следствием уравнений движения). При этом для получилось уравнение вида (2.39) с коэффициентами явно выражающимися через число Тэйлора Та, число Рейнольдса волновое число и собственную функцию соответствующей задачи на собственные значения (2.16) — (2.17), подсчитанную Чандрасекаром (1953). В результате расчета выяснилось, что действительно и, значит, существует конечное значение причем при малом . Зная и форму

возникающего возмущения (приближенно даваемую линейной теорией возмущений), Стюарт смог рассчитать также и момент сил трения, действующих на поверхность цилиндров. Полученные им значения этого момента оказались вплоть до чисел Та, почти в десять раз превышающих Тасг, весьма близкими к данным непосредственных измерений Тэйлора (19366).

Более аккуратно уравнение для амплитуды возмущения в течении Куэтта между цилиндрами было выведено в работе Дэви (1962). В этой работе было учтено, что начальное осесимметричное возмущение вида в силу нелинейности уравнений гидромеханики будет порождать также и высшие гармоники (пропорциональные и что зависимость от формы этого возмущения также будет слегка меняться со временем. Поэтому поле скорости возмущения здесь записывалось в виде

(где член описывает искажение формы ламинарного течения Куэтта, вызванное возмущением). Далее предполагалось, что при в правой части (2.41) сохраняется лишь слагаемое, содержащее причем в пределе это слагаемое переходит в решение определяемое из линейной теории возмущений. Тогда и при небольшом положительном указанное слагаемое также остается главным, причем при таком можно представить в виде

Подставляя (2.41) и (2.42) в нелинейные уравнения (2.32), можно снова получить для уравнение вида (2.39), где определяется из линейной теории возмущений и

Здесь определяется притоком энергии от течения Куэтта (искаженного слагаемым к основному возмущению (только этослагаемое фактически и учитывалось в работе Стюарта), описывает порождение основным возмущением высших гармоник, искажение его формы. Для всех трех слагаемых в правой части (2.43) Дэви получил громоздкие формулы (содержащие решения соответствующей задачи на собственные значения линейной теории возмущений); после этого для случаев он подсчитал численно значения этих слагаемых. При этом коэффициент во всех случаях оказался положительным; в случае а) его значения близко совпали с результатами менее точных вычислений Стюарта, а в случаях б)

и в) они также привели к значениям момента сил трения при сверхкритических условиях, хорошо совпадающим с имеющимися экспериментальными данными.

Совпадение вычисленных и наблюденных значений момента сил трения убедительно свидетельствует, что полученное Стюартом и Дэви уравнение Ландау (2.39) с правильно описывает процесс возрастания неустойчивого по линейной теории осесимметричного возмущения. Однако свидетельство это все же является косвенным, так как с экспериментом здесь сравнивается не само значение амплитуды А, а подсчитанная по этой амплитуде интегральная характеристика течения — суммарный момент сил трения. Более непосредственную проверку применимости теории Ландау к течению между цилиндрами осуществил Доннелли (1963). Он наполнил зазор между цилиндрами (радиусов см и см) электролитом и измерил силу проходящего через электролит тока, поступающего на коллектор — небольшую площадку на неподвижном внешнем цилиндре, перемещающуюся с постоянной скоростью в направлении оси При в электролите между цилиндрами возникает правильная совокупность стационарных тороидальных вихре», поле скорости которых имеет вид и где коэффициент А — это теории Ландау. Появившиеся вихри разрушают слои электрически заряженной жидкости около электродов и поэтому влияют на силу проходящего через электролит тока. Расчет этого явления показывает, что появлению вихрей должно соответствовать появление в выражении для силы тока добавочного слагаемого вида где С — вполне определенный постоянный коэффициент. Результаты измерений подтверждают, что при такая компонента действительно появляется, причем квадрат ее амплитуды оказывается пропорциональным Тасг (в полном соответствии с теоретическим выводом Ландау) вплоть до значения такого, что (см. рис. 23). Исходя из общих представлений теории Ландау, можно предположить, что резкое изменение закона Огсг связано с достижением «второго критического значения» Тагсг числа Тэйлора, при котором тороидальные вихри становятся неустойчивыми и распадаются на более сложные возмущения (по-видимому, уже не осесимметричные).

Более сложно обстоит дело с применением нелинейной теории возмущений к течению Пуазейля между двумя плоскостями. Первая попытка в этом направлении была предпринята Мексиным и Дж. Стюартом (1951), получившими при ряде

упрощающих предположений, что для плоского течения Пуазейля критическое число Рейнольдса Иелсг для конечных двумерных возмущений амплитуды убывает при возрастании Этот результат заставляет предполагать, что здесь С другой стороны, в более поздней работе Дж. Стюарта (1958) для получения уравнения вида (2.39) для амплитуды такого возмущения было использовано уравнение баланса энергии (2.33); здесь уже при некоторых других упрощающих предположениях было найдено, что

Рис. 23. Зависимость квадрата амплитуды добавочного тока в электролите между вращающимися цилиндрами от угловой скорости внутреннего цилиндра (по Доннелли (1963)).

В этой связи Дж. Стюарт (1960) и Уотсон (1960а) произвели более полный анализ поведения двумерных конечных возмущений в плоском течении Пуазейля близком к основанный на использовании полных уравнений движения и формул типа (2.41) и (2.42) (этот анализ и был затем принят за образец в работе Дэви (1962)). В результате они снова получили уравнение вида (2.39)) для амплитуды возмущений, но коэффициент на этот раз оказался суммой трех слагаемых (имеющих тот же смысл, что и слагаемые в равенстве (2.43)), не все из которых были правильно учтены и в работе Мексика и Дж. Стюарта (1951) и работе Дж. Стюарта (1960). Оказалось также, что для всех этих слагаемых могут быть даны явные выражения, сложным образом содержащие собственные функции и собственные значения соответствующего линешюго уравнения Орра — Зоммерфельда.

Однако численный подсчет этих слагаемых и нахождение по ним точного значения коэффициента позволяющее окончательно решить вопрос о его знаке, представляет собой очень сложную, задачу численного анализа, решение которой пока еще никем не было получено. Поэтому и на вопрос о поведении конечных возмущений в плоском течении Пуазейля пока нельзя дать окончательного ответа.

В случае плоскопараллельных течений, неустойчивых при уравнение Ландау (2.39), разумеется, может иметь смысл и в применении к слегка неустойчивым возмущениям в идеальной жидкости. Естественно, что пренебрежение вязкостью приводит здесь к упрощению всех вычислений. Поэтому неудивительно, что для течения идеальной жидкости в безграничном пространстве с профилем скорости Шаде (1964), предположив, что форма возмущения близка к форме однозначно определяемой в этом случае «нейтральной волны», сумел аналитически определить значение коэффициента (оказавшегося положительным). Приняв затем для значение, отвечающее наиболее неустойчивому возмущению, он смог приближенно оценить также порядок амплитуды возмущения в «плоской зоне смешения», начиная с которой становится неприменимой линейная теория возмущений.

Выше мы уже отмечали, что уравнение Ландау (2.39) при приводит к интересным физическим результатам только в применении к возмущениям в течении с а при только в применении к конечным возмущениям в потоке с В случае же или же это уравнение быстро оказывается неприменимым и должно быть дополнено следующими членами разложения по степеням Общее уравнение для учитывающее все члены такого разложения, очевидно, будет иметь вид

(уравнение Ландау получается отсюда, если учесть только два первых члена правой части). Уравнение вида (2.44) для амплитуды двумерного возмущения в плоскопараллельном течении также было формально получено Уотсоном (1960а) исходя из уравнений движения. При этом, однако, выражения для коэффициентов оказались еще гораздо более сложными, чем для коэффициента так что их определение пока представляется совсем уже мало реальным. В последующей работе Уотсона (1962) аналогичный анализ был

произведен для плоского, течения Пуазейля, исходя из представления возмущения в виде где амплитуда в линейном приближении равна В этом случае для получаются уравнения, отличающиеся от (2.39) и (2.44) лишь заменой причем определение коэффициентов этих уравнений, естественно, упирается в те же трудности, что и определение коэффициентов уравнений для зависящей от времени амплитуды