7.3. Общий вид универсальных функций, описывающих турбулентный режим в стратифицированной среде

Согласно сказанному выше, в приземном слое воздуха возможны два качественно различных универсальных режима, соответствующих случаям устойчивой стратификации (поток тепла направлен вниз, т. е. и, соответственно, и неустойчивой стратификации Эти два режима должны сливаться при приближении к безразличной стратификации (при Соответственно этому и все универсальные функции, описывающие универсальный режим, распадаются на две отдельные ветви: при и при

В настоящем пункте мы будем рассматривать лишь простейшие характеристики турбулентности, а именно — профили средней скорости ветра и, средней температуры Т и средней влажности Поэтому нас будут интересовать в первую очередь функции и и их производные

Начнем с рассмотрения функций Формулу (7.15) нам будет удобно переписать в виде

Зафиксируем теперь значения и будем неограниченно уменьшать величину турбулентного потока тепла приближаясь тем самым к условиям безразличной стратификации. При этом масштаб будет неограниченно возрастать по абсолютной величине, так что стремится к нулю. В пределе при мы, очевидно, должны получить обычную формулу теории логарифмического пограничного слоя не содержащую ни ни Следовательно,

Поскольку функцию естественно считать непрерывной, при фиксированных значениях но достаточно малом z (а именно, при значение будет близко к единице. Это означает, что при условия турбулентного обмена мало отличаются от условий обмена в температурно-однородной среде, так что турбулентность в слое обусловлена в основном динамическими факторами. Таким образом, масштаб определяет толщину слоя, в котором термические факторы не играют заметной роли; он может быть поэтому назван высотой

подслоя динамической турбулентности. Из того обстоятельства, что в самом нижнем слое термическими факторами можно пренебречь, естественно вытекает, что учет свойств подстилающей поверхности в стратифицированной среде должен осуществляться точно так же, как и в однородной среде. Иначе говоря, объективной характеристикой свойств подстилающей поверхности в отношении ее динамического воздействия на поток и в стратифицированной среде является параметр шероховатости определяемый так, как это было указано в п. 5.4. Так как параметр шероховатости может бдоть определен по распределению ветра только в подслое динамической турбулентности, то ясно, что он не может зависеть от температурной стратификации воздуха. Практически же этот параметр удобнее всего определять, аппроксимируя логарифмическим законом профили ветра, относящиеся к нейтральной или почти нейтральной стратификации, при которой велико и подслой динамической турбулентности имеет большую толщину. Учитывая, что на высоте 20 логарифмический профиль средней скорости обращается в нуль и что при профиль скорости всегда можно считать логарифмическим, первую формулу (7.24) можно переписать в виде

Отсюда видно, что функция вместе с параметром шероховатости уже однозначно определяет профиль скорости ветра во всем приземном слое.

Доминирующая роль динамических факторов при естественно, должна быть связана с малостью числа Ричардсона при таких И действительно, ограничиваясь пока более удобным для нас числом легко вывести из (7.20) и (7.26), что

следовательно, в пределах подслоя динамической турбулентности

При небольших значениях функцию можно представить в виде степенного ряда:

Отсюда для функции в условиях, близких к безразличной стратификации, получается представление

аналогично этому, число здесь оказывается равным сумме степенного ряда

Поскольку эмпирические данные не позволяют пока сколько-нибудь надежно определить несколько коэффициентов практическое значение может иметь только линейная аппроксимация функции

(здесь это коэффициент формул (7.29) — (7.31)).

По поводу формул (7.29) — (7.34) следует иметь в виду, что так как случаям соответствуют два качественно различных режима турбулентности, то у нас нет Оснований предполагать, что функция является аналитической в точке (хотя она и непрерывна в этой точке в силу того, что при оба режима турбулентности сливаются). Поэтому, вообще говоря, случаям и могут соответствовать различные значения коэффициентов разложений (7.29) — (7.31) и, в частности, различные значения постоянной Кроме того, коэффициенты следует считать универсальными постоянными (того же типа, что и постоянная Кармана к), только если рассматривать их как точные значения коэффициентов ряда Тэйлора универсальной функции (ограничиваясь, например, лишь неотрицательными значениями Однако в настоящее время у нас нет возможности определить точный аналитический вид функгсии не прибегая к каким-либо более или менее произвольным гипотезам. В то же время эмпирически эта функция определяется не настолько точно, чтобы можно было надежно определить значения ее производных в точке Поэтому на практике коэффициент обычно находят приближенно.

аппроксимируя эмпирическую функцию на некотором интервале значений формулой (7.32) или каким-либо другим аналитическим выражением. В результате получаемое значение Р оказывается существенно зависящим от выбора интервала аппроксимации и от принятой формулы для так что неудивительно, что разные авторы приводят сильно различающиеся значения этого коэффициента (см. ниже стр. 422—423). Впрочем, все эти расхождения не касаются вопроса о знаке ответ на который сразу следует из элементарных физических соображений. В самом деле, при устойчивой стратификации (т. е. при турбулентный обмен является затрудненным, и поэтому профиль средней скорости должен быть более «крутым», чем логарифмический профиль, наблюдающийся при более интенсивном обмене, отвечающем безразличной стратификации. Наоборот, при неустойчивой стратификации еще более интенсивное турбулентное перемешивание должно приводить к выравниванию средней скорости, так что здесь скорость ветра должна возрастать с высотой. медленнее, чем при безразличной стратификации. Поэтому должно быть положительным при и отрицательным при и при и при

Формулы (7.32) — (7.34), как мы уже отмечали, могут иметь смысл лишь при сравнительно небольших по абсолютной величине значениях . Перейдем теперь к вопросу о поведении функций при очень больших значениях начнем со случая сильной неустойчивости, т. е. больших отрицательных значений . Асимптотическое поведение при можно изучать, рассматривая большие значения при фиксированных (т. е. фиксированном или же рассматривая при фиксированных и предельный переход т. е. Последний предельный переход, очевидно, отвечает приближению к случаю чисто термической турбулентности в условиях так называемой свободной конвекции (характеризуемой наличием неустойчивой стратификации с и отсутствием ветра и связанного с ним трения воздуха о подстилающую поверхность). При этом турбулентность имеет весьма своеобразный характер — она получает энергию не из энергии осредненного движения, а из энергии температурной неустойчивости, и имеет характер совокупности тепловых струек, возникающих в отдельных точках подстилающей поверхности и сравнительно слабо перемешивающихся между собой. Если предположить еще, что имеющееся горизонтальное перемешивание все же достаточно

для того, чтобы обеспечить инвариантность распределений вероятностей поля температуры относительно параллельных переносов и вращений в горизонтальной плоскости, то придется заключить, что турбулентность в условиях свободной конвекции представляет собой частный случай рассматриваемой в настоящей главе модели турбулентности в стратифицированной среде, характеризуемый лишь двумя параметрами при «чистой» конвекции Но с точки зрения теории подобия турбулентный режим на высота при фиксированном и не должен отличаться от режима при фиксированном но очень малом и; поэтому при неустойчивой стратификации турбулентность на больших высотах всегда определяется в основном термическими факторами, т. е. статистические характеристики поля температуры здесь зависят только от но не от и. С этой точки зрения в предельном случае проще сначала рассмотреть поведение функций характеризующих распределение средней температуры, и лишь затем обратиться к функциям при изучении поля скорости мы не можем апеллировать к предельному случаю «чистой» термической конвекции, в котором средняя горизонтальная скорость вообще отсутствует).

Поскольку из величин нельзя составить никакого масштаба длины, то турбулентный режим в условиях свободной конвекции должен быть автомодельным (ср. выше исследование конвективных струй на стр. 313—314). В частности, легко проверить, что соотношение (7.16) и второе из соотношений (7.24) не будут содержать величины и, лишь если Таким образом,

(множитель здесь добавлен для удобства). Иначе говоря,

при Соотношения (7.36) впервые были указаны Прандтлем (1932а), а затем, независимо от него, Обуховым (1946); они, очевидно, вполне аналогичны выведенным

Зельдовичем (1937) формулам (5.119) — (5.120) для распределения температуры в конвективных восходящих струях и отличаются от них лишь тем, что здесь речь уже идет не о конвекции над нагретым шаром или цилиндром, а о конвекции над нагретой большой плоской пластинкой. В дальнейшем эти соотношения подробно обсуждались в ряде работ (см., например, Монин и Обухов (1953, 1954), Пристли (1954, 1955, 1956), Казанский и Монин (1958)). Из них, в частности, следует, что при неустойчивой стратификации распределение температуры на больших высотах приближается к изотермии; это, естественно, объясняется наличием очень интенсивного перемешивания (усиливающегося с высотой за счет появления все более и более крупных турбулентных возмущений, сравнимых по масштабу с расстоянием до земли), приводящего к выравниванию температуры. Коэффициент обмена для тепла в условиях свободной конвекции в силу (7.36) равен

с увеличением расстояния до земли он быстро возрастает.

Теперь уже нетрудно понять, какую асимптотическую форму должны иметь функции при Поскольку предельный переход эквивалентен переходу (при фиксированных остальных параметрах и фиксированном то режим турбулентности при не может зависеть от . Но из величин нельзя составить никакой безразмерной комбинации; поэтому все безразмерные актер иста определяемые указанными параметрами, должны иметь постоянное (универсальное) значение. В частности, естественно считать, что такой безразмерной характеристикой является отношение коэффициентов обмена для тепла и для импульса следовательно, в условиях свободной конвекции

. Но в таком случае, очевидно,

где Иначе говоря,

при Соотношения (7.40) также были впервые получены (в немного другой форме) Прандтлем (1932а) (см. также Обухов (1946), Монин и Обухов (1954)). При возрастании z скорость ветра приближается к постоянному значению по тем же причинам, которые вызывают в условиях свободной конвекции приближение к изотермии при Заметим, что в формулы (7.40), разумеется, уже входит величина и, так как при и поэтому функция не может не зависеть от и. Числа Ричардсона также будут зависеть от ; в условиях свободной конвекции эти числа в силу (7.39), (7.19) и (7.20) равны

Отсюда видно, что с возрастанием z оба числа неограниченно возрастают по абсолютной величине (оставаясь все время отрицательными).

Перейдем теперь ко второму предельному случаю Исследование асимптотического поведения функций при больших положительных соответствует рассмотрению профиля средней скорости при больших z в случае устойчивой стратификации (фиксированное или же рассмотрению при фиксированном z случая весьма малых положительных (т. е. очень резких инверсий температуры). При этом, однако, надо иметь в виду, что в предельном случае резкой инверсии при исчезающе слабом ветре турбулентность вырождается, и движения среды приобретают совсем иной характер. А именно, при сильно устойчивой стратификации становится невозможным существование крупных турбулентных возмущений (так как эти возмущения должны были бы затрачивать слишком много энергии на работу против архимедовых сил), и турбулентность может существовать лишь в виде мелких вихрей (иначе это можно объяснить тем, что крупные волны здесь не теряют устойчивости). При еще большей устойчивости даже мелкомасштабная турбулентность, по-видимому, будет практически невозможной, и флуктуирующие движения среды, вероятно, в основном будут реализовываться в виде случайных внутренних гравитационных волн. Во всяком случае, ясно, что

при сильной устойчивости турбулентный обмен между различными слоями жидкости очень затруднен, и поэтому турбулентность приобретает локальный характер: характеристики турбулентного обмена (такие, как коэффициент обмена К, а значит, также и число при при фиксированном но большой высоте или же при фиксированной высоте но очень малом не должны явно зависеть от расстояния z до подстилающей поверхности. Последний вывод можно еще подкрепить следующим рассуждением: согласно известному выводу Ричардсона (см. выше стр. 345) число ни при каких стационарных условиях не может превосходить единицу, т. е. максимальное возможное значение этого числа (по-видимому, даже заметно меньше единицы, но это для нас здесь неважно). С другой стороны, естественно предполагать, что изменение с ростом при фиксированном с увеличением степени устойчивости стратификации) должно быть монотонным: невозможно представить себе физические причины, которые могли бы привести к тому, что с ростом устойчивости число вдруг начало убывать. Но если монотонно возрастает с ростом и в то же время не может превзойти некоторого значения то, значит, при оно должно приближаться к некоторому предельному значению R (которое естественно отождествить с

Итак, в случае устойчивой стратификации должно существовать такое универсальное значение что

Но отсюда уже следует, что

где и, значит,

Таким образом, на больших высотах в случае устойчивой стратификации скорость ветра линейно возрастает с высотой, причем постоянный градиент этой скорости здесь определяется единственным «внешним» параметром, меняющимся от случая к случаю, а именно — параметром фактически совпадающим с отношением турбулентного потока тепла к

турбулентному напряжению трения. Этот результат был указан Обуховым (1946) (см. также Монин и Обухов (1954)).

Согласно формулам (7.29), (7.30), (7.39), (7.39) и (7.43) универсальные функции (слагаемое здесь добавлено, чтобы устранить неопределенность в выборе «начала отсчета» функции должны иметь общий вид, близкий к изображенному на рис. 47 и 48. В следующем параграфе мы увидим, что это заключение хорошо подтверждается данными непосредственных измерений в приземном слое атмосферы.

Рис. 47. Схематический вид универсальной функции

Рис. 48. Схематический вид универсальной функции

Скажем теперь еще несколько слов об общем виде функций описывающих вертикальные профили температуры и концентрации пассивной примеси («влажности»). Согласно п. 5.7

здесь - постоянная, близкая к единице (которую в мы обозначали просто а). С другой стороны, как мы видели, при (в условиях «свободной конвекции») поведение функции определяется формулой (7.35); от функции в этой области отличается также лишь постоянным множителем (точное значение которого, так же как и

точное значение пока остается неизвестным; см. ниже стр. 428—429). В дальнейшем мы увидим, что при переход от режима «вынужденной конвекции», характеризуемого логарифмическими профилями скорости и температуры, к режиму «свободной конвекции», определяемому формулами (7.35) — (7.41), очень резкий, т. е. происходит на малом интервале значений . Поэтому поведение функции на всей положительной полуоси, по-видимому, достаточно полно описывается значениями постоянных (или ). В частности, вопрос о том, можно или нельзя считать функцию при подобной функции вероятно, в первую очередь определяется тем, насколько близки друг к другу значения постоянных Общая же форма при безусловно не должна отличаться от изображенной на рис. 48 формы функции

Несколько более сложным представляется вопрос о поведении функции при . Поскольку

вопрос о форме функции тесно связан с вопросом о зависимости величины от параметра устойчивости (или от чисел Если считать (как это чаще всего делается в метеорологической литературе), что то функция оказывается совпадающей с функцией с точностью до постоянного множителя; если (как это также очень часто предполагается), то вообще (сточностью до не играющих роли аддитивных постоянных в выражениях для При малых положительных функция задается логарифмической формулой (7.45); при немного больших можно использовать «логарифмическую линейную» формулу

(с коэффициентом который, вообще говоря, может отличаться от соответствующего коэффициента в формуле (7.33)). Если предположить, что сравнительно мало меняется на достаточно большом интервале положительных значений , захватывающем также и часть области, в которой имеет место

линейный профиль скорости (7.44), то при достаточно больших значениях из этого интервала и профиль температуры будет неплохо описываться линейной формулой вида

где а — постоянная порядка единицы. Однако наблюдения над турбулентностью в море при сильно устойчивой стратификации и примыкающие к ним измерения в водных потоках в лаборатории определенно показывают, что при очень сильной устойчивости принимает очень малые значения (см. ниже стр. 435—436 и, в частности, рис. 69). Иначе говоря, при очень большой устойчивости коэффициент обмена для теплоты оказывается значительно меньшим, чем коэффициент обмена для импульса К. Следуя Стюарту (1959), нетрудно привести физические соображения, объясняющие причину этого. Случай среды с предельно устойчивой стратификацией можно представить себе в виде слоя тяжелой жидкости (скажем, воды), над которым помещается гораздо более легкая среда (например, воздух). При этом турбулентное движение в нижней жидкости будет приводить к возмущениям свободной границы и появлению отдельных «брызг», проникающих в верхнюю среду, а затем снова падающих под действием архимедовых сил. Проникновение «воды» в «воздух» будет создавать в «воздухе» пульсации давления, осуществляющие определенный обмен импульсом между двумя средами; в то же время обмен теплом здесь практически будет отсутствовать (напомним, что молекулярной теплопроводностью мы условились пренебрегать). Поэтому можно думать, что при очень сильной степени устойчивости (возможно, более сильной, чем та, которая реально наблюдается в атмосферных инверсиях) коэффициент обмена К будет иметь конечное значение, в то время как будет близко к нулю. Но если это так, то отсюда следует, что при очень больших положительных профиль температуры будет значительно более крутым, чем профиль скорости (из того, что при вытекает, что крутизна профиля температуры неограниченно возрастает с ростом Следовательно, общий вид функций при очень больших положительных будет отличаться от общего вида функций (см. рис. 49 и 50). С этим связано также и то, что число при сильной устойчивости, по-видимому, может принимать

очень большие значения (так как если при то поэтому никакого предельного («критического») значения не существует (в отличие от положения с числом

Перейдем теперь к функциям До тех пор, пока всеми принималось, что (т. е. что совершенно естественно было предполагать, что и т. е. что функция не отличается от

Рис. 49. Схематический вид универсальной функции

Рис. 50. Схематический вид универсальной функции

Однако, как только мы отказываемся от предположения о равенстве коэффициентов обмена для импульса и для тепла, перед нами сразу встает также и вопрос о значении коэффициента турбулентной диффузии определяющего форму функций Ниже мы увидим, что эмпирические данные о значениях еще беднее, чем данные о значениях так что на их основе пока нельзя сделать никаких заслуживающих доверия выводов. Поэтому остается апеллировать лишь к физической интуиции. Отметим в этой связи, что в статье Пристли и Суинбенка (1947), одной из первых в метеорологической литературе, в которой серьезно обсуждался вопрос о несовпадении разных коэффициентов обмена, было в свое время высказано предположение о том, что в силу особой роли пульсаций температуры в конвективных движениях под действием архимедовых сил (сказывающейся, например, в том, что тенденцию двигаться вверх имеют в первую очередь частицы, более теплые, чем окружающая среда)

коэффициент обмена для тепла может иметь иное значение, в то время как коэффициенты обмена для импульса К и для влажности будут совпадать. Однако рассуждения этих авторов не очень ясны, и их точка зрения разделяется далеко не всеми (см., например, Робинсон (1951)), причем особенно малоубедительны их аргументы в применении к условиям приземного слоя. Более обоснованным представляется мнение, что в силу подобия физического механизма обмена теплом и влажностью (или другой пассивной субстанцией), осуществляемого лишь посредством прямого перемешивания воздушных масс, коэффициенты и К» будут равны друг другу, в то время как коэффициент, обмена К, на который влияют и пульсации давления, может быть отличен от Этого последнего мнения и придерживается в настоящее время большинство специалистов (см., например, Эллисон (1957), Чарнок Мы здесь также будем считать, что при не слишком большой температурной неоднородности избирательное влияние архимедовой силы на элементы среды разной температуры не будет существенно сказываться на турбулентной теплопередаче, так что до тех пор пока неизвестен никакой другой физический механизм обмена, по-разному влияющий на обмен теплом и влагой, нет оснований отказываться от предположения о том, что и, следовательно, Разумеется, это предположение требует еще тщательной проверки на материале достаточно аккуратных специальных наблюдений в природе и в лаборатории, отсутствующих в настоящее время.