1.4. Течения с большими числами Рейнольдса; пограничный слой

Будем теперь считать, что число Рейнольдса потока очень велико. В таком случае нелинейные инерционные члены уравнений (1.6) будут существенно превосходить по величине члены, содержащие коэффициент вязкости, так что на первый взгляд может показаться, что влиянием вязкости здесь можно попросту пренебречь. На самом деле, однако, дело будет обстоять не совсем так: отбрасывая члены с в уравнениях мы тем самым понижаем порядок этих дифференциальных уравнений, и решения получающихся упрощенных уравнений идеальной жидкости не могут уже удовлетворять граничным «условиям прилипания», требующим обращения в нуль скорости на всех твердых поверхностях, ограничивающих поток. В то же время хорошо известно, что для вязкой жидкости (со сколь угодно малым коэффициентом вязкости) «прилипание» обязательно должно иметь место. Поэтому при движениях вязкой жидкости, характеризующихся большим числом Рейнольдса, только вдали от твердых стенок течение будет близким к тому, которое могло бы иметь место в случае идеальной жидкости (с нулевой вязкостью); вблизи же от стенок образуется тонкий слой, в котором скорость течения очень быстро изменяется от нулевого значения на стенке до значения на внешней границе слоя, весьма близкого к тому, которое получилось бы при течении идеальной жидкости. Быстрое изменение скорости внутри этого так называемого пограничного слоя приводит к тому, что в его пределах влияние сил трения на деле оказывается вовсе не малым, а имеющим тот же порядок, что и влияние сил инерции.

Таким образом, при больших числах Рейнольдса вязкость жидкости сказывается лишь вблизи от ограничивающих поток твердых стенок. В этой области течения члены, содержащие никак не могут быть отброшены, но зато уравнения

гидродинамики здесь могут быть заметно упрощены, исходя из специфических особенностей движения тонкой пленки жидкости, обволакивающей твердое тело. В свободном же пространстве течение будет определяться уравнениями гидродинамики идеальной Жидкости, причем за граничные условия здесь уже надо принять условия на верхней границе соответствующего пограничного слоя (или слоев).

Рассмотрим теперь простейшую задачу о пограничном слое на плоской пластинке длины и бесконечной ширины, расположенной в плоскости (так что она заполняет область этой плоскости) и обтекаемой потоком жидкости, движущейся с данной скоростью по направлению оси Прежде чем переходить к математическому решению этой задачи, изложим некоторые предварительные соображения качественного характера. Поскольку в нашем случае характерным масштабом длины будет а скорости — то нелинейные члены уравнений (1.6) (точнее говоря, первого из этих уравнений) в области пограничного слоя будут иметь порядок С другой стороны, продольная скорость здесь будет меняться от значения на поверхности пластинки до значения порядка на внешней границе пограничного слоя. Поэтому, если мы обозначим через толщину пограничного слоя, то будет иметь порядок и главный член описывающий силу трения, будет иметь порядок Но внутри пограничного слоя сила трения должна иметь тот же порядок, что и сила инерции. Следовательно, и, значит,

Таким образом, толщина пограничного слоя зависит от числа Рейнольдса потока — чем больше это число (т. е. чем меньше вязкость жидкости и чем больше скорость набегающего потока), тем тоньше оказывается пограничный слой.

Для определения толщины пограничного слоя над заданной точкой пластинки на расстоянии х от ее передней кромки мы должны заменить в этом расчете полную длину пластинки величиной х. Следовательно,

т. е. толщина пограничного слоя при увеличении расстояния х от передней кромки возрастает пропорционально Что же касается напряжения трения на стенке (равного силе трения, действующей на единицу площади пластинки), то (где ди надо взять при Поскольку то или, в силу (1.32),

Таким образом, напряжение трения здесь пропорционально скорости в степени 3/2; соответствующий коэффициент сопротивления трения

естественно зависит только от числа Рейнольдса и убывает возрастанием этого числа.

Перейдем к. выводу уравнений, определяющих поле скорости внутри пограничного слоя. Поскольку в рассматриваемом нами случае движение, очевидно, будет строго двумерным (в плоскости и все его характеристики не будут зависеть от у, то общие уравнения (1.0) и (1.5) здесь Принимают вид

где Постараемся теперь оценить порядок отдельных членов этих уравнений. Напомним, что и внутри пограничного слоя, вообще говоря, равно конечной доле скорости и, т. е. имеет тот же порядок, что и а производные и имеют порядок и, соответственно, Интегрируя третье уравнение (1.36) по некоторого

составляющего конечную часть полной толщины пограничного слоя, получим

Отсюда видно, что а; примерно в Раз меньше и. Учитывая еще соотношение (1.32), убеждаемся, что в первом уравнении (1.36) члены и и имеют один и тот же порядок а член много меньший порядок поэтому этот последний член мы можем опустить. Далее, из второго уравнения (1.36) видно, что член — будет иметь порядок не выше чем (так как ни один член этого второго уравнения не имеет более высокого порядка); поэтому с точностью до членов относительного порядка мы можем пренебречь поперечными изменениями давления и считать, что т. е. Но в таком случае давление внутри пограничного слоя можно заменить давлением на его верхней границе. Следовательно, член в первом уравнении (1.36) можно независимо определить из уравнений тидродинамики идеальной жидкости, описывающих течение вне пограничного слоя: полагая в первом из уравнений (1.6), мы найдем, что или же (в стационарном случае) Таким образом, для нахождения ниш мы получаем систему двух уравнений

Эта система вместе с граничными условиями

позволяет однозначно определить функции по начальным значениям одной из этих функций.

Уравнения (1.38) и (1.39) представляют собой знаменитую систему уравнений пограничного слоя, впервые полученную

Л. Прандтлем в 1904 г. В дальнейшем и самим Прандтлем и другими авторами было предложено несколько различных выводов этой системы уравнений. При этом, в частности, было установлено, что уравнений Праидтля справедливы и в случае двумерного обтекання искривленной поверхности (с не слишком большой кривизной) и что они могут быть формально получены из общих уравнений гидромеханики в качестве первого приближения при помощи разложения всех членов в ряды по степеням (см. Кочин, Кибель, Розе (1963), ч. 2, гл. II, § 29; Гольдштейн (1938), т. I, гл. IV; ср. также монографии Лойцянского (1941, 19626) и Шлихтянга (1951)). В общем случае под естественно, надо понимать координату, отсчитываемую по нормали к обтекаемой поверхности, а под х - продольную координату в касательной плоскости.

Рассмотрим теперь подробнее простейший случай установившегося обтеканий плоской пластинки стационарным потоком, имеющим постоянную скорость по направлению. оси

В этом случае в уравнении (1.38) выпадут члены и так что это уравнение здесь принимает особенно простой вид

Условимся считать длину пластинки бесконечной. Так как естественно думать, что при рассматриваемом нами обтекании скорости в каждом сечении пограничного слоя не будут существенно зависеть от скоростей в последующих сечениях вниз по течению, можно ожидать, что предположение о бесконечной длине не будет заметно влиять на решение нигде, кроме узкой окрестности задней кромки и области расположенной за пластинкой, которых мы здесь не будем касаться. При граничные условия (1.40) будут иметь вид

Таким образом, нам надо лишь найти решение уравнений (1.39) и (1.41), удовлетворяющее условиям (1.42).

Чтобы избавиться от параметров перейдем к безразмерным величинам

задаваемым в соответствии с соотношениями (1.32) и (1.37);

длину в (1.43) мы теперь можем выбрать произвольно (так как условия задачи не содержат никаких характерных длин). Подставив (1.43) в (1.41), (1.39) и (1.42), получаем

Но поскольку длина была выбрана произвольно, то смысл может иметь только решение, не зависящее от Отсюда ясно, что может зависеть только от комбинации переменных не содержащей От этой же комбинации должна зависеть и функция также выражающаяся лишь через Итак, мы видим, что

где две универсальные функции одного переменного (не зависящие от Из (1.46), в частности, следует, что профили скоростей и и до над всеми точками любых пластинок, обтекаемых потоком постоянной скорости, должны быть подобны друг другу. Если мы обозначим

то уравнение (1.39) обратится в равенство ?); после этого уравнение (1.41) и условия (1.42) легко приводятся к виду

Таким образом, наша система уравнений свелась к одному нелинейному обыкновенному уравнению третьего порядка с тремя граничными условиями. Это уравнение может быть проинтегрировано численно, например, при помощи разложения функции в степенной ряд вблизи и в асимптотический ряд при (такой метод решения был использован в 1908 г. Блазиусом, впервые исследовавшим рассматриваемую здесь задачу); некоторые другие численные методы применили к решению уравнения (1.48) в последующие годы Тепфер, Берстоу, Гольдштейн, Хоуарт и др. (см. ссылки в книгах Гольдштейна (1938), Шлихтинга (1951) и Лойцянского (1941,19626). Полученные в результате этих расчетов профили продольной и

вертикальной скоростей в пограничном слое над плоской пластинкой приведены на рис. 2 и 3. Толщина 8 пограничного слоя (определяемая как. то значение при котором здесь оказалась имеющей значение

удаленной на расстояние х от передней кромки, дается формулой поскольку результаты численного интегрирования показывают, что то, следовательно,

(ср. формулу (1.33)). Напряжение трения в точке пластинки,

Рис. 2. Профиль продольной скорости в пограничном слое на плоской: пластинке. Экспериментальные данные по измерениям Ннкурадзе (см. Шлихтннг (1951)).

Для пластинки длины смачиваемой с обеих сторон, полная сила трения (на единицу ширины пластинки) будет равна

т. е. она будет пропорциональна скорости в степени и корню квадратному из длины пластинки (сравнительно медленное возрастание с ростом естественно объясняется тем, что трение убывает с удалением от передней кромки в связи с увелиг чением толщины пограничного слоя).

Рис. 3. Профиль вертикальной скорости в пограничном слое на плоской пластинке.

Вместо обычно используют безразмерный коэффициент сопротивления который для плоской, пластинки длины и ширины В будет определяться из равенства

Экспериментальная проверка изложенной здесь теории обтекания плоской пластинки производилась, в частности, И. М. Бюргерсом и Б. Г. Ван дер Хегге Цийненом в 1924 г., М. Ханзеном в 1928 г. и И. Никурадзе в 1942 г. (ссылки на оригинальные работы см., например, в книге Шлихтинга (1951)). При этом было обнаружено, что при не слишком больших числах эмпирические значения коэффициента сопротивления достаточно точно описываются формулой (1.52). Точно так же и измеренные значения толщины пограничного слоя и форма профиля продольной скорости внутри этого слоя при не слишком большом, но и не слишком малом (т. е. всюду кроме узкой полоски, примыкающей к переднему ребру пластинки, где не выполняется условие и еще, быть может, задней части пластинки в случае, когда очень велико) оказались эесьма хорошо соответствующими теоретическим

предсказаниям. Небольшие расхождения теории с опытом, наблюдавшиеся в ранних измерениях, вполне могут объясняться влиянием конечной толщины пластинки и формы заострения на переднем ребре, а также наличием небольших продольных градиентов давления в обтекающем потоке; эти обстоятельства были специально учтены в опытах Никурадзе, сумевшего получить почта идеальное совпадение с. вычисленным профилем рис. 2, на котором нанесены эмпирические данные Никурадзе). Однако при больших значениях скорости и длины пластинки начиная с некоторого Значения х, для которого имеет порядок все выведенные выше закономерности оказались резко искаженными (см., например, рис. 4, на котором приведены результаты измерений толщины пограничного слоя 8, произведенных Хаизеном, показывающие, что начиная примерно с эта толщина начинает возрастать гораздо быстрее, чем следовало бы согласно формуле (1.49)). О причинах, вызывающих эти искажения, мы еще будем подробно говорить в § 2.

Рис. 4. Зависимость толщины пограничного слоя на плоской пластинке от расстоянии х от передней кромки пластинки (по данным Хаизеиа

До сих пор толщниу пограничного слоя мы определяли чисто условно как то значение координаты при котором продольная скорость принимает значение, равное какой-то определенной достаточно близкой к единице доле от (например, равное 99% от Такое не очень четкое определение мы вынуждены были прииить из-за того, что лишь асимптотически приближается к при нигде не достигая этого последнего значения; поэтому, строго говоря, надо считать, что пограничный слой не имеет резкой границы. Тем не менее, поперечный масштаб пограничного слоя можно характеризовать и с помощью некоторых величии, имеющих отчетливый физический смысл. Одной из таких величии явлиется так называемая толщина вытеснения 6, определяемая формулой

Смысл этой величины заключается в том, что 6 равно расстоянию, на которое оттесняется наружу обтекающий поток из-за вызванного трением уменьшения продольной скорости в пограничном слое. В самом деле, рассмотрим некоторую линию тока, отстоящую от пластинки у переднего ее края на расстояние рис. 5). Так как расход жидкости через любое сечение трубки тока, заключенной между этой линией тока и поверхностью пластинки, должен быть одним и тем же, а продольная скорость и убывает вниз во течению вследствие трения о пластинку, то сечение трубки тока должно расти с ростом х. На расстоянии х от переднего края пластинки линия тока отойдет от пластинки расстояние т. е.. как бы вытеснится на расстояние которое можно определить из условия постоянства расхода жидкости через начальное сечение трубки тока и через сечение с абсциссой

откуда

Рис. 5. Схематический вид линии тока в пограничном слое на плоской пластинке

При разность как раз и стремятся к толщине вытеснения Для случая стационарного обтекания плоской пластинки

откуда можно получить формулу

Заметим, что ранее вычислявшаяся толщина пограничного слоя (определяемая соотношением оказывается в атом случае примерно в три раза больше толщина вытеснения в. Из-за вытеснения линий тока вертикальная компонента скорости не стремится к нулю при (см. рис. 3), а приближается к некоторому асимптотическому значению, оказывающемуся равным

Таким образом, вытеснение приводит к тому, что поток оказывается искаженным даже и вне пограничного слоя (как бы ни определялась его толщина), т. е. пограничный слой оказывает влияние на внешний поток, с чем иногда приходится считаться при расчетах.

Другой величиной, характеризующей поперечный масштаб пограничного слоя, является так называемая толщина потери импульса, определяемая

формулой

Наименование этой величины связано с тем, что импульс, передаваемый силами трения за единицу времени части пластинки, имеющей единичную ширину и простирающейся от передней кромки до сечения пластинки с заданным теряемый за единицу времени столбом жидкости, расположенным над этой частью пластинки), как можно показать, равен т. е. характеризуется длиной В случае стационарного обтекания пластинки потоком, постоянной скорости эта длина в силу (1.46), (1.47) и (1.48) будет равна

таким образом, здесь 6 оказывается еще почти в три раза меньще, чем

Отметим еще, что теория пограничного слоя, позволяет также объяснить, почему течение Пуазейля, представляющее собой точное решение уравнений гидродинамики, устанавливается лишь на расстояниях порядка от входа трубы (см. стр, 43—44). В самом деле Вблизи входного отверстия трубы тормозящее действие стенок будет сказыватьси лишь в пределах тонкого пограничного слоя, а в центральной части трубы жидкость будет двигаться с постоянной скоростью, не испытывая действия вязкости. По мере продвижения в глубь трубы толщина пограничного слои на стенках будет возрастать Пропорциональна где х - расстояние от входа. Наконец, на расстоянии от входа пограничный слой заполнит все сечеиие трубы, и вязкость начнет сказываться на всем потоке в целом. Только после этого, разумеется, и может установиться теоретическое параболическое распределение скорости, задаваемое формулой (1.23) (ср. Шиллер (1932, 1934) или Гольдштейн (1938), т. I, гл. VII, § 139).