9.3. Характеристики смещения фиксированной жидкой частицы; случай однородной турбулентности

Движение одной жидкой частицы (скажем, той, которая в момент ) находилась в точке полностью описывается векторной функцией задающей положение этой частицы в произвольный момент времени Вместо вектора можно использовать также вектор смещения частицы за промежуток времени

что обычно оказывается более удобным. В настоящем пункте мы специально рассмотрим вопрос о статистических характеристиках случайного вектора

Полное описание величины требует задания ее трехмерной плотности вероятности (зависящей от как от параметров). Нетрудно видеть, что в случае очень малого (по сравнению с масштабом времени Т, задаваемым типичным лагранжевым «временем корреляции») значения эта плотность вероятности может быть выражена через эйлеровы статистические характеристики турбулентности. В самом деле, при Т лагранжева скорость практически не изменится за время так что равенство (9.24) здесь можно переписать в виде Поэтому плотность вероятности для в этом случае можно преобразовать к виду

где - плотность вероятности (эйлеровой) скорости в фиксированной точке х в момент Если рассматриваемое турбулентное течение является установившимся, то плотность может быть без большого труда определена с помощью анализа данных наблюдений за скоростью в точке х в течение длительного промежутка времени. Так, например, в случае турбулентного потока в аэродинамической трубе, в начальной части которого установлена решетка с квадратными ячейками (создающая ниже по течению сильную турбулентность), данные измерений Симмонса и Солтера (1938) и Таунсенда (1947) убедительно показывают, что распределение следовательно, и при весьма близко к нормальному распределению.

При не слишком малом распределение уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако, если то можно использовать то обстоятельство, что правая часть (9.24) в этом случае может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительности и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому можно думать, что к соответствующей сумме должна быть применима так называемая центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (9.24) (см., например, Розанов (1963), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции; близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функций, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее, эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения при существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях

распределение для (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях «облака», создаваемого помещенным в поток источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях «теплового следа» за нагретым телом). Таким образом удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных потоках распределение для при больших действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось даже, что оно является почти нормальным и при всех вообще значениях (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин (1953)). Последнее обстоятельство не кажется удивительным, так как в этом случае, как мы видели, распределение для должно быть нормальным и при малых, и при больших значениях поэтому его близость к нормальному при всех означает только, что при промежуточных значениях здесь не происходит очень резкой перестройки формы соответствующего распределения. В общем же случае нет никаких оснований ожидать, что распределение для будет близким к нормальному также и при не слишком больших значениях

Перейдем теперь к рассмотрению важнейших числовых характеристик случайного вектора его первых и вторых моментов. Среднее значение этого вектора, очевидно, равно

Исходя отсюда, можно показать, что в ряде важных частных случаев где соответственно определенная средняя скорость течения (см. примеры ниже). После этого остается только еще исследовать характеристики пульсации смещения

Тензор вторых моментов этого случайного вектора будет задаваться формулой

его естественно назвать тензором Дисперсии смещения «жидкой частицы». Отметим, что в случаях, когда распределение для

можно считать нормальным, вектор (9.26) и тензор (9.27) исчерпывающим образом характеризуют это распределение.

При достаточно малых при которых из (9.27) получаем

Коэффициенты — в случае установившихся турбулентных течений будут зависеть только от х, а при дополнительном предположении об однородности случайного поля и вообще будут постоянными. Конкретные же сведения о виде функций при не слишком малом удается получить только для некоторых частных классов турбулентных потоков.

Рассмотрим, в первую очередь, идеализированный случай стационарной однородной турбулентности, в которой все гидродинамические поля являются однородными случайными полями в трехмерном пространстве и одновременно стационарными функциями от времени . В этом случае средняя скорость и является постоянной и в пространстве, и во времени и, следовательно, Далее, пульсационная скорость жидкой частицы здесь при всех х будет иметь одни и те же статистические характеристики и будет стационарной случайной функцией от так что

(буква здесь указывает, что соответствующие функции являются лагранжевыми корреляционными функциями). Перейдя теперь к переменным формулу (9.27) можно переписать в виде

или, после выполнения интегрирования по

Результат типа (9.30) для дисперсии одной компоненты впервые был получен в ставшей уже классической работе Тэйлора (1921); в виде (9.30) он был представлен Кампе де Ферье (1939) в случае и Бэтчелором (1949б) в общем случае. При формула (9.30) обращается в соотношение

(здесь, так же как и ниже в формулах (9.32) — (9.35), суммирование по не предполагается!). Примем теперь естественное допущение, что лагранжева корреляционная функция стремится к нулю при и притом настолько быстро, что существует конечное «время корреляции»

(за лагранжев временной масштаб Т, упоминавшийся выше, при этом можно принять максимальное или среднее значение трех величин . Предполагая еще, что и интеграл

является конечным, можно при достаточно большом (а именно, при заменить (9.31) асимптотическим соотношением

При очень большом основную роль в правой части (9.34) будет играть линейный по член, так что (9.34) можно будет переписать в виде

(последний результат, как легко видеть, может быть получен и без предположения о конечности интеграла Аналогично этому для при очень большом получается соотношение

Равенство (9.35) показывает, что дисперсия смещения частицы за достаточно большое время оказывается пропорциональной Этот результат вполне аналогичен основному закону брауновского движения (т. е. молекулярной диффузии), согласно которому средний квадрат смещения брауновской частицы (или любой частицы, участвующей в молекулярной диффузии) пропорционален времени Движения (диффузии). При очень малых дисперсия смещения в силу (9.28) квадратично зависит от как это и должно быть при любом движении, происходящем с конечной скоростью. При промежуточных значениях зависимость от оказывается более сложной и зависит уже от формы корреляционной функции (см., например, графики функций отвечающих нескольким частным формам функции приведенные в работах Френкиля (1952, 1953) и в книге Паскуила (1926б)). Заметим еще, что согласно данным Френкиля и Паскуила большие изменения значений при изменении формы функции возникают, лишь если допустить, что функция может принимать и отрицательные значения и много раз менять знак при возрастании аргумента В случае же функций остающихся всюду неотрицательными, зависимость от конкретной формы функции оказывается весьма слабой, причем асимптотическая формула (9.28) здесь достаточно хорошо выполняется при "всех , а асимптотическая формула (9.35) при всех Таким образом, для неотрицательных функций дисперсия оказывается существенно зависящей от интенсивности турбулентности и ее временного масштаба но только очень слабо — от конкретной формы корреляционной функции

Может представиться, что результаты, относящиеся к модели стационарной однородной турбулентности, не имеют практического значения, так как однородная турбулентность в безграничном пространстве вообще является лишь математической идеализацией, а предположение о стационарности еще усугубляет дело (поскольку из-за наличия диссипации энергии стационарное течение вязкой жидкости должно иметь какие-то внешние

источники энергии и поэтому тем более не может быть однородным). На самом деле, однако, легко видеть, что приведенный вывод формулы (9.31) требует лишь, чтобы течение было однородным по направлению оси Это позволяет указать вполне реальные течения, к которым могут быть применены полученные выше результаты. В частности, в связи с работой Тэйлора (1954а) (о которой мы еще будем подробно говорить в следующем параграфе) Бэтчелор отметил, - что эти результаты могут быть непосредственно применены к простейшему турбулентному потоку в достаточно длинной прямой трубе произвольного постоянного сечения (Бэтчелор и Таунсенд (1956), Бэтчелор (1957)). В самом Деле, пусть направление трубы совпадает с осью тогда по этому направлению течение будет однородным, хотя распределение средней скорости в плоскости Охчхз здесь может быть весьма сложным. Рассмотрим теперь компоненту смещения жидкой частицы за время по направлению Соответствующая лагранжева скорость будет, вообще говоря, нестационарной случайной функцией зависящей от выбора начального положения частицы х в плоскости Естественно ожидать, однако, что через некоторое время после момента выхода рассматриваемой частицы влияние ее начального положения х практически перестанет сказываться, так что далее функцию можно будет уже считать не зависящей от х и стационарной. В таком случае средняя продольная скорость при достаточно большом не будет зависеть ни от ни от т. е. будет постоянной по времени и одной и той же для всех «жидких частиц», занимавших фиксированное положение в момент или раньше. При этом представляется очевидным (и может быть строго доказано с помощью рассуждений, о которых мы будем говорить на стр. 501—502), что будет совпадать также со средней продольной скоростью совокупности всех жидких, пересекающих фиксированное сечение трубы в течение заданного промежутка времени, т. е. со средней скоростью определяемой как отношение объема жидкости, вытекающей из трубы за единицу времени, к площади ее поперечного сечения. Таким образом,

при достаточно большом Далее, в силу формулы (9.35)

при достаточно большом при чуть меньших значениях можно пользоваться более точной формулой (9.34) с Заметим

еще, что характеристики их и в (9.38) должны определяться параметрами, от которых зависит статистический режим турбулентности в трубе. Поскольку в круглой трубе при достаточно большом числе Рейнольдса вязкий подслой составляет незначительную часть сечения (см. выше стр. 256), из результатов п. 5.5 следует, что в этом случае будут зависеть только от радиуса трубы и динамической скорости где - напряжение трения стенке. Но в таком случае в силу соображений размерности

где с — универсальная постоянная, значение которой можно оценить по эмпирическим данным (см. ниже п. 10.4). Формула такого же вида будет справедлива также и в случае турбулентного течения в прямой трубе или канале некругового сечения при достаточно большом здесь только под надо понимать типичный линейный размер сеченйя трубы или канала, а и определять по среднему значению напряжения трения на стенке.