1.7. Малые колебания сжимаемой жидкости

Течения сжимаемой жидкости, описываемые общей системой уравнений (1.2), (1.4), (1.63), (1.65) и (1.66), обычно имеют очень сложный характер, и их теоретическое изучение наталкивается на значительные трудности. Мы здесь ограничимся лишь простейшим случаем малых колебаний относительно состояния покоя (или движения с постоянной скоростью), при исследовании которого может быть использован метод линеаризации уравнений. Как было показано Карьером и Карлсоном (1946), Ягломом (1948) и Коважным (1953), всевозможные движений среды при этом распадаются на колебания трех типов, отчетливо различающихся по своему характеру. Это. распадение будет играть Важную роль при рассмотрении изотропной турбулентности в сжимаемом газе и процессов распространения волн в турбулентной среде во второй части настоящей книги.

Итак, пусть мы имеем неподвижную массу идеального газа постоянной плотности и при постоянном давлении (случай газа, движущегося с постоянной скоростью и, может быть, очевидно, сведен к случаю неподвижного газа при помощи перехода к новой инерциальной системе координат). Предположим теперь, что в начальный момент времени в газе возникли малые возмущения, характеризуемые полями пульсаций гидродинамических величин где и 1 (здесь - скорость звука в невозмущенной среде, В таком случае изменение во времени полей в первом приближении можно будет определить из системы уравнений (1.2), (1.4), (1.63), (1.65) и (1.66), линеаризованной относительно компонент скорости и относительно отклонений давления, плотности и температуры от соответствующих невозмущенных значений При этом уравнение состояния (1.63) позволяет с самого начала исключить температуру из числа неизвестных и получить замкнутую систему уравнений Относительно пятн неизвестных, в качестве которых можно принять, например, три компоненты скорости и какие-либо две однозначные функции давления и плотности. Следуя работам Коважного (1953) и Чжу и Коважного (1958), примем в качестве этих двух функций безразмерное давление и поделенную на энтропию Тогда с точностью до малых высшего порядка

Линеаризованная система уравнений гидродинамики в переменных будет иметь

Преобразуем уравнения (1.85) и (1.86), введя вместо компонент поля скорости в качестве неизвестных компоненты вихря и дивергенцию При этом три уравнения (1.86) сведутся к равенствам 0

и

а (1.85) в силу (1.87) перепишется в виде

Отметим прежде всего, что компоненты вихря входят только в уравнения (1.88), совпадающие с линеаризованными уравнениями для поля вихря в несжимаемой среде. Напомним в этой связи, что в случае несжимаемой жидкости По полю вихря <о и соответствующим граничным условиям всегда можно однозначно восстановить и поле скорости в сжимаемой же среде поле Скорости можно представить в виде суммы несжимаемой (со-ленондальнон) и безвихревой (потенциальной) компонент, последняя из которых уже не зависит от поля внхря. Таким образом, в случае движений, представляющих собой лишь слабое возмущение состояния покоя, система уравнений гидродинамики в первом приближении распадается на замкнутую систему уравнении относительно компонент поля внхря описывающую йесжимаемое течение, и на систему уравнений относительно переменных описывающую безвихревой сжимаемый поток. При этом пульсацнп давления и энтропии в том же приближении будут связаны лишь со сжимаемым безвихревым потоком, т. е. в несжимаемой (вихревой) компоненте течения они будут отсутствовать. В следующем приближении теории возмущений эти две компоненты будут уже взаимодействовать друг с другом, создавая дополнительные изменения давления и энтропии (на этом мы вкратце остановимся в самом конце настоящего пункта).

Чтобы подробнее разобраться в характере движений, описываемых линеаризованной системой и, в частности, показать, что уравнения относительно на самом деле описывают два разных типа колебаний, воспользуемся обычным методом Фурье. С этой целью предположим, что все поля являются периодическими функциями пространственных координат с заданным волновым вектором и, кроме того, заменим. обычное время I безразмерным временем где

а дивергенцию — безразмерной дивергенцией

Тогда уравнения (1.88) примут вид

а остальные уравнения преобразуются в следующую систему обыкновенных линейных уравнений:

Отсюда следует, что амплитуды компонент поля вихря будут затухать во времени по закону

а амплитуды дивергенции скорости и полей давления и энтропии будут представляться в виде

где три кория характеристического уравнения системы (1.92]:

Дальнейшее упрощение полученных результатов может быть достигнуто, если мы заметим, что формулы содержат безразмерные постоянные, имеющие очень разный порядок величины. В самом деле, все коэффициенты системы (1.92) и уравнения (1.94) могут быть выражены через следующие три безразмерные величины:

в равенствах же (1.91) фигурирует безразмерная постоянная отличающаяся от лишь заменой коэффициента вязкости определяющего внутреннее трение в потенциальном потоке, на обычную кинематическую вязкость Но является аналогом обычного числа Прандтля и имеет тот же порядок величины, так что в газообразной среде точно так же и (для воздуха ).

В то же время величина имеет тот же порядок, что и отношение длины свободного пробега газа I к длине волны возмущения (поскольку , где средняя скорость теплового движения молекул, Поэтому во всех случаях, когда движения газа могут быть описаны с помощью обычных гидродинамических уравнений, в частности, для воздуха при нормальных условиях даже если то Тот же порядок величины имеет поэтому и

Пренебрегая теперь в основных уравнениях членами, имеющими порядок малости мы придем к упрощенной системе

Согласно первым двум уравнениям (1.96), поле вихря и поле энтропии в рассматриваемом приближении будут неподвижны в пространстве (или в случае, когда основное состояние — это состояние движения с постоянной скоростью , будут переноситься без всякого изменения этим движением) — малость числа 6 как раз и означает, что влияние вязкости (и теплопроводности) на малые возмущения будет гораздо меньше влияния инерционного переноса. Последние же два уравнения (1.96) показывают, что

или, переходя снова от одной компоненты Фурье к полным полям что

Таким образом, для поля давления и поля дивергенции скорости здесь получаются одинаковые волновые уравнения, описывающие совокупность волн, распространяющихся со скоростью звука

Мы видим, что в нулевом приближении (по параметру малости ) поля малых возмущений гидродийамических элементов потока распадаются уже на три не взаимодействующих между собой компоненты. Этими компонентами являются вихревая несжимаемая компонента, описываемая полем вихря не меняющимся во времени (или переносящимся без изменений невозмущенной , энтропийная компонента, описываемая также неподвижным (или перемещающимся со скоростью ) полем энтропии созданным первоначальными неоднородностями поля температуры, и потенциальная (или акустическая) компонента, связанная с пульсациями потенциальной части поля скорости и пульсациями давления и представляющая собой совокупность волн, распространяющихся с невозмущенной скоростью звука

Если мы учтем еще и эффекты порядка малости то прежде всего убедимся, что поле скорости вихревой компоненты будет медленно затухать под действием вязкости в соответствии с формулой (1.93). Чтобы описать с точностью до членов порядка также и энтропийную и акустическую компоненты, удобно прежде всего переписать уравнение (1.94) в виде

содержащем лишь величины (1.95). После этого корня уравнения (1.94) легко определить с точностью до членов порядка включительно с помощью обычного метода степенных рядов. В результате получаются формулы

Эти формулы показывают, что если ограничиться членами порядка не выше и исключить из рассмотрения вихревую компоненту, то в сжимаемой среде будут существовать три различных волны с одинаковым волновым вектором к. Две волны из этих трех будут затухающими с одинаковым декрементом затухания и будут распространяться с невозмущенной скоростью звука в направлениях векторов , а третья из них будет неподвижной относительно невозмущениого потока с декрементом затухания Предполагая далее, что зависимость функций и от будет определяться множителем в и подставляя соответствующие частные решения в систему (1.92), легко убедиться, что общее решение этой системы с точностью до членов порядка включительно можно представить в виде суммы следующих двух решений:

и

Отсюда видно, что в рассматриваемом приближении энтропийная компонента нашего возмущения будет соответствовать произвольному начальному распределению энтропии (или температуры), не перемещающемуся в пространстве, но медленно выравнивающемуся под действием теплопроводности. С этой компонентой будет связано также и очень слабое (порядка распределение по объему газа потенциальной компоненты скорости и величины создаваемое тепловым расширением и сжатием элементарных объемов температурно-неоднородной среды. Акустическая же компонента будет состоять из волн давления и величины вида распространяющихся со скоростью слегка затухающих под влиянием вязкости и теплопроводности и создающих весьма слабый (порядка перенос энтропии.

Описанное разбиение произвольных возмущений гидродинамических полей на вихревую, энтропийную и акустическую компоненты легко может быть прослежено во всех порядках малости по и практически, однако, во всех случаях достаточно ограничиться членами, которые были выписаны выше. Несколько большее значение представляет вопрос о влиянии на отдельные компоненты возмущений нелинейных членов уравнений гидродинамики, к которому мы сейчас и перейдем. Чтобы учесть это влияние, надо перейти к следующему приближению теории возмущений, состоящему в том, что в уравнениях (1.87)-(1.90) сохраняются также и билинейные по гидродинамическим полям члены, в которых эти поля определяются по формулам первого приближения, т. е. считаются совпадающими с выписанными выше решениями линеаризованных уравнений. Таким образом, уравнения (1.87)- (1.90) в следующем приближении будут содержать еще небольшие добавочные слагаемые известного функционального вида, которые естественно перенести в правые части этих уравнений и рассматривать как объемные «источники» соответствующих гидродинамических полей. При этом решения уравнений будут отличаться от рассмотренных выше решений однородных уравнений (1.87)-(1.90) дополнительными членами, порожденными соответствующими источниками, т. е. билинейными комбинациями или «взаимодействиями» отдельных членов решений линеаризованных уравнений друг с другом. Представив снова решения линеаризованных уравнений в виде суммы вихревой, энтропийной и акустической компонент, мы получим шесть различных парных билинейных (и квадратичных) комбинаций этих трех компонент, т. е. шесть различных «взаимодействий», каждое из которых, в свою очередь, может создавать определенные добавки к решениям, описывающим любую из трех компонент, т. е. «порождать» эту компоненту.

Существенно, однако, что многие из возникающих таким образом 18 эффектрв второго порядка будут выражаться билинейными относительно возмущений членами, содержащими еще множитель или 6 и и поэтому будут играть очень малую роль. Так, например, из того, что с точностью до членов порядка энтропийная компонента содержит только пульсации энтропии, можно вывести, что в нулевом по приближении эта компонента вовсе не будет взаимодействовать сама с собой, а ее взаимодействие с вихревой компонентой будет вносить определенный вклад (связанный, очевидно, с конвективными членами уравнения только в энтропийную же компоненту поля возмущений. Полный анализ с этой точки зрения всех возможных «взаимодействий» может быть найден в работе Чжу и Козажного (1958). Основные результаты. Зтого анализа иллюстрируются таблицей на стр. 76, в которой указан порядок по всех упомянутых 18 эффектов второго порядка, и для эффектов нулевого порядка кратко объяснен их физический смысл, Помимо того Чжу и Коважный для всех эффектов нулевого порядка по при вели явные выражения соответствующих объемных источников, которые следует добавить к правым частям линеаризованных уравнений. Мы здесь, однако, не будем детально изучать все эффекты нулевого порядка, значительная часть которых, как видно из таблицы, сводится к простому переносу гидродинамических неоднородностей полем скорости из одного элемента объема жидкости в другой. Ьолее подробно мы остановимся лишь на наиболее важном взаимодействии вихревой компоненты с самой собой (напомним, что в обычной слабо сжимаемой среде вихревая компонента, как правило, заметно превосходит другие по интенсивности).

Так как вихревая компонента связана лишь с возмущением поля скорости, то ее взаимодействие с собой будет вызываться только билинейными по скоростям членами уравнений гидродинамики. В уравнении баланса энтропии (т. е. притока тепла) такие билинейные члены содержатся (в слагаемом лишь вместе с коэффициентом вязкости, откуда ясно, что эффект

порождения энтропийной компоненты указанным здесь взаимодействием будет иметь порядок не выше й. Заметно более существенную роль будут играть билинейные по скоростям члены уравнений движения; именно они и будут определить все «значимые» эффекты второго порядка, связанные со взаимодействием вихревой компоненты с самой собой.

Сохранив в уравнениях движения члены и перейдя затем к уравнению для вихря, мы придем к уравнению (1.7)

отличающемуся от (1.88) правой частью, описывающей процесс порождения завихренности за счет растяжения вихревых трубок. Считая в этой правой части поле несжимаемым и удовлетворяющим (1.88), мы получим перрый значимый «эффект второго порядка» — порождение вихревой компоненты поля скорости за счет взаимодействия этой компоненты с самой собой. Что же касается до влияния этого же взаимодействии на акустическую компоненту, то в нулевом приближении по его можно определить, опустив в уравнениях гидродинамики все члены, содержащие коэффициенты вязкости и температуропроводности, и все нелинейные члены, кроме членов в уравнениях движения. Но в таком случае легко видеть, что вместо последнего уравнения (1.97) мы получим уравнение

Правая часть здесь, очевидно, описывает дополнительные пульсации давления, возникающие из пульсаций поля скорости в соответствии с уравнением (1.9), имеющим вид Подставляя в правую часть (1.101) в качестве несжимаемое поле скорости, удовлетворяющее «уравнению вихря» (1.88) или (если не предполагать, что пульсации скорости являются малыми) уравнению (1.7), мы можем найти звуковые колебания, создаваемые взаимодействием несжимаемого поля скорости с самим собой; правую часть (1.101) в этом случае, очевидно, можно также записать как или как . Порождение звука вихреиыми гидродинамическими потоками, описываемое уравнением (1.101), изучалось в работах Лайтхилла (1952, 1954); оно как раз и представляет второй «значимый эффект второго порядка», связанный с взаимодействием вихревой компоненты поля скорости с самой собой.