2.3. Гидродинамическая неустойчивость

При теоретическом анализе вопроса о возникновении турбулентности следует исходить из того, что функции, описывающие поля скорости и давления в любом потоке жидкости, как ламинарном, так и турбулентном, являются решениями уравнений гидродинамики при надлежащих начальных и краевых условиях. Установившееся ламинарное течение, в частности, описывается стационарными решениями этих уравнений; в случае же турбулентного течения каждой индивидуальной реализации потока соответствует некоторое, вообще говоря, весьма сложное нестационарное решение уравнений гидродинамики. Невозможность осуществления, ламинарного течения при достаточно больших числах Рейнольдса, несмотря на то, что уравнения гидродинамики имеют стационарное решение при любом ясно показывает, что не всякому решению соответствует движение жидкости, реально существующее в природе. Естественно связать это обстоятельство с хорошо известным положением, согласно которому реальные движения должны не только удовлетворять уравнениям гидродинамики, но и быть устойчивыми в том смысле, что неизбежно возникающие в реальных условиях малые возмущения этих движений должны затухать со временем, не меняя общей картины движения. Если же, наоборот, возникающие возмущения будут разрастаться со временем, то это приведет к существенному искажению исходного движения и, следовательно, такое движение не сможет существовать сколько-нибудь длительное время.

Исходя отсюда, можно ожидать, что значение соответствует как раз потере устойчивости: при ламинарное течение устойчиво, но при оно становится неустойчивым и под влиянием всегда имеющихся малых возмущений превращается в турбулентное движение. Но в таком случае, исследуя математически вопрос об устойчивости решения уравнений гидродинамики, соответствующего ламинарному течению, можно (по крайней мере в принципе) теоретически определить соответствующее критическое число Рейнольдса.

Турбулентность характеризуется наличием весьма сложных колебаний поля Скорости и других характеристик течения. Механизм возникновения этих колебаний можно уяснить с общемеханической точки зрения, рассматривая текущую жидкость как динамическую систему с очень большим числом степеней свободы, в которой в результате притока энергии извне возникают автоколебания.

Применение понятия о степенях свободы к потоку жидкости требует прежде всего введения каких-то обобщенных

координат, однозначно характеризующих конфигурацию течения. При определении таких обобщенных координат можно исходить из разложения движения на элементарные компоненты, сумма энергий которых равняется энергии потока в целом и состояние каждой из которых характеризуется небольшим числом параметров. Параметры всех таких элементарных компонент движения и будут тогда обобщенными координатами потока жидкости, а число таких координат могущих меняться при заданных внешних условиях, будет совпадать с полным числом степеней свободы потока. С математической точки зрения разложение движения на элементарные компоненты сводится к разложению поля скорости по ортогональной системе функций; каждая из этих функций будет описывать поле скорости соответствующей элементарной компоненты движения, а коэффициенты разложения будут обобщенными координатами потока. Выбор той или иной ортогональной системы функций диктуется формой границ потока. Для потоков, занимающих в пространстве ограниченный объем, ортогональная система функций всегда оказывается счетной, так что такие потоки имеют не более чем счетное множество обобщенных координат.

При установившемся ламинарном течении значения обобщенных координат однозначно определяются заданными внешними условиями, так что число степеней свободы ламинарного потока равно нулю. Число степеней свободы турбулентного потока, занимающего в пространстве ограниченный объем, весьма велико, но практически является конечным. Действительно, при разложении поля скорости в ряд по ортогональным функциям различные слагаемые описывают элементарные движения разных масштабов, и неограниченное увеличение номера слагаемого соответствует неограниченному уменьшению масштаба соответствующего элементарного движения. Однако из-за наличия вязкости колебания слишком малых, масштабов существовать не могут. Поэтому при стационарных внешних условиях коэффициенты разложения поля скорости по ортогональным функциям, имеющие достаточно большие номера, не зависят от

времени, что и означает, что число степеней свободы потока является конечным. Ясно также, что число степеней свободы должно расти при убывании коэффициента вязкости, т. е., иначе говоря, при возрастании числа Согласно оценке Ландау и Лифшица (1953), число степеней свободы турбулентного потока, занимающего в пространстве ограниченный объем, вообще говоря, пропорционально где число Рейнольдса потока в целом (этот результат будет подробнее обсуждаться во второй части книги). Отсюда видно, что с ростом числа Рейнольдса число степеней свободы быстро растет, и для развитой турбулентности при больших числах Рейнольдса оно достигает громадных значений.

Чтобы охарактеризовать в заданный момент времени не только конфигурацию системы, но и состояние ее движения, нужно кроме значений ее обобщенных координат указать также значения соответствующих Обобщенных скоростей. Набор значений всех обобщенных координат и обобщенных скоростей определяет некоторую точку в фазовом пространстве системы, полностью характеризующую ее мгновенное состояние. Процесс изменения состояния системы изображается в фазовом пространстве определенной линией — фазовой траекторией системы. Указание фазовой траектории является удобным способом описания эволюции системы.

Рассмотрим эволюцию потока жидкости при фиксированных стационарных внешних условиях (в частности, при постоянном притоке энергии извне), но при различных начальных условиях. Каждому из этих начальных условий соответствует некоторая фазовая траектория, выходящая из соответствующей начальной фазовой точки, и представляет интерес выяснить поведение указанных фазоэых траекторий для больших промежутков времени. Из статистической механики известно, что динамические системы с большим числом степеней свободы при стационарных внешних условиях имеют тенденцию стремиться к некоторому предельному равновесному режиму, при котором в среднем по времени внешний приток энергии уравновешивается диссипацией полной энергии системы, а полная энергия имеет фиксированное значение и определенным образом распределяется по степеням свободы. Можно высказать гипотезу, что для широкого класса потоков жидкости существуют два возможных предельных режима — ламинарный и турбулентный, так что каждая фазовая траектория потока жидкости с течением времени либо аримптотически приближается к точке, соответствующей ламинарному течению, либо накручивается на некоторый «предельный цикл», соответствующий установившемуся турбулентному режиму. Критерий возникновения турбулентности должен

позволить по начальной точке фазовой траектории предсказать, какой из этих двух предельных режимов будет иметь место.

Возможность разложения движения жидкости на элементарные компоненты означает, что поток жидкости можно рассматривать как совокупность взаимодействующих друг с другом элементарных нелинейных осцилляторов. В каждом из этих осцилляторов за счет поступления энергии извне могут возникать автоколебания. Возможность возникновения колебаний определяется соотношением между получаемой осциллятором энергией Е и теряемой им энергией при различных амплитудах колебаний а (см. рис. 11).

Рис. 11. Различные варианты зависимости получаемой и теряемой осциллятором энергии от амплитуды колебаний.

Если при всех амплитудах (рис. 11, а), то колебания, очевидно, будут затухать при любой их начальной амплитуде, и система будет устойчивой по отношению к любому возмущению. Если при но при (рис. 11, б), то колебания с начальной амплитудой будут затухать, но при начальной амплитуде они будут возрастать, пока их амплитуда не достигнет равновесного значения При этом система будет устойчивой по отношению к малым возмущениям, но неустойчивой по отношению к возмущениям достаточно большой амплитуды (такая система называется системой с жестким самовозбуждением). Наконец, если при сколь угодно малых амплитудах (рис. 11, в), то система будет неустойчивой по отношению к бесконечно малым возмущениям, т. е. абсолютно неустойчивой и практически всегда будет находиться в автоколебательном режиме с амплитудой колебаний (такая система называется системой с мягким возбуждением). Как будет видно из дальнейшего, есть все основания предполагать, что в потоках жидкости, вообще говоря, могут иметь место все три ситуации, изображенные на рис. 1,1; однако точные условия, позволяющие во всех случаях выяснить, какая именно из них реализуется в данном конкретном течении, до сих пор остаются неизвестными.