6.3. Общее понятие о коэффициентах турбулентной вязкости и теплопроводности

Коэффициент турбулентной вязкости был чисто формально введен в п. 5.1 для случая плоскопараллельного течения жидкости; после он несколько раз использовался в § 5 для описания простейших турбулентных течений в трубах, каналах и пограничном слое (см. особенно п. 5.8). Сейчас мы покажем, как подобные же коэффициенты могут быть введены и в общем случае произвольного трехмерного течения.

Будем предполагать, что турбулентность образуется лишь в результате перехода части энергии осредненного течения в

энергию мелкомасштабных возмущений, т. е. за счет того, что Ясно, что в этом случае все статистические характеристики турбулентности (в частности, напряжения Рейнольдса) должны зависеть от поля средней скорости. Учтем теперь то, что по отношению к среднему движению напряжения Рейнольдса играют роль, аналогичную роли вязких напряжений обычных движениях жидкости. Поэтому, если осредненное движение жидкости имеет характер движения всей жидкости в целом как твердого тела, т. е. не сопровождается никакими деформациями жидких частиц, то естественно предполагать, что рейнольдсовы напряжения, действующие на любой выделенный в жидкости элемент поверхности, будут направлены по нормали к этому элементу. Но в таком случае тензор будет изотропен: где, очевидно, Следовательно, турбулентная энергия в определенном смысле аналогична давлению. Если же в осредненном движении имеет место перемещение частиц жидкости друг относительно друга, то напряжения должны зависеть от производных от средней скорости по координатам. Ограничиваясь случаем небольших градиентов средней скорости, можно в первом приближении учитывать лишь первые производные и зависимость от этих производных считать линейной. Это рассуждение и является основой для попытки описания турбулентности при помощи коэффициентов турбулентной вязкости.

Поскольку напряжения образуют симметричный тензор, их Зависимость от производных должна иметь тензорный характер. Величины не образуют симметричного тензора, но из них можно образовать симметричный тензор деформации который как раз и характеризует отличие осредненного движения жидкости от движения твердого тела. Следовательно, тензор естественно считать линейной функцией от тензора обращающейся в при Коэффициенты этой линейной функции и будут иметь смысл коэффициентов «турбулентной вязкости».

Известно, что коэффициенты молекулярной вязкости связаны соотношениями со средней скоростью

молекул и средней длиной свободного пробега молекул Можно думать, что для коэффициентов турбулентной вязкости будут иметь место подобные же соотношения, которых роль характеристик молекулярных движений будут играть соответствующие характеристики неупорядоченных турбулентных движений. Аналогичной характеристикой, очевидно, является среднее квадратичное значение пульсаций скорости, т. е. величина Вместо же следует использовать масштаб турбулентности I — величину размерности длины, описывающую среднее расстояние, на которое способны перемещаться турбулентные образования, сохраняя свою индивидуальность (т. е. прандтлевский «путь перемешивания», который по порядку величины совпадает с «длиной корреляции», определяемой по пространственной корреляционной функции с помощью формулы вида При этом турбулентность может характеризоваться разными масштабами в разных направлениях, так как турбулентные движения могут быть неизотропными и разные направления для них вовсе не должны быть равноправными. Поэтому, строго говоря, в каждой точке потока должен быть определен эллипсоид масштабов, т. е. задан симметричный тензор второго ранга масштабов), компоненты которого имеют размерность длины. При надлежащем его определении величины имеющие размерность коэффициента вязкости, будут иметь смысл коэффициентов турбулентной вязкости. Используя тензор и учитывая симметрию тензора можно положить

Такая формула была предложена Мониным (19506). Лежащее в ее основе допущение о линейной зависимости напряжений Рейнольдса от производных можно рассматривать как еще одну гипотезу того же типа, что и гипотезы, используемые в полуэмпирических теориях турбулентности (см. выше п. 5.8). Заметим еще, что в наиболее общей форме линейную зависимость между тензорами и следовало бы записать в виде

где -некоторый тензор четвертого ранга, симметричный по и по и удовлетворяющий условию

Использование формулы (6.21) означает, что тензор предполагается вырожденным, а именно — представимым в виде

Впрочем, если не делать никаких дополнительных предположений о тензоре то формулу (6.21) (аналогично формуле Буссинеска (5.5), определяющей скалярный коэффициент турбулентной вязкости К) часто можно рассматривать и не как гипотетическую связь, а просто как определение новых характеристик турбулентности вводимых вместо напряжений Рейнольдса В самом деле, равенства (6.21) фактически представляют собой систему шести уравнений относительно шести неизвестных Перейдя к системе координат, в которой тензор диагоналей, и учтя, что легко убедиться, что детерминант этой системы пропорционален Поэтому если только т. е. если тензор Ф не вырождается, то величины однозначно определяются по и наоборот, т. е. формула (6.21) всегда может быть удовлетворена. В этом случае рассуждения, использовавшиеся при выводе этой формулы, должнылишь помочь физической интерпретации величин позволяющей, если надо, сформулировать затем о них определенные гипотезы.

Если же то формула (6.21) не только предписывает гипотетическую линейную связь между тензорами но и налагает определенные ограничения на вид тензора напряжений Рейнольдса, нужные для того, чтобы соответствующая система уравнений относительно вообще имела решение. В этом случае рассматриваемая формула иногда может уже оказаться лишь довольно грубым приближением к действительности. Рассмотрим, например, случай, когда осредненное движение является плоскопараллельным, так что и соответственно этому только компоненты тензора Ф отличны от нуля. Здесь, исходя из геометрических соображений, естественно ожидать, что оси будет являться главными направлениями тензора Но тогда формулы (6.21) принимают вид:

Равенство нулю компонент и согласуется с выводами из соображений симметрии; однако равенство друг другу

средних квадратов трех компонент пульсаций скорости является дополнительным ограничением, вообще говоря, не выполняющимся в реальных плоскопараллельных турбулентных потоках (ср. выше рис. 26 на стр. 236).

Тем не менее, использование вместо тензора величин часто все же имеет смысл, так как тензор имеет более наглядный геометрический смысл и его главные направления иногда можно задать заранее, исходя из геометрических соображений. В ряде случаев можно, даже качестве первого приближения просто предположить, что изотропный тензор, т. е. принять за основу гипотезу, выражаемую формулой

(заметим, что тензор здесь все равно остается анизотропным). Гипотеза (6.22) близка к той, которая использовалась еще Буссинеском (1897). Фигурирующая здесь величина имеет смысл скалярного коэффициента турбулентной вязкости (приближенно определяющего сразу все компоненты тензора напряжений Рейнольдса).

Согласно гипотезе (6.22) величина А имеет вид

аналогичный выражению для диссипации энергии осредненного движения с заменой коэффициента молекулярной вязкости коэффициентом турбулентной вязкости Условие при этом эквивалентно условию так что формальное использорание соотношений (6.21) или случаях означало введение в теорию отрицательных коэффициентов вязкости. По этой причице понятие о коэффициенте турбулентной (точнее — макротурбулёнтной) вязкости является бессмысленным, например, для течений общей циркуляции атмосферы (отметим, однако, что «коэффициент макротурбулентной теплопроводности» для этих течений оказывается, тем не менее, всегда положительным).

Формулы, аналогичные (6.21) или (6.22), могут быть написаны и в применении к турбулентному переносу тепла и материальных примесей. А именно, если концентрация примеси, то плотность турбулентного потока примеси по направлению и равную в общем случае анизотропной турбулентности

можно предполагать задающейся соотношением

где компоненты тензора имеют смысл коэффициентов турбулентной диффузии для данной примеси; в случае, когда это температура, в обе части (6.24) следует еще добавить множитель (ср. формулы (5.9) и (5.9) на стр. 221).

В формуле (6.24) учитывается, что турбулентная диффузия, вообще говоря, анизотропна. При использовании тензора масштабов турбулентности можно предполагать, что анизотропность турбулентной диффузии будет такой же, как и анизотропность этого тензора, т. е. что где безразмерный параметр. Если предположить, что допустимо пренебречь анизотропностью тензора масштабов, т. е. принять, что то (6.24) обратится в соотношение

Заметим, что даже в случае плоскопараллельных турбулентных течений, для которых (6.25) можно рассматривать просто как определение новой величины это соотношение становится гипотетическим (и требующим проверки), как только мы допускаем, что (т. е. не меняется в пространстве и времени). Чисто формально здесь можно положить также,что , т. е. использовать фррмулу (6.25) для вычисления входящих в уравнения (6.15) и (6.17) третьих моментов поля скорости:

где численный коэффициент, который может и не совпадать с (формула (6.26), разумеется, представляет собой еще одну полуэмпирическую гипотезу).

Принимая гипотетические соотношения (6.22) и (6.26), мы вводим в уравнение баланса турбулентной энергии (6.17) вместо характеристик турбулентности характеристики (или ), т. е. существенно уменьшаем число неизвестных величин. Дальнейшим шагом в этом направлении будет установление связи между удельной диссипацией турбулентной энергии также входящей в качестве неизвестной в уравнение (6.17), и величинами и (или ). Если только допустить, что такая связь имеет место, то ее вид можно уже однозначно

восстановить с помощью соображений размерности:

где еще один неотрицательный безразмерный параметр (то, что мы записываем его как четвертую степень некоторого другого числа, будет удобно в п. 6.6). Соотношение (6.27) опять же можно рассматривать просто как определение иовой величины с, заменяющей (предполагая, что уже заданы, например, при помощи соотношений и Если, однако, мы допустим, что то тем самым мы сразу превращаем (6.27) в дополнительную гипотезу того же типа, что и другие гипотезы полуэмпирических теорий турбулентности.