9.2. Лагранжевы статистические характеристики турбулентности

При статистическом описании турбулентности необходимо прежде всего указать, какие именно ее характеристики предполагаются имеющими распределения вероятностей, т. е. представляющими собой реализации некоторых случайных полей. В предыдущих главах при рассмотрении турбулентных потоков мы всегда предполагали, что случайным полем является эйлерово поле скорости Но в таком случае и лагранжевы величины

будут случайными функциями аргументов Более того, при этом для любого конечного числа «жидких частиц» (характеризуемых тем, что в момент они находились в точках будут существовать многомерные совместные плотности вероятности для их координат X и скоростей V в произвольные моменты времени являющиеся функциями от переменных три компоненты вектора Эти многомерные плотности вероятности и являются основными лагранжевыми статистическими характеристиками турбулентности. Заметим еще, что в рассматриваемом случае будут существовать также и совместные распределения вероятности для наборов величин, часть из которых является лагранжевыми величинами (Координатами или скоростями фиксированных «жидких частиц»), а часть — эйлеровыми величинами (скоростями потока в фиксированных точках); плотности таких «смешанных вероятностей» также иногда заслуживают рассмотрения.

Далее мы будем обозначать плотности вероятности символами вида где в скобках перед вертикальной чертой указываются возможные значения рассматриваемых случайных величин (обозначаемые теми же буквами, что и сами, соответствующие величины), а после вертикальной черты — параметры, от которых эти величины зависят. В тех случаях, когда параметры, отвечающие нескольким величинам, совпадают, мы будем их указывать после черты только один раз (если при этом не возникает опасность путаницы).

Между различными лагранжевыми (и смешанными) статистическими характеристиками турбулентности существует целый ряд общих соотношений; некоторые из них мы. и укажем в настоящем пункте. Начнем с соотношений, являющихся следствиями «уравнения переноса» (9.13). Учитывая, что выражение (9.14) является решением этого уравнения и что, согласию (9.1),

получим

Но в силу самого определения теоретико-вероятностного осреднения (см. (3.12))

Следовательно, осреднив уравнение для будем иметь

Это уравнение и является статистическим аналогом «уравнения переноса» (9.13).

Другой тип соотношений между статистическими характеристиками можно получить, введя в рассмотрение наряду с лагранжевой скоростью представляющей собой значение случайной функции случайной точке также и случайную величину относящуюся к фиксированной точке Значениями этой величины являются скорости тех жидких частиц, которые в момент находились в точке х, а в момент оказались фиксированной точке а её плотность вероятности это условная плотность вероятности величины при условии, что Поэтому, строго говоря, величина не является ни чисто лагранжевой, ни чисто эйлеровой. Однако можно ожидать, что при возрастании зависимость распределения вероятности для этой величины от значения х, как правило, будет становиться все менее и менее существенной. При достаточно больших по сравнению с лагранжевым «временем корреляции»

значениях этой зависимостью, по-видимому, в ряде случаев вообще можно пренебречь, так что случайную величину при таких часто можно считать эквивалентной эйлеровой случайной величине Подчеркнем, впрочем, что иногда замена на может оказаться незаконной при любых значениях так, например, в дальнейшем мы увидим, что в турбулентном пограничном слое над плоскостью всегда (в частности, в области приложимости логарифмического закона для профиля средней скорости в то время как

Нетрудно видеть, что совместную плотность вероятности для скоростей «жидких частиц» (взятых в разные моменты времени можно представить

в виде

где первый множитель под знаком интеграла есть условная плотность вероятности для указанных скоростей «жидких частиц» при условии, что их координаты соответствующие моменты времени принимают фиксированные значения Если все рассматриваемые «жидкие частицы» различны (т. е. среди начальных точек никакие две не одинаковы), то этот первый множитель есть совместная плотность вероятности для случайных величин введенных выше. Второй множитель под знаком интеграла в (9.17) есть совместная плотность вероятности для лагранжевых случайных величин Формула (9.17) (принадлежащая, так же как и рассматриваемые ниже ее следствия, Монину (1960)) является частным случаем общей «теоремы о полной вероятности» теории вероятностей. Отметим, что если все рассматриваемые «жидкие частицы» различны и все разности достаточно велики, то зависимость первого множителя под знаком интеграла в правой части (9.17) от аргументов в ряде случаев можно считать несущественной. При этом указанный множитель можно отождествлять с плотностью вероятности для значений поля скорости в фиксированных точках, так что формула (9.17) здесь становится соотношением между лагранжевыми и эйлеровыми статистическими характеристиками турбулентности.

Рассмотрим особо частный случай формулы (9.17) при когда эта формула содержит плотности вероятности для координат и скоростей одной и той же «жидкой частицы» в разные моменты времени. При получаем

Как уже отмечалось, при достаточно больших функцию иногда можно отождествить с плотностью вероятности для значений эйлерова поля скорости в фиксированной точке пространства-времени (в этом смысле формулу (9.18) можно считать статистическим аналогом основного соотношения (9.1), связывающего лагранжеву и эйлерову скорости потока). Подставляя теперь формулу (9.18) в выражение

для среднего значения вытекающее из общей формулы (3.12), получим

В тех случаях, когда зависимость от х исчезает при последнюю формулу при достаточно больших можно переписать в виде

Для совместного распределения вероятностей значений скорости одной и той же «жидкой частицы» в два последовательных момента времени формула (9.17) приводит к соотношению

где первый множитель под знаком интеграла есть совместная плотность вероятности для величин Отсюда для лагранжевой корреляционной функции скорости (т. е. смешанного второго момента распределения (9.21), где индексы нумеруют компоненты векторов ) получается соотношение

При достаточно больших (по сравнению с лагранжёвым «временем корреляции») значениях корреляционную функцию скоростей под знаком интеграла можно с известным основанием отождествить с более простой эйлеровой пространственно-временной корреляционной функцией Однако при таких величины (а также величины и уже можно считать практически некоррелированными, так что в данном случае асимптотический вид формулы не представляет большого интереса. Заметим еще, что левая часть формулы (9.22) не является самой общей лагранжевой корреляционной функцией скорости, так как здесь в один из рассматриваемых моментов времени (именно, в момент координата соответствующей «жидкой частицы» имеет фиксированное значение (равное ). Более общей является лагранжева корреляционная функция , где для нее с помощью формулы (9.17) можно получить выражение

вида

где означает случайную скорость жидкой частицы в момент при условии, что в моменты эта частица находилась в фиксированных точках соответственно. При достаточно большом величину часто можно с известрым основанием считать эквивалентной и точно так же при достаточно большом величину часто можно считать эквивалентной