1.3. Число Рейнольдса и критерий подобия

Все перечисленные выше точные решения уравнений гидродинамики относились к крайне простым идеализированным течениям. В более сложных случаях нахождение точного решения обычно оказывается невозможным, и приходится прибегать к численному решению уравнений с помощью тех или иных приближенных методов. При этом очень важно уметь оценить порядок величины различных членов наших уравнений, чтобы знать, в каких случаях можно пренебречь некоторыми из этих членов и ограничиться рассмотрением упрощенных уравнений, легче поддающихся интегрированию.

Будем пока считать, что речь идет о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил. С помощью соотношения (1.9) нетрудно показать, что члены уравнений (1.6), содержащие давление, вообще говоря, будут иметь тот же порядок величины, что и нелинейные члены так что сравнить надо лишь порядки членов и описывающих влияние на поток сил инерции и сил внутреннего трения.. Обозначим через характерный масштаб скоростей нашего течения (за можно принять, например, максимальную скорость потока или как-то определенную среднюю скорость), а через характерный масштаб длин (например, средний размер тел, обтекаемых потоком, или типичное расстояние между твердыми стенками, или вообще расстояние, на котором скорость потока претерпевает заметное изменение имеющее порядок В таком случае порядок первой производной поля скорости будет определяться отношением а вторых производных — отношением так что члены, описывающие силы инерции, будут иметь порядок а члены, описывающие силы трения — порядок Отношение этих величин

называется числом Рейнольдса потока; оно является очень важной характеристикой течения, определяющей относительную

роль сил инерции и сил трения в динамике потока (выше это число нам уже встречалось в формулах (1.16), (1.21) и (1.26)). При малых числах Рейнольдса вязкость оказывает существенное влияние на весь поток в целом, сглаживая возникающие в потоке мелкие неоднородности; поэтому изменения характеристик течения от точки к точке при малых оказываются обычно весьма плавными. При больших числах Рейнольдса доминирующую роль в потоке играют силы инерции, действие которых приводит к передаче энергии от крупномасштабных компонент движения к мелкомасштабным и, следовательно, к образованию резких локальных неоднородностей течения; этот тип течений нас и будет интересовать в дальнейшем.

Понятие о числе Рейнольдса очень упрощает исследование геометрически подобных течений жидкости, таких, как. например, течения жидкости в трубах с сечением заданной формы или обтекание безграничным потоком жидкости твердого тела заданной формы. Поскольку в этих случаях идет о совокупности потоков с геометрически подобными границами, то свойства границ здесь могут быть охарактеризованы одним-единственным масштабом размерности длины (в наших примерах за можно принять средний диаметр сечения рассматриваемой трубы или средний диаметр обтекаемого потоком тела). Кроме того, само течение будет характеризоваться еще некоторой типичной скоростью (например, максимальной скоростью в фиксированном сечении трубы или скоростью набегающего на тело потока). Наконец, единственный входящий в уравнения (1.5) и (1.6) размерный параметр — это коэффициент кинематической вязкости характеризующий физические свойства текущей жидкости. Таким образом, в случае установившегося, течения при отсутствии внешних сил геометрически подобные потоки будут зависеть лишь от длины и от размерных. параметров имеющих размерности

где через в правых частях равенств, как обычно, обозначены размерности длины и времени. Ясно, что из параметров можно составить единственную безразмерную комбинацию — число Рейнольдса Поэтому, если мы будем измерять длины в единицах скорости — в единицах а давление — в единицах то уравнение (1.5) и граничные условия для всех геометрически подобных потоков будут иметь один и тот же вид, а уравнения (1.6) будут отличаться самое большее значениями безразмерного параметра могущего войти в эти уравнения после перехода к безразмерной форме.

Следовательно, для геометрически подобных потоков скорость, измеренная масштабом будет зависеть только от координат, измеренных масштабом и от числа Иначе говоря,

где некоторые универсальные функции, описывающие сразу рассматриваемую совокупность течений (заметим, что примерах 1)-4) предыдущего пункта функции некоторым специальным причинам оказываются вовсе не зависящими от Точно так же где новая универсальная функция. Далее, если сила воздействия потока на какое-то обтекаемое потоком твердое тело, то коэффициент сопротивления будет зависеть уже только от числа Рейнольдса причем в определении можно заменить также площадью всей обтекаемой поверхности тела (как мы и поступали выше, полагая, что где средняя сила, приходящаяся на единицу поверхности) или площадью миделева сечения тела. Иначе говоря, геометрически подобные течения в случае равенства отвечающих им чисел Рейнольдса (но, (Вообще говоря, только в этом случае) будут также и механически подобными, т. е. будут обладать геометрически подобными конфигурациями линий тока и будут описываться одними и теми же функциями от безразмерных координат (так называемый закон подобия Рейнольдса). Этот закон, естественно, имеет важное значение для теоретического изучения течений, имеющих место в аналогичных условиях, для унификации обработки наблюдений над такими течениями и для моделирования течений, встречающихся в практических задачах. Кроме того, он показывает, что всевозможные геометрически подобные течения будут описываться лишь однопараметрическим семейством решений уравнений это, разумеется, сильно упрощает задачу численного интегрирования этих уравнений.

Подчеркнем еще раз, что закон подобия Рейнольдса справедлив лишь для установившихся течений несжимаемой жидкости, на которые не оказывают существенного влияния внешние силы. В случае же движений, существенно зависящих от внешних сил (например, от силы тяжести), а также нестационарных движений, характеризующихся некоторым типичным периодом Т, отличным от закон подобия оказывается более сложным: здесь для механического подобия необходимо, чтобы кроме чисел

Рейнольдса равные значения принимали также и еще некоторые дополнительные безразмерные «критерии подобия». В случае течений сжимаемой жидкости число критериев подобия также увеличивается; на этом мы еще остановимся в п. 1.6.

Заметим еще, что в некоторых случаях весьма небольшие нарушения геометрического подобия могут приводить к очень резкому нарушению механического подобия. Так, например, небольшие изменения условий у входного сечения круглой трубы, вносящие в поток небольшие возмущения, могут совершенно изменить характер течения в трубе (см. по этому поводу § 2).