Взаимодействие конечных возмущений. Роль трехмерных возмущений в плоскопараллельном течении

Изложенная выше теория Ландау касалась эволюции одного конечного возмущения в ламинарном течении. Поскольку, однако, эта эволюция определяется нелинейными дифференциальными уравнениями, то решение, отвечающее наличию в заданном течении нескольких различных начальных возмущений, уже не будет простой суммой решений, описывающих эволюцию каждого из них по отдельности. Поэтому в теории конечных возмущений недостаточно исследовать лишь процесс развития простейших «элементарных возмущений», по которым можно разложить любое начальное поле , а требуется описать также и взаимодействие возмущений, т. е. влияние каждого из них на развитие всех остальных.

Вообще говоря, вопрос о взаимодействии конечных Возмущений относится к числу наименее изученных гидромеханике. Тем не менее, кое-какие частные результаты, касающиеся такого взаимодействия, могут быть все же указаны и заслуживают того, чтобы на них остановиться немного подробнее.

Начнем с хорошо изученного экспериментаторами случая термической конвекции в слое подогреваемой снизу жидкости при числе Рэлея . Как мы знаем из п. 2.7, линейная теория возмущений приводит к выводу, что при таком значении должно иметься бесконечное множество неустойчивых инфинитезимальных возмущений (с экспоненциально возрастающими амплитудами), соответствующих некоторому интервалу значений волнового вектора окружающему значение при котором впервые проявляется неустойчивость. Наиболее неустойчивыми (т. е. быстрее всего возрастающими) будут возмущения с Одним определенным но и таких возмущений будет бесконечное множество (так как при заданном горизонтальная форма возмущения может описываться произвольной функцией удовлетворяющей уравнению (2.23)). Эксперимент же показывает, что на самом деле всегда возникает

лишь возмущение с одним определенным значением имеющее строго определенную форму (соответствующую разбиению горизонтальной плоскости на совокупность правильных шестиугольных ячеек) и строго определенную конечную амплитуду. Теория Ландау позволяет лишь найти эту установившуюся амплитуду (с помощью соответствующего уравнения (2.39), получающегося из нелинейных уравнений конвекции в предположении, что функция заранее задана; ср. Горьков (1957)). Но эта теория ничего не говорит о том, почему в жидкости никогда не возникают возмущения с несколькими разными значениями и почему среди наиболее неустойчивых возмущений реально наблюдаются лишь возмущения с одной определенной функцией

Исследованию этого последнего вопроса посвящены работы Палма (1960), Сиджела и Дж. Стюарта (1962) и Палма и Зйянна (1964). Палм, в частности, впервые указал на то, что обычные уравнения свободной конвекции (1.5), (1.6), (1.75) и (1.76) в принципе не могут удовлетворительно объяснить основные особенности ячеистой конвекции, так как эксперименты Тиипельскирха (1956) показывают, что характер циркуляции в ячейках определяется формой зависимости коэффициента вязкости от температуры Т (при жидкость поднимается в середине ячейки и опускается по краям, а при поднимается по краям и опускается в середине). Поэтому он принял за основу более сложные уравнения, учитывающие также и возможную зависимость от Т (и оценил влияние этой зависимости на значение Далее, Палм предположил, что в начальный момент времени в жидкости возникло - некоторое «основное возмущение» в форме плоской волны (например, пропорциональное где толщина слоя жидкости, и зависящее от на которое накладывается слабый «фон» различных других возмущений малой амплитуды с тем же самым (наиболее неустойчивым) значением волнового вектора В таком случае естественно допустить, что основную роль здесь будут играть «парные взаимодействия» основного возмущения с прочими и в соответствии с этим ограничиться лишь рассмотрением эволюции возмущений с полем , где вида

Но при этом особенно тесно связанными с основным возмуще нием будут те возмущения с квадратичные

комбинации которых (входящие в уравнения гидромеханики) могут снова порождать, члены того же вида, что и основное возмущение. Можно даже думать, что взаимодействие таких возмущений с основным может при определенных условиях приводить к взаимному усилению обоих возмущений, в результате которого только эти возмущения и будут в конце концов играть существенную роль. Исходя из таких соображений, Палм предложил прежде всего рассмотреть специальный случай, когда

(так как здесь два слагаемых являются как раз сильно связанными друг с другом). Ограничившись для простоты граничных условий лишь физически нереальным случаем конвекции в слое между двумя свободными поверхностями (это упрощение принималось затем и в работах Сиджела и Дж. Стюарта (1962), Сиджела (1962) и Палма и Эйянна (1964)) и приняв для определенности, что Палм вывел систему дифференциальных уравнений для амплитуд Эта система после отбрасывания членов выше третьего порядка и некоторых других второстепенных членов может быть представлена в виде

где и - постоянные коэффициенты, (ср. Сиджел и Дж. Стюарт (1962)). Существенно, что система (2.47) имеет стационарные решения вида

отвечающие как раз шестигранным призматическим ячейкам. Кроме того, согласно результатам Палма при (т. е. при но не при только такие решения и будут устойчивыми относительно малых возмущений амплитуд так что именно они будут реализоваться в пределе при Так как к тому же устойчивым решениям при разных знаках соответствует, как оказалось, именно то направление циркуляции жидкости в ячейках, которое наблюдается на опыте, то Палм заключил, что эти результаты полностью объясняют основные экспериментальные факты.

В дальнейшем теория Палма была критически пересмотрена Сиджелом и Дж. Стюартом (1962) и Палмом и Эйянном (1964) (также исходившими из третьего приближения теории возмущений). При этом выяснилось, что некоторые заключения работы Палма (1960) не совсем точны. В частности, оказалось, что решения (2.48) системы (2.47) на самом деле устойчивы лишь при не слишком малом (превосходящем некоторую постоянную зависящую от значений коэффициентов системы). Кроме того, при решения вида единственные устойчивые решения системы (2.47); однако все остальные ее стационарные решения становятся неустойчивыми, если немного расширить класс допустимых возмущений. В то же время отвечающее (2.48) стационарное движение в виде совокупности шестигранных ячеек (с зависящим от знака направлением циркуляции жидкости в ячейках) оказалось устойчивым относительно сравнительно широкого класса возмущений и совпадающим с пределом при произвола ного возмущения вида

(а также, по-видимому, и любой другой комбинации конечного числа неустойчивых волн с фиксированным волновым числом В предположении, что при реальных граничных условиях значение будет достаточно мало, эти факты хорошо согласуются с эмпирическими данными об исключительной роли шестигранных ячеек, хотя, разумеется, нельзя ручаться, что в реальных экспериментах не оказываются существенными еще какие-нибудь обстоятельства, не учтенные в рассматриваемой здесь приближенной теории.

То, что в ряде случаев нелинейные взаимодействия могут привести к разрастанию возмущений одной определенной формы за счет подавления всех остальных, подтверждают и расчеты Сиджела (1962), относящиеся к случаю возмущений с различными волновыми числами в слое подогретой снизу жидкости. Этот автор рассмотрел простейшее «парное взаимодействие» двух «одномерных волн», не зависящих от координаты (т. е. ). Иначе говоря, исследовалась эволюция возмущения, для которого поле имеет вид

Применив затем метод работ Дж. Стюарта (1960) и Уотсона (1960а), Сиджел получил в первом нелинейном приближении

для коэффициентов систему уравнений вида

обращающуюся при или в уравнение, равносильное уравнению Ландау (2.39) для амплитуды одного возмущения (зависимостью от Т, учтенной в уравнениях (2.47), здесь пренебрегается). Система (2.50), очевидно, имеет следующие стационарные решения:

Устойчивость этих решений может быть проверена с помощью обычных методов качественной теории дифференциальных уравнений (см., например, Андронов, Витт и Хайкин (1959)). При этом оказывается, что в наиболее важном случае, когда из устойчивости хотя бы одного из решений (II) и (III) уже следует, что не может существовать устойчивое решение (IV). Отсюда видно, что существует широкий класс ситуаций, в которых окончательное состояние всегда будет содержать лишь одно возмущение (с волновым числом или но не смесь их обоих. С другой стороны, при некоторых значениях коэффициентов из системы уравнений (2.50) вытекает, что взаимодействие одного устойчивого и одного неустойчивого возмущения (например, возмущений с может привести к тому, что неустойчивое возмущение начнет расти, и в конце концов установится «смешанное состояние», отвечающее решению типа (IV). Правдоподобно, что такая ситуация также может иногда встретиться в гидромеханике (например, в случае плоскопараллельных течений). Но для уравнений (2.50), отвечающих случаю термической конвекции при числе лишь слегка превышающем и неустойчивости обоих исходных возмущений (т. е. ) устойчивым относительно всех двумерных возмущений вида (2.49) всегда оказывается только решение (II) или (III). Это обстоятельство в какой-то мере поясняет, каким образом наличие взаимодействий между возмущениями приводит к тому, что при малых из всего интервала неустойчивых волновых чисел

всегда реально наблюдается только одно значение Однако при большой разности исследование системы (2.50) сильно затрудняется, причем кажется правдоподобным, что при малом числе Прандтля здесь могут встретиться и случаи, когда устойчивым окажется как раз решение типа (IV), соответствующее смеси двух исходных возмущений.

Аналогичный анализ возможен и для других течений, к которым выше применялась обычная линейная теория возмущений. В частности, очень большой интерес представляет случай практически плоскопараллельного течения в пограничном слое на плоской пластинке, которому было уделено много внимания в п. 2.8. Мы уже отмечали, что согласно экспериментам Шубауэра и Скрэмстеда первоначальное развитие неустойчивых возмущений в таком течении полностью согласуется с выводами линейной теории Толмина — Шлихтинга — Линя. Однако последующие наблюдения целого ряда авторов (например, Шубауэра и Клебанова (1956), Хама, Лонга и Хегарти (1957), Клебанова и Тидстрома (1959) и, особенно, Клебанова, Тидстрома и Сарджента (1962)) убедительно показали, что так дело обстоит лишь на первой стадии развития возмущений; затем положение заметно изменяется. Непосредственно вслед за этой первой стадией следует стадия, в течение которой ранее двумерное возмущение приобретает явно выраженный трехмерный характер за счет появления продольных вихрей с осями, направленными вдоль основного течения, приводящих к резкому перераспределению интенсивности пульсаций в «боковом» направлении (см. рис. 24). Вслед за этой второй стадией следует третья стадия, в течение которой

Рис. 24. Зависимость относительной величины типичной пульсации продольной скорости от «боковой» координаты у в пограничном слое над плоской пластинкой на различных расстояниях х от колеблющейся металлической ленты, создающей возмущения.

в отдельных точках потока возникают резко очерченные «турбулентные пятна» (в результате процесса почти взрывного характера); в дальнейшем эти пятна все сливаются друг с другом, порождая полностью турбулентное течение.

При теоретическом изучении упомянутой второй стадии турбулизации пограничного слоя, очевидно, необходимо учесть, что при сверхкритических числах Рейнольдса в плоскопараллельном течении будут существовать также и трехмерные (зависящие от неустойчивые волны, которые при достаточно большом могут даже оказаться наиболее быстро возрастающими (т. е. самыми неустойчивыми). Исходя отсюда, Дж. Стюарт (1962) рассмотрел поведение в плоскопараллельном течении возмущения с полем скорости вида

С помощью метода работ Дж. Стюарта (1960) и Уотсона (1960а) он получил при этом для амплитуд систему уравнений вида (2.50). Таким образом, здесь также могут существовать стационарные решения четырех типов (I) — (IV) и основную роль будет играть степень устойчивости этих стационарных решений относительно тех или иных возмущений. К сожалению, количественное исследование устойчивости даже относительно одних только возмущений вида (2.51) требует определения значений коэффициентов соответствующей системы уравнений (2.50), что наталкивается на очень большие трудности (как мы уже отмечали на стр. 151—152, даже знак коэффициента совпадающего с коэффициентом 26 соответствующего уравнения (2.39) для одной амплитуды до сих пор не подсчитан ни для одного плоскопараллельного течения). Однако эмпирические данные рис. 24 создают впечатление, что при некоторых и I устойчивым может оказаться именно смешанное стационарное решение типа (IV), причем устойчивость здесь будет иметь место не только по отношению к возмущениям вида (2.51), но и по отношению ко многим другим обычным типам возмущений.

Аналогичный вывод можно сделать и исходя из результатов Бенни (1961, 1964) и Линя и Бенни (1962), подошедших к той же задаче с другой стороны. Эти авторы представили решение уравнений гидромеханики в виде ряда теорий возмущений

где безразмерный коэффициент, определяющий отноше ние амплитуды возмущения к амплитуде основного Течения При конкретных расчетах в качестве основного течения

в работах Бенни (1961) и Линя и Бенни (1962) было выбрано плоскопараллельное течение в безграничном пространстве с профилем скорости изображенным на рис. 19, г, а в работе Бенни -течение в полупространстве с профилем линейно возрастающим до некоторого значения а затем принимающим постоянное значение Первичное возмущение в обоих случаях полагалось имеющим вид

Здесь и с находились из обычной («двумерной») линейной теории (и соответствовали слегка неустойчивому возмущению при немного превосходящем определялось из линейной теории, описывающей поведение трехмерных возмущений, а отношение характеризовало относительную роль двумерного и трехмерного возмущений. Расчеты производились с точностью до вторичных возмущений (порядку они показали, что даже при взаимодействие двумерного и трехмерного возмущений приводит к возникновению вторичных продольных вихрей и заметному перераспределению энергии возмущений в направлении оси В результате суммарное движение (описываемое тремя членами правой части (2.52)) оказывается очень близким к тому, которое реально наблюдается в пограничном слое (имеющем совсем другой профиль Скорости

Выяснение важной роли трехмерных возмущений в яроцессе турбулизации пограничного слоя побудило Мексина (1964) снова вернуться к задаче об устойчивости плоского течения Пуазейля по отношению к конечным возмущениям. Приняв предположения, близкие к использовавшимся раньше в работе Мексина и Стюарта (1951), Мексин произвел аналогичные расчеты уже в применении к конечным трёхмерным возмущениям (с полем скорости вида где и — произвольные целые числа). В результате очень громоздких вычислений он нашел, что, по-видимому, для некоторых конечных трехмерных возмущений критическое число Рейнольдса вполне может оказаться довольно близким к значению 1000, даваемому экспериментами в качестве значения для рассматриваемого течения.

Теоретическое исследование третьей стадии турбулизации пограничного слоя, характеризуемой возникновением турбулентных пятен, является еще значительно более трудным, чем исследование второй стадии, и пока очень мало продвинуто. Возможно, что появление такого «пятна» связано с тем, что в некоторый

момент времени в определенной точке сразу становятся неустойчивыми многие элементарные возмущения и в результате устанавливается сложный «смешанный» режим, обладающий большим числом степеней свободы. Весьма правдоподобно, что значительную роль при этом играет возникновение внутри течения (в результате наложения на среднее течение развившихся во время второй стадии конечных трехмерных возмущений) крайне неустойчивых слоев с профилем скорости, имеющим точку перегиба (ср. Бетчов (1960)). Такие слои, вообще говоря, будут нестационарными; их толщина и отвечающий им перепад средней скорости могут быстро изменяться во времени, приводя к возникновению непосредственно перед появлением пятна областей течения, характеризуемых резко повышенной неустойчивостью. Несложные расчеты, проведенные Гринспаном и Бенни (1963) (в рамках линейной теории возмущений) в применении к простой модели с профилем скорости того типа, который изображен на рис. 19, в, но с зависящими от времени перепадом скоростей 21) 0 и толщиной слоя показали, что развитие такого слоя вполне может привести к очень бурному порождению мелкомасштабных возмущений, энергия которых достигает больших значений в течение ничтожно малого промежутка времени. Эти результаты находятся в хорошем качественном соответствии с имеющимися эмпирическими данными, касающимися перехода пограничного слоя к режиму развитой турбулентности (см., в частности, Миллер и Фейер (1964)).

Что же касается теоретического исследования развитой турбулентности, возникающей после полного завершения процесса турбулизации течения, то ему будут посвящены все последующие главы настоящей книги. При этом, однако, нам понадобится ряд сведений из теории вероятностей и теории случайных функций, к краткому изложению которых мы теперь и перейдем.