3.2. Случайные поля гидродинамических величин и вероятностное осреднение

Использование временного, пространственного или пространственно-временного осреднения, задаваемого какой-либо формулой вида (3.1), очень удобно с практической точки зрения, но неизбежно приводит к большим аналитическим трудностям при теоретических расчетах. Кроме того, такое осреднение обладает тем существенным недостатком, что при его использовании каждый раз приходится специально решать вопрос о форме функции наиболее удобной для данной задачи. По всем этим причинам представляется желательным в теории турбулентности вовсе не использовать осреднения такого типа, а принять вместо него какое-нибудь другое определение среднего значения, обладающее более простыми свойствами и более универсальное по своей природе. Такое более удобное определение, которым мы и будем все время пользоваться в настоящей книге, возникает при теоретико-вероятностной трактовке полей гидродинамических величин в турбулентном потоке как случайных полей.

Основой теоретико-вероятностного (или, как чаще говорят, Статистического) подхода к теории турбулентности является переход от рассмотрения одного-единственного турбулентного потока к рассмотрению статистической совокупности аналогичных потоков, задаваемых некоторой совокупностью фиксированных внешних условий. Чтобы понять, что это означает, рассмотрим какой-либо конкретный класс гидродинамических потоков, например класс потоков, возникающих в аэродинамической трубе при обтекании прямого кругового цилиндра. Основное различие между случаями ламинарного и турбулентного рбтекания состоит в следующем. При ламинарном обтекании, Поместив одинаковым образом два равных цилиндра в две Идентичные трубы (или, что то же самое, повторив дважды наш рпыт с одним и тем же цилиндром в одной и той же трубе), мы через заданное время после включения мотора в заданной точке X рабочей части трубы будем иметь одно и то же значение компоненты скорорти вдоль оси и других гидродинамических характеристик потока (которые можно, во всяком случае Р принципе, найти с цомощью решения некоторой

задачи с краевыми и начальными условиями для системы уравнений Навье — Стокса). В случае же турбулентного обтекания влияние малых неконтролируемых возмущений в потоке и в начальных условиях приводит к тому, что, проведя два раза один и тот же опыт в практически одинаковых условиях, мы получим два различных значения величины и других характеристик. Но в таком случае можно ввести в рассмотрение «множество всех значений величины получающихся во всевозможных опытах по турбулентному обтеканию цилиндра при заданных внешних условиях», и значение полученное в каком-то конкретном опыте, считать одним «представителем», выбранным наудачу из этого множества. Если теперь мы зафиксируем внешние условия и при этих условиях будем много раз повторять наш опыт, каждый раз записывая получающееся значение то среднее арифметическое всех полученных значений величины практике обычно оказывается довольно устойчивым; иначе говоря, начиная с некоторого достаточно большого числа опытов, оно при дальнейшем возрастании этого числа обычно уже мало меняется, колеблясь все время около некоторого постоянного значения (наличие такой устойчивости средних и означает, что наш набор аналогичных опытов представляет собой статистический ансамбль). В таком случае значение, около которого все время колеблется среднее арифметическое значений наблюдавшихся в совокупности аналогичных опытов, мы будем называть теоретико-вероятностным средним значением скорости и обозначать символом в дальнейшем черта сверху у нас всегда будет обозначать именно такое теоретико-вероятностное осреднение).

Подобным же образом и эмпирические средние значения всех других гидродинамических характеристик потока, взятые по совокупности аналогичных опытов, оказываются устойчивыми и при достаточно большом числе опытов обычно лишь слабо отклоняются от некоторых постоянных чисел. Особый интерес для нас будет представлять характеристика

равная нулю, если значение величины оказывается большим, чем , или меньшим, чем , и равная единице в противоположном случае. Число около которого колеблется при большом числе опытов среднее арифметическое этой характеристики (равное, очевидно, относительной частоте опытов, в которых значение оказывается удовлетворяющим неравенству называется вероятностью того, что примет значение в интервале между . Обычно это число может быть представлено в виде интеграла в пределах от до от некоторой неотрицательной функции называемой плотностью распределения вероятности (или короче — просто плотностью вероятности) величины . В таком случае совокупность всех и, для которых и будет составлять то «множество возможных значений о котором мы говорили выше; конкретное же значение наблюденное в одном из опытов, мы будем называть выборочным значением (или реализацией) х-компоненты скорости. Факт существования плотности иногда записывается в виде равенства

где знак означает вероятность выполнения условия, указанного в скобках. Теоретико-вероятностное среднее значение величины при этом, очевидно, может быть выражено через при помощи равенства

Одновременно знание плотности вероятности позволяет нам определить также и теоретико-вероятностные средние значения произвольных функций от

В теории вероятностей величины и, имеющие определенную плотность вероятности, называются случайными величинами; совокупность же всевозможных вероятностей отвечающих величине и, называется ее распределением вероятности.

Поэтому мы можем заключить, что с точки зрения теории вероятностен значение скорости в точке турбулентного потока представляет собой случайную величину, характеризуемую определённым распределением вероятности.

До сих пор мы говорили только о значении компоненты скорости в фиксированной точке х и в фиксированный момент времени Однако аналогичный подход приложим и ко всему полю значений функции от четырех переменных. Повторяя много раз один и тот же опыт (сводящийся к осуществлению некоторого турбулентного движения) при одинаковых внешних условиях, мы будем каждый раз получать новое поле Таким образом, и здесь можно говорить о «множестве возможных полей их, а каждое отдельное поле, наблюдающееся в каком-то конкретном турбулентном потоке, рассматривать как одного «представителя», наудачу выбранного из этого множества (иначе говоря, как одну реализацию или одно выборочное значение случайного поля Нам надо теперь только объяснить, чем заменяется в этом случае предположение о существовании плотности вероятности использовавшееся при рассмотрении одной величины

Чтобы о поле можно было говорить как о случайном поле, прежде всего необходимо, чтобы значение этого поля в любой фиксированной точке пространства — времени являлось случайной величиной. Поэтому каждой комбинации значений здесь должна отвечать своя плотность вероятности зависящая от Но это еще не все; если выбрать два значения нашей компоненты скорости, то средние арифметические любых функций от этих двух величин также должны быть статистически устойчивыми. Это значит, что для величин должна существовать двумерная плотность вероятности определяемая соотношением

Иными словами, при изменении значений в большом числе турбулентных потоков, характеризуемых одинаковыми внешними условиями, доля случаев, в которых значение оказывается заключающимся между фиксированными значениями в то же время значение оказывается заключающимся между должна колебаться около некоторого постоянного значения (равного двойному интегралу в пределах от до и от до от неотрицательной функции Точно так же, если произвольные точек пространства — времени, то им должна отвечать функция

переменных

определяемая соотношением

и являющаяся -мерной плотностью вероятности значений случайных величин Наличие всевозможных плотностей вероятности (3.9) как раз и дает основание считать поле случайным полем; для его полного задания (т. е. для задания распределения вероятности в функциональном пространстве всех его возможных значений) надо задать все семейство функций (3.9), отвечающих всевозможным целым положительным и всевозможным наборам точек пространства — времени. Два турбулентных потока мы будем при этом считать одинаковыми, если им отвечают одинаковые (одномерные и многомерные) плотности вероятности; если же некоторый набор плотностей будет близок к тем, которые описывают заданный турбулентный поток, то этот набор плотностей будет определять некоторую приближенную статистическую модель нашего турбулентного потока.

Функции (3.9), очевидно, должны быть все неотрицательными и такими, что интеграл от каждой из них по всем переменным равен единице; кроме того, Они должны еще удовлетворять определенным условиям симметрии и согласованности. А именно, по самому определению плотности (3.9) для любых должно выполняться соотношение

где это те же числа но расположенные в каком-то другом порядке. Далее, если то для любых точек должно выполняться равенство

Любое семейство неотрицательных функций (3.9), обладающих свойствами (3.10) — (3.11) и таких, что при всех определяет некоторое распределение вероятности в пространстве функций от четырех переменных (т. е. задает случайное поле Вероятностное среднее значение произвольной функции от значений

при этом определяется как интеграл

где соответствующая плотность вероятности (3.9).

Естественно предположить, что в турбулентном потоке поле и поля остальных компонент скорости, а также поля давления плотности (в случае сжимаемой жидкости), температуры (в случае температурно-неоднородной среды) и других гидродинамических величин являются случайными полями. В таком случае каждому из этих полей будет соответствовать своя система многомерных плотностей вероятности (3.9). Кроме того, различные гидродинамические поля в турбулентном потоке являются статистически связанными друг с другом, и следует считать, что для них существуют также совместные плотности вероятности значений одного из полей в каких-то заданных точках пространства — времени, значений второго поля в заданных точках, значений третьего поля в заданных точках и т. д. Отсюда вытекает, что, имея любую функцию от гидродинамических характеристик турбулентного потока, мы можем определить ее среднее значение как интеграл от произведения этой функции на совместную плотность вероятности всех ее аргументов, распространенный по всей области изменения этих аргументов (ср. (3.12)). При этом условия (3.3) — (3.7) обращаются в известные свойства теоретико-вероятностных средних значений, доказательство которых приводится в курсах теории вероятностей; таким образом, теперь они уже оказываются точно выполняющимися и не требуют никакого специального обоснования.