1.6. Критерии подобия для температурно-неоднородной жидкости; температурный пограничный слой

Выше мы видели, что два геометрически подобных течения несжимаемой жидкости будут также и механически подобными, если только числа Рейнольдса этих двух течений совпадают между собой. В случае температурно-неоднородной или сжимаемой жидкости это утверждение уже оказывается неверным. Здесь для наличия механического и теплового подобия двух геометрически подобных течений требуется совпадение сразу нескольких безразмерных характеристик («критериев подобия»), к рассмотрению которых мы сейчас и перейдем.

Начнем с простейшего случая таких течений неравномерно нагретой жидкости, при которых температура может рассматриваться как пассивная примесь. В этом случае течение будет описываться обычными уравнениями (1.5) -(1.6) гидродинамики несжимаемой жидкости (с постоянным к которым только надо будет добавить еще уравнение теплопроводности (1.72), описывающее изменение поля температуры. Будем для простоты рассматривать только стационарные движения, т. е. считать, что все поля не зависят от времени. В наши уравнения входят два постоянных коэффициента (оба имеющие одинаковую размерность где символизируют размерности длины и времени). Кроме того, краевые условия задачи при сохранении геометрического подобия будут характеризоваться некоторой длиной характерной скоростью а также еще и характерной разностью температур (например, типичной разностью температур между твердыми границами и потоком). Поскольку, однако, температура у нас рассматривается как пассивная примесь, не оказывающая влияния на динамику, то единица температуры может быть выбрана произвольным образом; поэтому мы должны считать, что

где — новая независимая от размерность (например, «градусы Цельсия»). Но в таком случае из и можно составить всего две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых можно принять, например, число Рейнольдса и так называемое число Прандтля

В случае, когда — это концентрация пассивной примеси, а не температура, отношение иногда называется также числом Шмидта и обозначается символом

Иногда вместо удобно использовать число Пекле

определяющее порядок отношения адвективный членов и члена в уравнении (1.72) и играющее при исследовании поля температуры роль, аналогичную роди числа Рейнольдса в динамических задачах. Однако число Прандтля имеет перед числом Пекле то преимущество, что оно зависит лишь от природы движущейся жидкости (т. е. является характеристикой среды), но не от особенностей движения. Для воздуха (и других двухатомных газов) и почти не зависит от температуры; вообще для большинства газов имеет порядок единицы. Для жидкостей (за исключением жидких металлов) число Прандтля обычно превышает единицу и заметно убывает с ростом температуры; например, для воды (при атмосферном давлении) при температуре при Для очень вязких технических масел число оказывается, естественно, много большим, чем для воды, достигая значений порядка нескольких сотен или даже тысяч. Наоборот, для жидких металлов, отличающихся очень большой теплопроводностью, число Прандтля принимает значения, много меньшие единицы; например, для ртути при 20° С, а для других расплавленных металлов это число часто оказывается даже еще меньшим (порядка ). В случае, когда х - это коэффициент диффузии пассивной примеси, число Прандтля (или, что то же самое, число Шмидта) также имеет существенно разный порядок для газов и для жидкостей: в газообразных средах коэффициенты диффузии и вязкости имеют одинаковый порядок, так что в то время как для жидкостей типа воды для очень вязких жидкостей это отношение оказывается еще много большим и может достигать значения порядка и более того.

Для подобия полей температуры в двух геометрически подобных течениях, у этих течений должны совпадать и числа Рейнольдса и числа Прандтля . В общем же случае только геометрически подобных течений поля температуры будут определяться формулой

отличающейся от аналогичной формулы (1.31), относящейся к полю скорости, тем, что функция здесь зависит уже от двух безразмерных параметров.

Точно так же, если мы обозначим через плотность потока тепла через поверхность тела, погруженного в жидкость (т. е. положим внешняя нормаль к поверхности тела), то

Иначе говоря, в каждой точке границы тела безразмерное отношение будет зависеть лишь от чисел Рейнольдса и Прандтля. Если же мы заменим здесь поток тепла в точке средним потоком тепла через единицу площади поверхности тела, характеризующим полный теплообмен тела и жидкости, формуле

функция будет уже универсальной функцией двух переменных, определяющей зависимость теплообмена от физических свойств жидкости и масштабов длины, скорости и перепада температуры для всей совокупности геометрически подобных потоков. Величина в теплотехнике называется числом Нуссельта. Можно также вместо него для характеристики теплообмена использовать так называемый коэффициент теплопередачи (иначе — число Стэнтона)

Перейдем теперь к случаю свободной конвекции. Здесь дифференциальные уравнения задачи содержат три размерных коэффициента и (где для идеального газа граничные же условия теперь будут характеризоваться типичной длиной и типичной разностью температур (заметим

что никакой типичной скорости в этом случае не будет. Из этих величин, очевидно, можно составить две безразмерные комбинации. В качестве таких комбинаций можно принять, например, число Прандтля и так называемое число Грассхофа

Можно также вместо числа Грассхофа использовать родственное ему число Рэлея

Таким образом, в случае свободной конвекции в геометрически подобных потоках поля скорости и температуры будут подобны друг другу только в случае совпадения критериев подобия вообще же говоря, из геометрического подобия здесь будут вытекать лишь соотношения вида

где новые универсальные функции. В общем случае течений сжимаемой жидкости, описываемых полной системой уравнений (1.2), (1.4), (1.63), (1.65) и (1.66), число критериев подобия оказывается еще значительно большим; на этом, однако, мы не будем задерживаться.

Для течений с очень большим числом (т. е. при числе Прандтля, меньшем или порядка единицы, для течений с очень большим член в уравнении теплопроводности будет гораздо меньше нелинейных членов поэтому в первом приближении влиянием молекулярной теплопроводности здесь можно пренебречь. Однако, как и в случае учета вязкости в уравнениях движении, пренебрежение это будет законным лишь вдали от погруженных в поток твердых тел. Вблизи же поверхности таких тел может образоваться тонкий температурный пограничный слой, в котором темпера; тура быстро изменяется от температуры тела до температуры, близкой к температуре до, которая наблюдалась бы в свободном потоке, если бы никакого твердого тела не было. В этом слое влияние теплопроводности будет уже иметь тот же порядок, что и влияние адвекции температуры, описываемой членами Отсюда можно вывести (аналогично выводу соотношения (1.32)), что толщина температурного пограничного слоя будет иметь порядок Иначе говоря, она также будет обратно пропорциональна и при числах Прандтля порядка единицы будет совпадать

по порядку с . Учитывая еще, что легко найдем, при больших числах Рейнольдса

Внутри температурного пограничного слоя уравнение теплопроводности может быть упрощено аналогично тому, как упрощаются уравнения движения внутри обычного пограничного слоя. В частности, при стационарном обтекании жидкости данной температуры плоской пластинки, поддерживаемой при некоторой другой температуре уравнение теплопроводности в пределах пограничного слоя будет записываться в виде

аналогичном (1.41). Что же касается граничных условий, то они, очевидно, в этом случае будут иметь вид при и при

Рис. 6. Профиль температуры в пограничном слое на плоской пластинке при различных числах Прандтля.

Полагая здесь и подставляя эту формулу вместе с формулами (1-46) и (1.47), определяющими поле скорости в пределах пограничного слоя, в уравнение (1.83), мы немедленно получаем

где решение уравнения (1.48). Таким образом, для получается простое линейное уравнение, решение которого в явном виде впервые было выписано Польгаузеном в 1921 г. (см. Гольдштейн (1938), т. 2, § 268; Хоуарт

(1953), т. 2, гл. 14, § 13; Шлихтинг (1951), гл. 14, § 7). В частности, при сопоставление уравнений (1.84) и (1-48) показывает, что решение имеет вид Таким образом, в этом случае профиль Температуры оказывается в точности подобным профилю скорости. При других же значениях функция легко может быть найдена численно по известной из рис. 2 функции (см. рис. 6).