6.2. Уравнение баланса турбулентной энергии

Аналогично тому, как из уравнения (6.3) получается уравнение (6.4) для полной кинетической энергии Е, из уравнения (6.8) после суммирования по получается следующее уравнение для средней плотности кинетической энергии пульсационного движения

где имеет смысл средней удельной диссипации Энергии пульсационного движения под действием вязкости. Выражение в скобках в левой части этого уравнения представляет плотность потока турбулентной энергии, связанного с переносом турбулентной энергии осредненным течением жидкости, пульсациями давления, силами внутреннего трения (молекулярной вязкостью) и, наконец, «турбулентной вязкостью», т. е. пульсационной компонентой скорости (слагаемое ). Слагаемое

входящее в правые части уравнений для с разными знаками, очевидно, описывает взаимные превращения энергии осредненного и пульсационного движений. На вопросе о значении этого слагаемого мы специально остановимся ниже.

Уравнение (6.15) и представляет собой общее уравнение баланса турбулентной энергии. Оно показывает, что плотность турбулентной энергии в данной точке потока может изменяться вследствие переноса турбулентной энергии от других частей жидкости (т. е. диффузии турбулентной энергии), работы пульсаций внешних сил, диссипации турбулентной энергии под действием вязкости и, наконец, вследствие превращения части энергии осредненного движения в турбулентную энергию или обратного превращения части турбулентной энергии в энергию среднего движения. Энергию турбулентности в этом уравнении, разумеется, можно заменить также интенсивностью турбулентности (т. е. средней кинетической энергией пульсационного движения единицы массы жидкости) Если при этом еще обозначить символом индивидуальную производную относительно осредненного движения, то в силу того, что уравнение (6.15) можно привести к виду

Уравнение баланса турбулентной энергии (6.15) или (6.17) дополняет уравнения Рейнольдса в том отношении, что оно накладывает еще одно важное ограничение на статистические характеристики турбулентности. Правда, оно содержит новые неизвестные величины не входящие в уравнения Рейнольдса, т. е. требует более полного описания турбулентного движения. Однако физический смысл слагаемых в уравнении (6.17), содержащих эти новые неизвестные, является достаточно наглядным, и это очень облегчает попытки их приближенного выражения через более простые характеристики. Кроме того, в ряде случаев (например, если турбулентность почти однородна в пространстве) слагаемыми, описывающими диффузию турбулентной энергии, вообще можно в первом приближении пренебречь (в связи с тем, что пространственный перенос энергии здесь играет малую роль). Использование уравнения баланса Турбулентной энергии в дополнение к уравнениям Рейнольдса впервые было предложено Колмогоровым (1942).

Переходя к более подробному рассмотрению отдельных слагаемых уравнения баланса турбулентной энергии, начнем со слагаемых, содержащих пульсации давления. В общем балансе

турбулентной энергии роль этих слагаемых незначительна; как показывают уравнения (6.15) и (6.17), в случае несжимаемой жидкости пульсации давления приводят лишь к дополнительному переносу турбулентной энергии от одних частей жидкости к другим. Поэтому, если рассмотреть объем жидкости, через границу которого турбулентная энергия не втекает и не вытекает, то на изменениях полной турбулентной энергии этого объема наличие пульсаций давления вообще не сказывается. Кроме того, вклад пульсаций давления в плотность потока турбулентной энергии, как правило, весьма невелик. Так, например, в ч. 2 этой книги будет показано, что в случае изотропной турбулентности имеет тот же порядок, что и следовательно, где характерная величина пульсационной скорости. Поэтому относительная роль переноса турбулентной энергии пульсациями давления по сравнению с переносом турбулентной энергии осредненным течением жидкости здесь определяется значением отношения где характерная величина средней скорости. Параметр («уровень турбулентности») в большинстве реальных турбулентных течений принимает значения порядка такой же порядок будет иметь и относительная величина вклада пульсаций давления в полный поток энергии в случае изотропной или слабо анизотропной турбулентности. Поэтому в уравнении баланса турбулентной энергии пульсациями давления во многих случаях можно просто пренебречь. Тем не менее, эти пульсации играют в турбулентном потоке весьма существенную роль. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим величины (по 1 не суммировать!), имеющие смысл средних плотностей кинетической энергии пульсационных движений в направлениях отдельных координатных осей. Уравнения (6.8) для этих величин в предположении, что могут быть приведены к виду

где величина очевидно, может быть интерпретирована как «диссипация» энергии

Рассмотрим теперь для наглядности случай, когда осредненное движение параллельно направлению (так что

и турбулентность однородна в направлениях осей что все осредненные характеристики турбулентности могут зависеть лишь от координаты ). Воспользовавшись уравнением неразрывности мы можем в этом случае переписать уравнения (6.18) в виде

Уравнения (6.19) показывают, что величины описывают взаимные превращения друг в друга энергии продольных пульсаций и энергий поперечных пульсаций. Кроме того, из этих уравнений видно, что энергия продольных пульсаций может еще как-то поддерживаться за счет энергии среднего течения (этот процесс описывается слагаемым — первого уравнения (6.19)), но что энергия поперечных пульсаций может пополняться только за счет энергии продольных пульсаций. В самом деле, рассматривая стационарный режим I т. е. считая, что и проинтегрировав все уравнения (6.19) по области пространства V, через границу которой нет потока турбулентной энергии, мы получим соотношения

Таким образом, энергия осредненного движения, действительно, передается непосредственно только продольным пульсациям

а поперечные пульсации и получают энергию от продольных пульсаций скорости благодаря работе пульсаций давления. Последние, следовательно, осуществляют перераспределение энергии между пульсационными движениями различных направлений, создавая тенденцию к изотропности пульсационного движений.

Чтобы получить наглядное представление о механизме передачи энергии от продольных пульсаций скорости к поперечным, заметим, что отрицательный знак величины означает наличие положительной корреляции между положительными (отрицательными) пульсациями давления и конвергенцией (дивергенцией) продольной пульсационной скорости. Другими словами, это значит, что конвергенция приводит преимущественно к положительным, а дивергенция — к отрицательным пульсациям давления; в то же время положительные пульсации давления создают преимущественно дивергенцию, а отрицательные — конвергенцию поперечных пульсаций Но так и должно быть: если, например, два соседних элемента жидкости движутся вдоль осредненного течения навстречу друг другу, то естественно, что в области между ними образуется (за счет их энергии) положительная пульсация давления и что этот рост давления приведет к оттоку жидкости в поперечных направлениях в соответствии, с условием несжимаемости Вообще, если так что основную роль играют пульсации скорости вдоль оси то даже и при отсутствии средней скорости знак пульсации давления будет в основном определяться тем, происходит ли сближение или расхождение соседних элементов жидкости в направлении следовательно, величина здесь будет отрицательной и пульсации давления будут стремиться уравнять энергии различных компонент пульсационной скорости (ср. работу Бэтчелора (1949а), где эта роль пульсаций давления была разъяснена на частном примере однородной турбулентности).

Рассмотрим теперь слагаемое , описывающее в уравнении баланса турбулентной энергии обмен энергией между осредненным и пульсационным движением. Если в данной точке пространства то плотность турбулентной энергии в этой точке возрастает за, счет энергии осредненного движения; наоборот, означает, что плотность энергии осредненного движения в данной точке растет за счет энергии пульсаций. Последняя возможность на первый взгляд представляется парадоксальной; однако этот вопрос требует более внимательного анализа.

Уравнение (6.15) показывает, что при течении несжимаемой жидкости в поле массовых сил единственным источником турбулентной энергии внутри объема, через границы которого нет притока турбулентной энергии, может быть лишь трансформация энергии осредненного движения. При этих условиях возникновение и развитие турбулентности или поддержание стационарной турбулентности в указанном объеме возможны лишь при условии, что интеграл от А по всему объему положителен (см., например, (6.20)). С такими условиями мы встречаемся, в частности, при течении несжимаемой жидкости в трубах, каналах и пограничных слоях (при малой «начальной турбулентности» набегающего потока), где прямые измерения величин и показывают даже, что величина А здесь всегда оказывается положительной во всех точках турбулентного потока (в согласии с полуэмпирическими формулами п. 5.8).

Если же турбулентность имеет какие-либо «внешние» источники энергии (например создается искусственным перемешиванием жидкости или, в случае сжимаемой жидкости, образуется в результате появления пульсаций плотности, возникающих под действием притока тепла), то не исключена

возможность превращения энергии турбулентности в энергию осредненного движения, т. е. выполнения неравенства Именно так обстоит дело в случае атмосферной турбулентности в масштабах общей циркуляции атмосферы. В этом случае под турбулентностью надо понимать так называемую макротурбулентность — совокупность нерегулярных крупномасштабных движений типа циклонов и антициклонов, налагающихся на регулярное Течение общей циркуляции; идея статистического описания такой макротурбулентности была впервые выдвинута Дефантом (1921). В условиях общей циркуляции отдельные «турбулентные возмущения» (циклоны и антициклоны) вполне могут возникать за счет энергии, вносимой локальным притоком тепла, причем в дальнейшем некоторая часть энергии этих возмущений может передаваться также и осредненному течению общей циркуляции. Геофизики, изучавшие эмпирические данные о балансе энергии, импульса и момента количества движения течений общей циркуляции атмосферы, сравнительно давно уже пришли к выводу, что данные наблюдений невозможно объяснить без допущения о превращениях в некоторых областях атмосферы энергии нерегулярных возмущений в энергию осредненного течения (см., например, обзорную статью Россби (1948)). Возможность таких превращений энергии была затем проанализирована и теоретически; см., например, работу Е. Лоренца (1953), в которой установлены условия, определяющие знак величины А. Заметим, наконец, что для течений, образующих общую циркуляцию атмосферы, фактические значения величины А непосредственно подсчитывались рядом авторов на основании формулы (6.16) по данным метеорологических наблюдений, причем в ряде случаев действительно оказывалось, что по этому поводу см., например, работы Монина (1956в) и Груза (1961), содержащие обширную дополнительную библиографию.