ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

§ 3. МЕТОДЫ ОСРЕДНЕНИЯ. ПОЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КАК СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ

3.1. Практические методы осреднения и условия Рейнольдса

Как мы уже говорили выше, характерной особенностью тех движений жидкости (или газа), которые называются турбулентными, является наличие беспорядочных флюктуаций гидродинамических характеристик потока, В результате как зависимость мгновенных значений гидродинамических полей от пространственных координат, так и временной ход этих значений приобретают очень сложный и запутанный характер, причем при многократном осуществлении потока в одинаковых условиях точные значения всех полей каждый раз оказываются иными. Вернемся снова к рис. 1, на котором представлены образцы кривых, выражающих зависимость некоторых гидродинамических величин в турбулентном потоке от времени. Мы видим, что все эти кривые состоят из совокупности пульсаций разнообразных периодов и амплитуд, налагающихся друг на друга без какой-либо заметной закономерности. Аналогично выглядят и распределения мгновенных значений гидродинамических элементов в пространстве: они представляют собой беспорядочную совокупность трехмерных пульсаций различной амплитуды, длины волны и ориентации. В силу крайней неупорядоченности и резкой изменчивости во времени и в пространстве полей всех гидродинамических величин при изучении турбулентности необходимо использовать какие-либо методы осреднения, позволяющие перейти от исходных гидродинамических полей к более плавным и регулярным средним значениям характеристик потока, которые можно исследовать с помощью 1 обычных методов математического анализа.

Вопрос о правилах вычисления средних значеций является тонким вопросом теории турбулентности, имеющим большую историю. На практике при определении среднего значения чаще всего пользуются временным или пространственным осреднением по какому-либо промежутку времени или области пространства. Можно также рассматривать более общее пространственно-временное осреднение функций задаваемое формулой

где черта сверху служит символом осреднения, а - некоторая весовая функция (чаще всего неотрицательная), удовлетворяющая условию нормировки

Если функция а) равна нулю вне некоторой четырехмерной области и принимает постоянное значение внутри нее, то (3.1) обращается в простое осреднение по заданной пространственно-временной области. Полагая же или где буквой обозначена функция Дирака, а и - функции, имеющие постоянное значение на некотором параллелепипеде или отрезке и равные нулю вне его, мы придем к пространственному или соответственно временному осреднению. Ясно, однако, что среднее значение (3.1), вообще говоря, будет зависеть от вида весовой функции и (в частности, при использовании осреднения по некоторому интервалу времени или области пространства оно будет зависеть от длины интервала или формы и объема области). Таким образом, формула (3.1) приводит к множеству различных «средних значений», и надо еще выяснить, какое из них является «наилучшим».

При выборе какого-либо определенного «правила осреднения» прежде всего следует четко сформулировать общие требования, которые целесообразно предъявлять к этому правилу. С точки зрения теории турбулентности важнейшим из таких общих требований, очевидно, является требование, чтобы применение рассматриваемого осреднения к дифференциальным уравнениям гидродинамики позволяло получить достаточно простые уравнения относительно средних значений

гидродинамических полей. Это хорошо понимал уже основоположник теории турбулентности О. Рейнольдс, который сам использовал лишь простейшее осреднение по некоторому временному интервалу, но одновременно указал и естественные общие условия, которым должно удовлетворять любое осреднение, применяемое в гидродинамике. На самом деле, правда, не все нужные общие условия были аккуратно выписаны Рейнольдсом (1894); но, слегка уточнив его рассуждения, легко прийти к выводу, что следует требовать выполнения следующих пяти соотношений:

В настоящее время условия обычно называются условиями Рейнольдса.

Условие (3.6) можно также заменить более общим условием перестановочности операций осреднения и предельного перехода

Полагая в (3.7) последовательно (штрихом у нас всегда будет обозначаться пульсация соответствующей величины, т. е. ее отклонение от своего среднего значения) и используя также (3.5) и (3.3), мы получаем следующие важные следствия из условий Рейнольдса:

Ясно, что условия (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) или (3.6) будут выполняться при любом осреднении (3.1) с произвольной весовой функцией и, удовлетворяющей (3.2). Иначе обстоит дело с наиболее сложным условием (3.7). Так, например, если пользоваться временным или пространственным осреднением по некоторому интервалу, то можно показать, что, строго говоря, ни при каком выборе интервала осреднения это условие не будет точно выполняться. Нетрудно, однако, привести соображения в пользу того, что интервал осреднения можно выбрать так, чтобы это условие приближенно выполнялось со

сравнительно большой степенью точности: для этого надо только, чтобы интервал осреднения был велик по сравнению с характерными периодами пульсационного поля но был мал по сравнению с периодами осредненного поля например, Кочин, Кибель, Розе (1963), ч. 2, стр. 689—690). Подобного рода соображениями и ограничился в свое время Рейнольдс; в настоящее время, однако, эти качественные соображения вряд ли могут быть признаны вполне убедительными.

Возможность выбора интервала осреднения, промежуточного между периодами пульсацнониого и осредненного движения, предполагает заранее, что турбулентное движение может быть разбито на сравнительно плавное и медленно меняющееся «среднее движение» и налагающееся на него крайне нерегулярное «пульсационное движение», причем между областями частот, характерных для того и другого движения, имеется заметный разрыв. Иначе говоря, здесь предполагается, что преобразование Фурье (по времени или по координатам) функции отлично от нуля в некоторой области вблизи нуля и в некоторой далекой от нее области больших частот (или волновых чисел) и равно нулю в промежутке между этими областями. Такая картина более или менее соответствует действительности в случае многих искусственных турбулентных потоков, создаваемых в лаборатории. Однако в случае, например, естественных турбулентных движений в земной атмосфере и океане она вряд ли может быть всегда принята, поскольку атмосферная и морская турбулентность часто имеет широкий непрерывный спектр.

Наиболее последовательное использование представления о том, что среднее значение и пульсация функции отличаются в первую очередь характерными периодами (или длинами волн) состоит в определении среднего значения как части разложения функции в интеграл Фурье, отвечающей интегрированию по области значений соответствующей переменной (частоты или волнового числа), меньших по абсолютной величине некоторого фиксированного числа Легко понять, что в этом случае условия (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) будут выполняться; будут выполняться также и первые два из условий (3.7), следующих из (3.7). Однако общее условие (3.7) здесь, вообще говоря, не будет иметь места; для его выполнения необходимо наложить на рассматриваемые функции некоторые весьма специальные условия, несовместимые с предположением о том, что их преобразования Фурье всюду отличны от нуля (см. по этому поводу подробное исследование Изаксона (1929), а также заметку Кампе де Ферье (1951)).

Отметим еще, что Г. Биркгоф, Кампе де Ферье, Рота и некоторые другие авторы опубликовали ряд работ (ссылки на которые можно найти, например, в обзорной статье Кампе де Ферье (1966) и в статье Рота (1960)), посвященных исследованию общих «операций осреднения», точно удовлетворяющих условиям Рейнольдса (3.3)-(3.7) (или некоторым родственным условиям того же типа) и определенных на различных классах функциональных пространств (т. е. на совокупностях функций, удовлетворяющих тем или иным специальным условиям). Полученные в этих работах результаты позволяют в некоторых случаях дать полное описание (в абстрактных алгебраических терминах) всех таких операций осреднения. Однако все эти исследования имеют формально-математический характер и их результаты не нашли

непосредственного применения в теории турбулентности. Впрочем, это оказывается и ненужным, так как в современной теории турбулентности вопрос о смысле операции осреднения решается совершенно иначе и притом так, что все условия Рейнольдса очевидным образом оказываются точно выполняющимися (но зато возникает совсем новый вопрос о выполнении так называемого условия эргодичности, о котором еще будет речь ниже).