§ 10. ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ

10.1. Постановка задачи об описании турбулентной диффузии

В предыдущем параграфе мы рассматривали движение отдельных «жидких частиц» в турбулентном потоке. При этом под «жидкой частицей» мы понимали просто объем жидкости, настолько малый, что в рамках теории сплошной среды его можно отождествить с точкой, перемещающейся вместе с окружающей жидкостью. Ясно, однако, что полученные выводы можно будет сопоставить с данными наблюдений, лишь если в жидкости имеются выделенные «жидкие частицы», за движением которых можно как-то следить. Поэтому теория, развитая в предыдущем параграфе, может иметь значение лишь тогда, когда в некоторых элементах объема жидкость как-то «отмечена», т. е. обладает какими-то свойствами, отличными от свойств окружающей среды. Это отличие в свойствах чаще всего бывает связано с отличием химического состава, т. е. с наличием в отдельных элементах объема «посторонних веществ», отличных от самой жидкости; однако оно может сводиться, например, и лишь к разнице температуры. В любом случае при наличии «отмеченных» частиц мы будем говорить, что в потоке имеется некоторая примесь, понимая под примесью те части жидкости, которые обладают специальными свойствами, позволяющими следить за их движением.

Если вводить примесь лишь в определенные места турбулентного течения, то в результате ее переноса беспорядочно перемешивающимися струйками, составляющими в своей совокупности такое течение, она быстро распространится на весь занятый жидкостью объем. Это явление, называемое турбулентной диффузией, характерно именно для турбулентных течений; недаром в классических опытах Рейнольдса возникновение турбулентности определялось как раз тем, что при добавлении небольшого количества краски вся жидкость быстро становилась окрашенной. Разумеется, кроме турбулентной диффузии примесь обычно будет участвовать и в молекулярной диффузии, не связанной с турбулентностью, но этот процесс является несравненно более медленным, и поэтому при наличии турбулентности он играет лишь сравнительно небольшую роль. Именно турбулентной диффузией определяются такие всем известные и важные явления, как распространение в атмосфере Земли пыльцы растений, бактерий и вирусов, радиоактивных веществ, вулканической пыли и морской соли, загрязнение воздуха (особенно в городах) дымами и газами, выделяемыми промышленными

предприятиями и транспортом, перенос влаги, испаряемой поверхностью Земли и всевозможными водоемами, рассеяние предметов, плавающих на поверхности водоемов, и т. д. Поэтому неудивительно, что изучению турбулентной диффузии посвящена обширная литература (см., например, книги Саттона (1953), Френкиля и Шеппарда (1959), Паскуила (19626), обзорные статьи Бэтчелора и Таунсенда (1956), Эллисона (1959), Монина (1959в) и др.).

Для возможности принять частицы жидкости, отмеченные наличием примеси, за «жидкие частицы» в смысле § 9 прежде всего необходимо, чтобы примесь была «пассивной» (т. е. не влияла бы на движение среды) и двигалась бы в потоке со скоростью, практически совпадающей с мгновенной скоростью течения в соответствующей точке. Отсюда, в частности, вытекает, что частицы примеси должны быть достаточно мелкими (меньшими по линейным размерам, чем те расстояния, на которых может хоть сколько-нибудь заметно измениться скорость и столь близкими по удельному весу к окружающей среде, чтобы ни гравитационное оседание примеси, ни ее всплывание вверх под действием архимедовой силы не играли бы существенной роли. Разумеется, даже и в этом случае частицы примеси все равно не будут полностью тождественны идеальным «жидким частицам». В самом деле, любая примесь может рассеиваться и в результате молекулярной диффузии или брауновского движения, связанных с тепловым движением молекул среды, в то время как на «жидкие частицы» (представляющие собой фактически «математические точки» непрерывной среды, подчиняющейся уравнениям гидромеханики) молекулярное движение не оказывает никакого влияния. Это обстоятельство (о котором мы еще будем подробнее говорить в п. 10.2) имеет, однвко, лишь второстепенное значение и в большинстве случаев им вполне можно пренебречь.

Если частицы примеси могут наблюдаться по отдельности, то можно, следя за их движением, определить индивидуальную лагранжеву траекторию и затем попытаться подсчитать лагранжевы статистические характеристики турбулентности с помощью осреднения данных, полученных для ряда таких траекторий. Этот метод получил довольно широкое распространение в метеорологии в связи с использованием так называемых уравновешенных шаров-пилотов (вес которых специально подбирается так, чтобы они плавали в воздухе, не поднимаясь и не опускаясь) и воздушных шаров (см., например, книгу Паскуила (19626), в которой можно найти и ряд ссылок на оригинальные работы). Однако полученные таким образом результаты позволяют получить лишь весьма предварительные

оценки лагранжевой корреляционной функции скорости и других лагранжевых характеристик атмосферной турбулентности. Дело в том, что создание точно уравновешенных шаров весьма сложно, а работа с ними очень хлопотлива и трудоемка; кроме того, такие шары всегда имеют довольно большой объем, и поэтому на них не действуют мелкомасштабные возмущения поля скорости, сказывающиеся. на движении идеализированных «жидких частиц».

Как правило, примесь вводится в поток в виде жидкой или газообразной добавки или в виде большого числа мелких твердых частиц. При этом ее обычно можно с полным основанием считать непрерывно распределенной в пространстве и характеризовать эйлеровым полем объемной концентрации (в случае сжимаемой жидкости более удобной характеристикой была бы массовая удельная концентрация но мы здесь будем для простоты рассматривать лишь диффузию в несжимаемой жидкости). Под описанием турбулентной диффузии мы будем понимать статистическое описание поля при заданных начальных и краевых условиях, включающих и задание всех источников примени. Отметим, что при наличии источников поле концентрации примеси будет, вообще говоря, неоднородным, него математическое ожидание — средняя концентрация будет некоторой функцией от Определение этой функции является важнейшей (хотя и не единственной) задачей теории турбулентной диффузии.

При описании турбулентной диффузии можно исходить из того, что в каждой индивидуальной реализации турбулентного потока поле концентрации в областях, не содержащих источников примеси, удовлетворяет уравнению молекулярной диффузии

с заданными краевыми условиями на границах рассматриваемой области пространства. Поскольку примесь пассивна, т. е. поле и не зависит от распределения концентрации уравнение (10.1) линейно относительно Краевые условия, как правило, также линейны относительно обычно они имеют вид

где нормаль к границе, некоторая постоянная. В случае твердых стенок, ограничивающих поток, краевые условия однородны, т. е. при этом стенке полностью поглощающей примесь, соответствует значение стенке, совершенно непроницаемой для примеси, — значение а значения

соответствуют случаю частичного поглощения и частичного отражения примеси на границе. В последние годы в исследованиях В. Феллера, А. Вентцеля и других авторов по общей теории марковских случайных процессов были изучены также и более общие (в определенном смысле — наиболее общие) граничные условия, допускающие возможность временной остановки примеси в момент достижения границы и её диффузии вдоль границы (см., например, Дынкин (1963)). Поскольку, однако, эффекты такого рода вряд ли могут иметь реальное значение при распространении примесей то на соответствующих граничных условиях (которые также линейны) мы не будем задерживаться. В случае неограниченного по каким-то направлениям потока краевые условия на бесконечности обычно берутся в виде требования т. е. опять же имеют вид Мгновенные источники примеси, очевидно, описываются заданием определенных начальных условий для поля непрерывно, же действующим источникам соответствуют неоднородные краевые условия вида (10.2) с (подробйе эти условия для различных типов источников будут рассмотрены ниже).

При однородных краевых условиях эволюция поля рассматриваемой области будет обусловлена исключительно переносом примеси полем скорости и молекулярной диффузией. Поле скорости в принципе однозначно определяется по начальному полю с помощью уравнений гидродинамики. Следовательно, решение уравнения (10.1) при заданном начальном поле концентрации может быть записано в виде

где А — некоторый оператор, зависящий от начального поля скорости параметра и вида краевых условий. Подчеркнем, что вследствие линейности уравнения (10.1) и краевых условий этот оператор линеен.

При статистическом описании турбулентности начальное поле скорости рассматривается как случайное, т. е. предполагается, что ему соответствует некоторое распределение вероятностей в функциональном пространстве его реализаций (всевозможных соленоидальных векторных полей). Но в таком случае и оператор зависящий от случайного поля будет случайным оператором, характеризуемым некоторым распределением вероятностей в пространстве линейных операторов, могущих являться реализациями оператора Следовательно, при фиксированном поле концентрации

при будет случайным, (так как оно зависит от А, т. е. от При этом среднее значение поля будет определяться равенством

где оператор получается из случайного оператора с помощью теоретико-вероятностного осреднения (т. е. интегрирования по вероятностной мере, заданной в пространстве полей Поскольку операторы линейны при любом и осреднение является линейной операцией, то результирующий осредненный оператор также линеен. Таким образом, при фиксированном начальном поле концентрации осредненная концентрация удовлетворяет некоторому линейному уравнению. Для корреляционной функции и для моментов более высокого порядка случайного поля помощью (10.3) также можно полупить некоторые уравнения; однако эти уравнения будут уже нелинейными и гораздо более сложными, и они рассматриваются редко. Большинство существующих методов описания турбулентной диффузии сводится к конструированию лишь линейного уравнения для средней концентрации или, что эквивалентно, к нахождению (теоретическому, полуэмпирическому или чисто эмпирическому) линейного оператора

В частном случае, когда допускается, что при определении осредненной концентрации можно пренебречь молекулярной диффузией по сравнению с турбулентной (условия, при которых законно это допущение, будут рассмотрены в следующем пункте), оператор может быть представлен в значительно более конкретном виде, чем это делалось выше. В самом деле, рассмотрим прежде всего случай, когда в начальный момент времени вся примесь (в количестве сосредоточена в одной «жидкой частице», находящейся в точке х. В таком случае, очевидно, Но поскольку молекулярной диффузией пренебрегается, примесь все время будет оставаться в той же жидкой частице, что и вначале, т. е. в момент она будет находиться в точке Следовательно, в рассматриваемом случае Учитывая, что

- это плотность вероятности для координат указанной «жидкой частицы» в момент получим . В силу линейности оператора при произвольном начальном поле мы можем теперь воспользоваться принципом

суперпозиции; отсюда вытекает, что

Таким образом, нахождение осредненной концентрации в пренебрежении молекулярной диффузией сводится к определению плотности вероятности для координаты одной «жидкой частицы». Заметим, что саму функцию в силу (10.5) можно интерпретировать как поле концентрации примеси при наличии в начальный момент в точке х мгновенного точечного источника примеси (единичной концентрации). Отсюда вытекает возможность эмпирического определения по данным диффузионных опытов, о которой мы упоминали на стр. 473.

Зная оператор т. е. умея вычислить поле средней концентрации отвечающее заданному начальному полю легко определить и среднюю концентрацию, отвечающую различным типам йсточников примеси, встречающимся на практике. Рассмотрим, например, снова случай «чисто турбулентной» диффузии, определяемой формулой (10.5), причем поле скорости для простоты будем предполагать стационарным (что соответствует установившейся турбулентности). В таком случае плотность вероятности для координат «жидкой частицы» в момент при условии, что в момент она находилась в точке х, удобно обозначить символом тогда функция в отличие от уже не будет зависеть от параметра При этом средняя концентрация от мгновенного точечного источника производительности (т. е. создавшего единиц массы примеси) будет равна . В случае непрерывно действующего стационарного точечного источника в точке X производительности (т. е. создающего единиц массы примеси за единицу времени) средняя концентрация очевидно, не будет зависеть от времени и будет даваться формулой

На практике довольно часто приходится также иметь дело с диффузией в потоке, имеющем постоянную среднюю скорость направленную вдоль оси в таком случае удобно сначала перейди к системе координат, движущейся вместе со средним течением. При этом средняя концентрация от непрерывно действующего стационарного точечного источника в точке х

принимает вид

где плотность вероятности для координат жидкой частицы при отсутствии средней скорости. В случае линейного источника, расположенного вдоль оси средняя концентрация получается интегрированием по концентрации от точечного источника в точке (. Отсюда вытекает, что в случае установившейся турбулентности, однородной по направлению оси и при наличии средней скорости потока по направлению оси средняя концентрация от мгновенного линейного источника на оси будет иметь вид

Здесь это количество примеси, внесенное в поток на интервале оси единичной длины (это количество мы считаем постоянным, т. е. не зависящим от двумерная плотность вероятности для координат «жидкой частицы» в момент (при условии, что в момент находилась в точке в потоке с нулевой средней скоростью. Точно так же в случае не прерывно действующего стационарного линейного источника на оси производительности (т. е. производящего единиц массы примеси за единицу времени на каждую единицу длины) средняя концентрация равна

С помощью формул для моментов координат «жидкой частицы», приведенных в предыдущем параграфе, мы можем теперь выразить через лагранжевы характеристики турбулентности величины и некоторые другие того же типа. С другой стороны, эти величины можно определить и по найденной из диффузионных

экспериментов средней концентрации что дает возможность получить определенные эмпирические сведения о лагранжевых характеристиках. Рассмотрим в качестве иллюстрации простейший случай непрерывно действующего линейного источника на оси в потоке со средней скоростью V, намного превосходящей типичные значения пульсаций скорости. В этом случае основной вклад в интеграл по в правой части (10.8) внесут значения близкие к Поэтому здесь с большой степенью точности можно положить

где одномерная плотность вероятности для координаты «жидкой частицы». В силу формулы Тэйлора (9.31) отсюда, в частности, вытекает, что при однородной турбулентности

где, как и в § 9, . Следовательно, средняя толщина следа за стационарным линейным источником примеси (которую естественно отождествить с на малых расстояниях от источника возрастает пропорцнонально этому расстоянию (так как при на больших — пропорционально квадратному корню из расстояния (так как при

Это обстоятельство хорошо подтверждается данными диффузионных экспериментов Калннске и Пиена (1944), Уберои и Корсина (1953), Таунсенда (1954) и других исследователей. Аналогично показывается, что в тех же условиях след за точечным стационарным источником должен вначале иметь форму конуса, а затем — параболоида вращения. Этот факт также уже давно был известен и из лабораторных экспериментов, и из

наблюдений за дымовыми струями, выходящими при сильном ветре из фабричных труб (ср. Тэйлор (1921)).

Согласно формуле (10.10),

так что в принципе по эмпирическим значениям можно определить и функцию На самом деле, однако, точность такого определения оказывается крайне низкой, так как при этом приходится дважды дифференцировать экспериментальную кривую, на практике всегда определяемую довольно ненадежно. Тем не менее, некоторые авторы (в том числе Тэйлор (19356) и Коллнс (1948)) пробовали получить таким образом хотя бы ориентировочные значения лагранжевой корреляционной функции скорости. Другие исследователи (например, Калннске и Пнен (1944), Уберон и Корсин (1953), Майкельсен (1955), Хэй и Паскуил (1959)) использовали измерения величины (в следе за линейным или точечным стационарным источником), в первую очередь, для получения более частной информации о лагранжевых статистических характеристиках и прежде всего данных о величине лагранжевого масштаба времени . В частности, Хэй и Паскунл измеряли (с помощью специальных коллекторов, представляющих собой небольшие липкие цилиндры) распределение примеси (которой в опытах являлись споры лнкоподня) вблнзн Землн на расстоянии от помещенного в атмосферу непрерывного точечного источника. Одновременно эти исследователи регистрировали изменения скорости и направления ветра в фиксированной точке вблнзн источника (на высоте над поверхностью Землн), что позволило им определить эйлерову временную корреляционную функцию скорости ветра. Предположив, что эйлерова и лагранжева корреляционные функции поперечной компоненты скорости ветра подобны друг другу (см. формулу (9.82) на стр. 503), и использовав формулу Тэйлора (9.31), они смогли оценить по экспериментальным данным велйчнну коэффициента пропорциональности именно так было получено значение упоминавшееся на стр. 503. Калннске и Пнен (1944) и Уберои и Корсин (1953) измерили в лабораторных условиях значения функции в следе за линейным стационарным источником, оценили по ней масштаб Т и некоторые другие

параметры функции и затем использовали эти оценки для уточнения значений найденных по формуле (10.11); однако и в этом случае ход функции определялся ненадежно. Заметим еще, что в большинстве упоминавшихся опытов измерения относились к случаю диффузии тепла (работы Тэйлора, Коллиса, Уберои и Корсииа) или постороннего газа (работа Майкельсена) в воздухе, так что пренебрежение молекулярной диффузией здесь требовало специального обоснования (отсутствующего во всех этих работах). В опытах же Калинске и Пиена, в которых изучалась диффузия в воде мелкйх капелек жидкой примеси (того же удельного веса, что и вода), молекулярная диффузия вряд ли могла проявляться, но предположение об однородности турбулентности оказывалось, по-видимому, не очень точным.

Как мы уже указывали в п. 9.3, в случае однородной турбулентности есть веские основания предполагать, что распределение вероятностей для координат «жидкой частицы» при любых временах диффузии будет довольно близким к гауссовскому распределению. Иначе говоря, если мы примем за оси координат главные направления тензора дисперсии координат жидкой частицы то при любом допустимо считать, что

где величины выражаются с помощью формулы (9.31) через лагранжевы коэффициенты корреляции Подставляя эту формулу в общие соотношения (10.5) — (10.9) (в предположении, во многих случаях вполне оправданном, что направление средней скорости совпадает с одним из главных направлений тензора можно значительно конкретизировать эти выражения, исследовать их асимптотическое поведение в различных предельных случаях, получить для некоторых из них более простые приближенные формулы и провести детальные расчеты для отдельных модельных примеров функций (Френкиль (1952, 1953), Флейшмен и Френкиль (1954); ср. также Хинце (1959), § 5.5 и начало п. 10.4 настоящей книги),

В ряде случаев примесь можно рассматривать не только как непрерывно распределенную в пространстве субстанцию, но и как совокупность дискретных частиц, причем иногда это последнее рассмотрение даже оказывается в некоторых отношениях более удобным, Несмотря на то, что в дальнейшем мы

ие будем пользоваться таким рассмотрением, призедем здесь все же для полноты некоторые результаты, касающиеся математического описания поля дискретной примеси. Обозначим общее число частиц примеси через а их суммарную массу примем за единицу. Будем считать все частицы не отличающимися друг от друга и статистически равноправными в том смысле, что при любом любых пространственных областях и любых различных номерах вероятность где означает, что точка X принадлежит области V, не зависит от номеров в частности, вытекает, что все случайные векторы являются одинаково распределенными и что является симметричной функцией от областей

Полной характеристикой распределения дискретной примеси в фиксированный момент времени будет случайная функция области значение которой равно массе примесн, содержащейся в данный момент в пространственной области Эта случайная функция играет здесь ту же роль, что и случайное поле в применении к непрерывно распределенной примеси (точнее говоря, является аналогом величины функция , очевидно, является аддитивной функцией области в том смысле, что Вместо многомерных распределений вероятностей, определяющих случайное поле теперь выступают вероятности

заданные для всевозможных конечных наборов пространственных областей В дальнейшем мы будем для простоты рассматривать Лишь вероятности (10.13) для непересекающихся между собой областей Отметим, что в частном случае независимых статистически равноправных частиц примеси распределение (10.13) вырождается в так называемое полиномиальное распределение

где

Таким образом, в случае независимых частиц функция полностью задается значением вероятности для всех областей В общем же случае зависимых статистически равноправных частиц распределение (10.13) будет представлять собой некоторое обобщение полиномиального распределения; для его задания уже надо знать все вероятности

Можно показать, что произвольный момент случайных величии выражается через вероятности (10.14) с помощью формулы

где порядок момента, а — так называемые числа Стирлинга, отличные от нуля лишь при и удовлетворяющие разностному уравнению краевых условиях Отсюда, и частности, следует, что момент -го порядка случайной функции полностью определяется совместным распределением вероятностей для координат от частиц, т. е., иначе говоря, что вероятности определяют случайную функцию с точностью до моментов порядка.

При из (10.15) получается формула

аналогичная формуле (10.5) (точнее говоря, формуле, получающейся из (10.5) после интегрирования обеих ее частей по области V переменного При из (10.15) и (10.16) получаем

Первая из этих формул показывает, что при наличии связей между частицами (т. е. при флюктуации количества примеси в фиксированном объеме V не убывают неограниченно (по своей средней квадратичной величине), даже когда Иначе говоря, в случае взаимозависимых частиц даже при очень большом числе частиц зиачеийя оказываются заметно различными для разных реализаций. Формула (10.18) показывает, что, кроме того, в таком случае флюктуации количества примеси в различных (непересекающихся) объемах оказываются взаимно коррелированными. Заметим, что взаимная зависимость между частицами как раз и характерна для процесса турбулентной диффузии, где движения частиц, находящихся на не слишком большом расстоянии друг от друга, определяются в значительной степени одними и теми же возмущениями поля скорости, статистически связаны друг с другом. Поэтому при турбулентной диффузии концентрации примеси в каждом объеме заметно флюктуируют и для близких иепересекающихся) объемои оказываются зависимыми друг от друга при любом и даже при именно этот последний случай и описывается моделью непрерывно распределенной примеси с концентрацией иепрёрывио зависящей от