5.4. Влияние неровностей стенки; параметр шероховатости и высота вытеснения

Перейдем теперь к рассмотрению турбулентного течения около шероховатой стенки с неровностями высоты не малой по сравнению с В этом случае профиль средней скорости будет описываться формулой (5.15), содержащей универсальную функцию зависящую от целого ряда параметров. Так как функции многих переменных обычно бывают мало удобны для практических применений, то может показаться, что использование соображений размерности в данном случае не очень плодотворно. На самом деле, однако, дело обстоит вовсе не так плохо.

Будем считать, что и рассмотрим опять отдельно случаи малых и больших значений При малых сравнимых с длиной следует ожидать, что средняя скорость будет существенно зависеть от формы и взаимного расположения неровностей стенки и будет различной над вершинами бугров и над впадинами между ними, так что здесь действительно нельзя надеяться на нахождение каких-то простых общих закономерностей. Во многих случаях, однако, основной интерес представляет распределение средней скорости не слишком близко к стенке на расстояниях больших и по сравнению с динамической длинои и по сравнению со средней высотой неровностей стенки. Естественно думать, что на таких расстояниях от стенки ни вязкость, ни локальные свойства поверхности стенки уже не будут сказываться: существенным здесь будет лишь наличие постоянного потока импульса вдоль отрицательного направления оси со «стоком» на плоскости Поэтому оба вывода формулы (5.22), приведенные на стр. 230—231, в применении к потоку в полупространстве, ограниченном гладкой стенкой, при полностью сохраняют силу и в случае шероховатой стенки. Следовательно,

Так как постоянная в (5.22а) задает значение градиента средней скорости, отвечающего заданному потоку импульса то она и в случае шероховатой стенки должна иметь то же значение что и в случае гладкой стенки. Что же касается коэффициента то он определяется граничным условием на нижней границе области применимости формулы (5.22а); следовательно, он зависит от закона изменения средней скорости в непосредственной окрестности стенки, существенно различающегося для гладких и шероховатых стенок. Заметим, что начало отсчета расстояний z при может быть произвольно выбрано между основаниями и вершинами бугорков стенки без заметного изменения результатов; практически оно обычно выбирается из условия наилучшего совпадения наблюденного профиля с логарифмической формулой (5.22а) (см. по этому поводу ниже стр. 248).

Формула (5.22а) для. профиля скорости над шероховатой стенкой может быть несколькими различными способами переписана в безразмерной форме. Можно, разумеется, воспользоваться записью (5.25), применявшейся в случае гладкой стенки, т. е. положить

Однако при этом коэффициент В теперь уже не будет универсальной постоянной, а будет зависеть от безразмерных параметров, определяющих размер, форму и расположение неровностей стенки: Кроме того, запись формулы (5.22а) в виде (5.25а) хоть и удобна для сопоставления профилей средней скорости около гладких и шероховатых стенок, но мало естественна (во всяком случае, при В самом деле, правая часть (5.25а) содержит в то время как можно ожидать, что при профиль средней скорости (а следовательно, и значение коэффициента вообще не будет зависеть от вязкости, а будет определяться лишь размерами и формой неровностей стенки (полностью определяющими характер течения в самом нижнем слое). Поэтому при целесообразнее представить профиль средней скорости в виде

При этом уже можно ожидать, что при достаточно большом значение коэффициента не будет меняться

при изменении параметра содержащего вязкость v (т. е. будет функцией лишь от параметров описывающих форму и взаимное расположение неровностей). Наконец, можно еще попытаться выразить постоянную в формуле (5.22а) непосредственно через характеристики трения жидкости о стенку, зависящего неизвестным нам образом от геометрических свойств стенки. В качестве безразмерной характеристики трения обычно принимается коэффициент сопротивления трения

где характерная скорость потока. Однако в рассматриваемом случае идеализированного течения в безграничном полупространстве характерная скорость отсутствует, так что здесь речь может идти лишь о зависящем от высоты (и поэтому мало удобном) безразмерном коэффициенте Но если мы подставим значение в формулу (5.22), то получим следующий закон изменения с высотой:

Отсюда видно, что в пределах логарифмического пограничного слоя

Таким образом, величина

имеющая размерность длины, уже не зависит от Эта величина является объективной характеристикой динамического взаимодействия потока со стенкой (существенно зависящего от неровностей стенки); ее называют параметром шероховатости, динамической шероховатостью или даже просто шероховатостью. Подставляя теперь формулу

в равенство получим

следовательно, Согласно (5.31), параметр шероховатости можно также определить как ту высоту, на которой средняя скорость потока обратилась бы в нуль, если бы логарифмическая формула для к была применима вплоть до этой высоты (на самом деле, разумеется, логарифмическая формула перестает действовать уже при значительно больших значениях Z).

Для выяснения зависимости величин от высоты бугорков стенки надо иметь данные опытов, в которых изменялся бы только размер, но не форма и не взаимное расположение этих бугорков. Очень тщательные опыты такого рода были произведены Никурадзе (1933) в круглых трубах, стенки которых были обклеены песчинками заданного размера (меняющегося от опыта к Опыту), по возможности тесно примыкающими одна к другой. Полученная в. этих опытах зависимость коэффициента В в формуле (5.28) от показана на рис. 28 (светлые и темные точки здесь соответствуют двум разным способам определения В, первый из которых опирался на непосредственное сравнение наблюденного распределения скорости с формулой (5.28), а второй будет описан на стр 255). Мы видим, что для однородной песочной шероховатости при (где десятичный логарифм), т. е. при 4, имеет место формула вида

Таким образом, при профиль скорости вовсе не зависит от т. е. стенка может рассматриваться как динамически гладкая (заметим, что при таких бугорки стенки будут полностью погружены в вязкий подслой; этим, очевидно, и объясняется то, что здесь они никак не влияют на течение в области логарифмического пограничного слоя). При т. е. при имеет место промежуточный режим,

при котором вершины бугорков выступают из вязкого подслоя и создают дополнительные возмущения, приводящие к тому, что оба коэффициента В и В как-то зависят от стенку в этом случае следует считать динамически слегка шероховатой.

Рис. 28. Зависимость коэффициента В от по данным Никурадзе (1933).

Наконец, при т. е. при вязкий подслой практически перестает существовать, и течение в непосредственной близости от стенки целиком состоит из совокупности вихрей, возникающих при обтекании отдельных бугорков; здесь распределение средней скорости оказывается не зависящим от коэффициента вязкости и постоянным оказывается коэффициент (а именно, согласно данным рис. 28). В этом последнем случае стенку можно назвать динамически вполне шероховатой. Разумеется, будет ли стенка динамически гладкой, слегка шероховатой или вполне шероховатой, зависит не только от характера ее поверхности, но и от величин (т. е. в конечном счете от числа Рейнольдса течения). Значения трех параметров для динамически гладкой и динамически вполне шероховатой стенок по данным Никурадзе (относящимся лишь к однородной песочной шероховатости)

оказываются равными:

Имея достаточно полные данные о логарифмическом пограничном слое около стенки, покрытой песочной шероховатостью, можно сопоставить шероховатости любого другого типа высоту эквивалентной песочной шероховатости (которой при одинаковом то отвечает тот же логарифмический профиль средней скорости). Для ряда искусственных динамически вполне шероховатых поверхностей, покрытых геометрически правильными неоднородностями, эта высота была экспериментально определена Шлихтингом (1936) (см. также Шлихтинг (1951), гл. XX, § 7). В книге Шлихтинга (1951) можно найти также дополнительные данные и библиографические указания, относящиеся к вопросу о высоте эквивалентной песочной шероховатости как для искусственных шероховатых поверхностей, так и для ряда обычных применяющихся в технике поверхностей (бетонных, чугунных, стальных и т. д.), оказывающихся во многих случаях динамически вполне шероховатыми.

Другой способ описания логарифмических профилей около стенок с различной шероховатостью состоит в указании соответствующего уменьшения средней скорости по сравнению с течением над гладкой стенкой при том же напряжении трения Наличие неровностей всегда приводит к сглаживанию профиля скорости в непосредственной близости от стенки, т. е. замедляет нарастание средней скорости при очень малых значениях Поэтому в случае шероховатой стенки значение скорости на нижней границе логарифмического пограничного слоя (а следовательно, и во всем этом слое) оказывается меньше, чем в случае гладкой стенки. Используя формулы (5.25) и (5.28), мы можем написать

где Отсюда видно, что не зависит от и что для динамически вполне шероховатой стенки эта величина при изменении будет линейно зависеть от При переходе же к слегка шероховатым стенкам

зависимость величины от меняет свои вид, и при значениях при которых стенка становится динамически гладкой, разность становится равной нулю. Значительное число эмпирических данных о (т. е. о значениях коэффициента В) для различных типов шероховатости, найденных по результатам измерений в пограничных слоях на пластинках, было собрано Хама (1954) (см. также Клаузер и Робертсоном (1957).

Рис. 29. Влияние шероховатости стенки на относительное уменьшение средней скорости (по Клаузеру (1956)). Разными значками на рисунке отмечены данные, относящиеся к разным типам шероховатости. Пунктирная линия соответствует данным для однородной песочной шероховатости.

На рис. 29, заимствованном Клаузера (1956), представлены полученные значения Мы видим, что при достаточно больших значениях величина для всех типов шероховатости действительно оказывается линейно зависящей от что соответствует постоянству коэффициента

В (т. е. случаю вполне шероховатой поверхности). Однако переход к промежуточному режиму (проявляющийся в отклонении зависимости от от простой линеиной зависимости) для разных типов шероховатости происходит при различных значениях (согласно данным рис. 29, обычно заключающихся между 30 и 100); кроме того, и характер зависимости — от — для слегка шероховатых поверхностей разных типов оказывается совершенно различным. Заметим еще, что рис. 29 позволяет также для любой представленной на нем шероховатости легко определить и высоту эквивалентной песочной шероховатости, т. е. такой песочной шероховатости, которой отвечает то же самое значение Для вполне шероховатых стенок (и только для них) высота очевидно, будет пропорциональна высоте поэтому и параметр шероховатости здесь будет пропорцйонален

Выше уже указывалось, что логарифмическая зависимость средней скорости от высоты должна иметь место также и для. скорости ветра в нижнем слое атмосферы (толщиной порядка при нейтральной (или близкой к нейтральной) термической стратификации (это обстоятельство, по-видимому, впервые было отмечено Прандтлем (1932а)). То, что дело именно так обстоит в действительности, было еще в 30-х годах подтверждено на обширном эмпирическом материале Свердрупом (19.36), Пешке (1936) и другими исследователями. Позже подобные измерения многократно повторялись, причем выводы всегда оказывались одними и теми же (см., например, обсуждение этого вопроса в книгах Саттона (1953) и Пристли (1959а)). В ряде случаев наблюдения над профилем ветра сопровождались также и измерением напряжения трения то при помощи предложенного Шеппардом (1947) динамометрического метода, основанного на непосредственном определении силы трения, действующей на выделенный небольшой участок подстилающей поверхности, или же при помощи независимо разработанного в СССР (см. Кречмер (1954)) и в Австралии (Суинбенк (1951а, 1955)) пульсационного метода, опирающегося на представление величины в виде (5.6) (подробнее об этом см. в п. 8.3). Поскольку по наклону логарифмического профиля можно определить величину у (считая, что значения.

известны из лабораторных экспериментов) независимое измерение то позволяет значительно более надежно проверить логарифмическую формулу (5.31), чем это можно сделать на основе одних только наблюдений над изменением скорости ветра с высотой. Следует только иметь в виду, что из-за сложности непосредственного измерения величины то точность каждого отдельного измерения такого рода пока еще остается не очень высокой; поэтому достаточно убедительные результаты здесь удается получить лишь на основе обработки значительного эмпирического материала. При наличии же такой обработки высокая корреляция значений определенных по профилю ветра и по данным измерений величины то, обнаруживается, без труда (см., например, Перепелкина (1957)).

Все методы определения динамической скорости приводят к выводу, что в атмосфере она обычно заключается между 10 и 100 см/сек. Так как для воздуха то отсюда ясно, что подстилающая поверхность атмосферы почти всегда является динамически вполне шероховатой. Логарифмический профиль скорости ветра удобно представлять в виде (5.31), используя понятие о параметре шероховатости При этом существенно, однако, что в условиях атмосферы довольно часто важную роль играет правильный выбор начала отсчета высот . В самом деле, размеры неровностей почвы, как известно, могут принимать сравнительно большие значения (например, в случае высокой травы или поля, покрытого какой-либо сельскохозяйственной культурой); в то же время увеличение высоты измерений z в атмосфере часто оказывается вовсе не безобидным, ибо с ростом z сильно возрастает роль всегда имеющихся отклонений температурного градиента от равновесного (см. ниже гл. 4). Поэтому имеет смысл специально остановиться на вопросе о виде профиля средней скорости на высотах, лишь на немного превышающих среднюю высоту неровностей почвы (т. е. сравнимых с этой высотой).

При параметр (размерности длины) также будет влиять на осредненное течение; что же касается вязкости то в случае вполне шероховатой стенки ею, как мы знаем, можно пренебречь. Поэтому здесь будет функцией от величин то, из которых уже можно составить безразмерную комбинацию Отсюда вытекает, что вместо формулы (5.21) для градиента средней скорости при будет справедлива

более общая формула

где поправочная функция, описывающая отклонение турбулентного потока от автомодельного режима, характеризуемого логарифмической формулой (5.31). Это отклонение непосредственно связано с влиянием неоднородностей высоты при оно должно перестать сказываться, откуда следует, что Учитывая, что разложим функцию в ряд по степеням ее аргумента; при этом получим

Введем теперь новое начало отсчета высоты , полагая где сравнимо по порядку величины с В таком случае также будет меньше единицы, и мы можем заменить в правой части (5.34) переменную на и вместо разложения по степеням воспользоваться разложением по степеням Легко видеть, что первые члены этого нового разложения будут иметь вид

Выберем теперь , так, чтобы в полученном выражении член первого порядка малости обратился в нуль (т. е. положим Тогда с точностью до членов второго порядка малости получим

откуда

Мы видим, что влияние конечной высоты в первом приближении сводится к тому, что при не слишком малых профиль скорости оказывается логарифмическим при отсчете высот от определенного уровня а не от уровня Высота может быть названа высотой вытеснения (по аналогии с понятием толщины вытеснения, вводимой в теории пограничного слоя).

Данные о значениях параметра шероховатости и высоты вытеснения z, для различных типов естественных поверхностей могут быть найдены во многих источниках (см., например, Пешке (1936), Дикон (1949), Колдер (1949), Константинов (1952), Саттон (1953), Эллисон (1956), Пристли (1959а)). К сожалению, эти данные не очень хорошо согласуются между собой (вероятно, из-за того, что оба параметра и зависят от довольно тонких деталей подстилающей поверхности). Как и должно быть для вполне шероховатых поверхностей, параметр шероховатости определяемый по профилю ветра, обычно можно считать пропорциональным высоте неровностей почвы. Однако и для обычного травяного покрова, и для сельскохозяйственных культур соответствующий множитель пропорциональности оказывается заметно большим множителя 1/30 (отвечающего, по данным Никурадзе, однородной песочной шероховатости) и обычно бывает близок к 1/10 или даже к 1/5 (Пешке, например, рекомендует формулу Высота вытеснения при не слишком высоком травостое вообще может быть принята равной нулю; однако при высокой растительности ее часто приходится считать заключающейся между

Заметим еще, что при высокой травянбй растительности параметр шероховатости может зависеть от средней скорости ветра, сгибающего стебли растений и тем самым воздействующего на форму поверхности. Например, Дикон (1949) нашел, что при высокой траве (около 60 см высоты) параметр может изменяться от 9 см при очень слабом ветре до примерно 4 см при сильном ветре. Аналогично обстоит дело и для водных поверхностей, для которых и высота, и форма неровностей также, очевидно, зависят от скорости ветра. Если считать, что при исследовании ветрового волнения можно пренебречь вязкостью и поверхностным натяжением воды и что шероховатость моря в данной точке его поверхности определяется лишь атмосферными условиями вблизи этой точки (т. е. лишь локальным значением напряжения трения), то из соображений размерности для параметра шероховатости получается формула вида

Здесь ускорение силы тяжести, плотность воздуха), а постоянная может, в частности, зависеть от отношения плотностей воздуха и воды. Имеющиеся наблюдения

профиля скорости ветра над морем пока очень неполны и неточны; тем не менее, они не оставляют впечатления, что соотношение (5.38) хорошо оправдывается на опыте (отметим, например, что Чарнок (19586) и Эллисон (1956), использовавшие, это соотношение, получили резко различные значения по Чарноку в то время как согласно Эллисону В этой связи многие исследователи склонны считать, что на море зависит не только от локальных метеорологических условий например, еще и от разгона ветра, характеризующего путь, проходимый ветром над морем). В то же время все имеющиеся данные указывают на то, что поверхность моря является аэродинамически заметно более гладкой, чем большинство других встречающихся на Земле естественных поверхностей: даже при довольно сильном ветре на море см (по данным ряда авторов морскую поверхность при не очень сильном ветре часто вообще можно считать аэродинамически гладкой; ср. Саттон (1953), Дикон (1962)). Поэтому при изучении ветра над морем понятие параметра шероховатости используется сравнительно редко; чаще же вместо значений здесь приводятся значения коэффициента сопротивления трения отнесенного к скорости на некоторой фиксированной высоте например, Уилсон (1960), Дикон (1962), Дикон и Уэбб (1962)).