7.4. Дальнейшие соображения о виде универсальных функций; интерполяционные и полуэмпирические формулы

Выше был проанализирован общий ход универсальных функций и указаны асимптотические формулы, определяющие поведение этих функций при близких к нулю больших отрицательных и больших положительных значениях аргумента. В ряде случаев, однако, удобно иметь явные формулы, задающие значения перечисленных функций при всех Проще всего такие явные формулы могут быть получены с помощью интерполяции, использующей известные асимптотические закономерности (и учитывающей также имеющиеся эмпирические данные о поведении функций в промежуточных областях умеренных значений Можно также с этой целью использовать какой-либо из вариантов полуэмпирической теории турбулентности, обобщив его на случай

стратифицированной среды, или же просто попытаться подобрать выражения для статистических характеристик турбулентности в такой среде на основе одних только эмпирических данных без всяких ссылок на теорию. Трем указанным подходам к задаче об описании характеристик турбулентности в стратифицированной среде посвящена обширная литература, насчитывающая несколько сотен работ. Здесь мы вкратце остановимся, лишь на некоторых относящихся сюда результатах, основное внимание уделив работам последних лет.

Начнем с рассмотрения поведения функций в области отрицательных значений . Как мы уже отмечали, при малых отрицательных значениях С обе эти функции должны аппроксимироваться логарифмической функцией. При несколько больших по абсолютной величине значениях С можно использовать «логарифмическую линейную» формулу (7.33) или (7.47), а при очень больших отрицательных функции приближаются к постоянным значениям, причем отклонения их от соответствующих постоянных затухают, как

Мы уже упоминали выше, что согласно эмпи рическим данным переход от режима «вынужденной конвекции», описываемого логарифмическими функциями к Режиму «свободной конвекции», которому соответствуют формулы (7.35) и (7.39), происходит весьма быстро, т. е. без заметной промежуточной области (и притом при очень небольшом значении порядка одной десятой или нескольких сотых; см. ниже стр. 419 и 428). В соответствии с этим Казанский и Монин (1958) предположили, что значения функции на всей отрицательной полуоси будут неплохо описываться простейшей интерполяционной формулой

Аналогично этому для можно предложить формулу

где Значения безразмерных коэффициентов и определяющих степень различия функций и должны быть еще уточнены на основании эмпирических данных. Пока можно лишь сказать, что все эти коэффициенты, по-видимому, сравнительно близки к единице (и во многих случаях всех их вполне можно считать равными единице), Что же

касается постоянных входящих в формулу (7.49), то на их значениях мы еще остановимся подробнее в следующем параграфе. В применении к функциям формулы (7.49) - (7.50), очевидно, приводят к соотношениям

и соответственно

где Эти функции, естественно, оказываются разрывными, так как функции (7.49) и (7.50) непрерывны, но не дифференцируемы в точках и соответственно

Несмотря на наличие разрыва производной, функции (7.49) и (7.50) во многих отношениях являются вполне достаточными для описания профилей ветра и температуры в приземном слое при произвольной неустойчивой стратификации. В тех же случаях, когда желательно иметь функцию с непрерывной производной, можно, например, следуя Пристли (1960а), отказаться от определения значений из эмпирических данных, а положить (при этом функции (7.51) и (7.52), разумеется, уже будут непрерывными). Того же можно добиться, если, следуя Казанскому и Монину (1958), сохранить также и линейный член в формулах для и при малых т. е. считать, что, например, при При этом можно выбрать так, чтобы функция хорошо аппроксимировала эмпирические значения при малых затем определить из условия обеспечивающего непрерывность в точке . С другой стороны, следуя методу Пристли (1960а) и считая обе постоянные неопределенными, можно подобрать эти постоянные так, чтобы функция

даже имела в точке непрерывную производную (тогда при всех будет иметь уже две непрерывные производные). Вообще, полагая

мы можем добиться того, чтобы функция (7.54) имела непрерывных производных (и, следовательно, функция имела непрерывную производную). В самом деле, для этого надо только приравнять друг другу значения функций их первых производных в точке а затем определить неизвестных из полученной системы уравнений. Нетрудно получить явныё формулы для решения этой системы уравнений при любом согласно этим формулам, если то но значения коэффициентов все стремятся к конечным значениям

(см. Пристли (1960а)). Предельным значениям (7.55) коэффициентов отвечает бесконечно дифференцируемая (даже аналитическая) предельная интерполяционная функция

Совершенно аналогичные интерполяционные формулы могут быть выписаны и для функции с той только разницей, что коэффициент теперь надо заменить на Таким образом, придавая значения мы получаем бесконечное число интерполяционных формул вида (7.54) для функций При этом оказывается, что все эти интерполяционные формулы (включая и предельную формулу (7.56)) очень мало отличаются друг от друга и практически одинаково хорошо описывают имеющиеся эмпирические данные (характеризуемые значительным разбросом). Для иллюстрации степени близости различных интерполяционных формул друг к другу мы приводим здесь заимствованный из работы Пристли (1960а)

рис. 51, на котором изображен безразмерный поток тепла

(обращающийся в постоянную величину в условиях свободной конвекции), получающийся при использовании для интерполяционной формулы вида (7.54) с и 5.

Рис. 51. Зависимость безразмерного потока тепла от числа Ричардсона Ломаная линия соответствует функции вина (7.52) с пунктирная и сплошная кривые — интерполяционным формулам вида (7.54) для С) с

При расчетах, положенных в основу рис. 51, принималось, что (и вообще (последнее значение соответствует некоторым эмпирическим данным о профилях температуры в атмосфере); по оси абсцисс здесь отложена величина (при выборе вместо нее аргумента расхождение между тремя кривыми было бы еще меньшим). Вообще при расхождение между значениями отвечающими «нулевой» интерполяционной формуле «предельной» формуле (7.56), нигде не превосходит 15%, причем Одизкое к 15% расхождение наблюдается

лишь на коротком интервале значений и оно в основном связано с наличием у кривой (7.51) «угловой точки» Первое же сглаживание с помощью формулы (7.53) сразу приводит к значениям нигде не отличающимся от значений (7.56) , больше чем на 5%. Отсюда ясно, что в приложениях к наблюдениям в атмосфере использование более сложных, чем (7.53), интерполяционных формул вида (7.54) не имеет большого смысла. С этой точки зрения вряд ли достаточно оправданным является также и предложение Уэбба (1960) использовать интерполяционную функцию вида

где коэффициент определяется из эмпирических данных, а и подбираются из условия, чтобы функция (7.57) имела две непрерывные производные в точке (или же находится по данным наблюдений, а и С подбираются из указанного условия).

Интерполяционную формулу другого типа можно получить, если, следуя Эллисону (1957), принять за основу то, что при (т. е. в условиях безразличной стратификации) а при (т. е. в условиях свободной конвекции) (см. (7.38) и , т. е. где а — некоторая постоянная (равная, как легко видеть, Исходя отсюда, можно ожидать, что на всем интервале изменения от нуля и до (т. е. на полуоси зависимость К от будет неплохо описываться формулой вида

дающей правильные результаты в предельных случаях и малых, и больших отрицательных значений Одновременно оказывается, что формула (7.58) при дает асимптотически правильные результаты и в предельном случае очень устойчивой стратификации. В самом деле, из (7.58) видно, что в процессе возрастания числа оно никогда не может превзойти значение и что при (т. е. при в полном соответствии с формулами (7.42). Таким образом, можно надеяться, что, воспользовавшись формулой (7.58), содержащей единственную эмпирическую постоянную а, можно будет приближенно описать профиль средней скорости в турбулентной

стратифицированной среде при любых условиях стратификации. Правда, вообще говоря, трудно рассчитывать, что значение точно совпадает со значением которое приводит к правильному асимптотическому поведению функции в области больших отрицательных значений однако, так как в настоящее время значение известно лишь крайне неточно, то у нас пока нет оснований для использования в формуле (7.58) разных значений о при и при

Формула (7.58) может быть также получена, исходя из простейшей попытки обобщения полуэмпирической теории турбулентности на случай стратифицированной среды. В самом деле, как мы уже видели в п. 6.5 (см. стр. 347), уравнение баланса турбулентной энергии в стратифицированной среде в рамках полуэмпирической теории может быть преобразовано к виду

где соответственным образом определенный «масштаб турбулентности». Если теперь предположить, что т. е. что масштаб турбулентности I, при любой стратификации задается одним и тем же равенством (верным в случае равновесной стратификации), то отсюда сразу следует соотношение (7.58). Именно таким образом это соотношение и было впервые выведено Обуховым (1946), использовавшим его для исследования асимптотического поведения функций в области больших положительных и больших отрицательных значений ?. В последние годы различные методы вывода соотношения (7.58) детально обсуждались рядом авторов (см., например, Ямамото (1959), Пановский (1961а), Пристли (1961), Селлерс (1962), Сионо и Хамуро (1962), Клюг Поскольку, однако, все предложенные выводы используют некоторые произвольные гипотезы, они мало что добавляют к приведенным выше соображениям Эллисона, рассматривавшего соотношение (7.58) просто как интерполяционную формулу для дающую правильные результаты и для больших отрицательных, и для близких к нулю, и для больших положительных значений

Поскольку соотношение (7.58) может быть переписано в виде следующего простого алгебраического уравнения относительно функции

Это уравнение содержит единственную неизвестную постоянную которую можно исключить, введя вместо в качестве

независимой переменной величину где - тогда оно примет вид

Уравнение (7.61) было численно решено Ямамото (1959), а затем также и Клюгом (1963). В работе Ямамото содержится таблица значений функции (хорошо согласующаяся со схематическим рис. 47), приведены несложные аналитические выражения, аппроксимирующие эту функцию на положительной и на отрицательной полуосях, и построены графики зависимости безразмерной скорости ветра от безразмерной высоты при различных значениях параметра определяющего стратификацию, - Позже Сионо и Хамуро (1962) и Окамото (1963) выписали решение уравнения четвертой степени (7.61) в радикалах и, исходя из него, более подробно исследовали форму функции и отвечающих ей профилей скорости ветра. Мы здесь, однако, не будем задерживаться на не представляющем большого интереса детальном изучении решения уравнения (7.61), являющегося лишь одной из возможных интерполяционных формул для функции (и к тому же, по-видимому, не очень точной).

То, что уравнение (7.61) не может быть точным, следует, в частности, из Отмеченного выше факта соответствия этого уравнения физически мало естественному предположению о независимости масштаба турбулентности на высоте z от температурной стратификации. Если же предположить, что

то для получится уравнение

содержащее еще одну неизвестную универсальную функцию (ср. Иокояма (1962б)).

В случае устойчивой стратификации турбулентный обмен затруднен и большие турбулентные образования не могут существовать; поэтому Естественно ожидать, что при положительных масштаб будет убывать с ростом В этой связи Казанский и Монин (1956) предположили, что где а при возрастании от нуля до значения функция монотонно убывает от единицы до нуля. В качестве конкретного примера они рассмотрели случай, когда где некоторое число. При таком выборе уравнение (7.59) обращается в соотношение

(такое соотношение с ранее использовалось Холцменом (1943) в качестве эмпирической формулы для К), Выразив здесь опять через функцию найдем, что (7.64) эквивалентно уравнению

Полагая, что и вводя в качестве параметра величину нетрудно получить из (7.65) следующее параметрическое представление функции

Поскольку в инверсионных условиях второе из соотношений (7.66) показывает, что в этих условиях причем при При малых можио положить где й 1; подставив эту формулу во второе равенство (7.66), найдем, что т. е. Отсюда видно, что произведение должно совпадать с коэффициентом (3 в формуле (7.32). Далее, при больших г) в силу того же второго равенства (7.66) будет выполняться асимптотическое соотношение показывающее, что (ср. (7.43)).

Рис. 52. Зависимость безразмерного коэффициента обмена от безразмерной высоты согласно теории Казанскогои Монина (сплошная линия) и согласно эмпирической формуле Дородницына и др. (пунктир).

Казанский и Монин рассчитали значения для частного случая (в этом случае интеграл в первом равенстве (7.66) выражается через элементарные функции); полученный исходя из этого расчета график зависимости безразмерного коэффициента обмена от безразмерной высоты приведен на рис. 52 вместе с графиком экспоненциальной функции использовавшейся в ряде метеорологических работ (Дородницын (1941), Матвеев (1960) и др.).

Заметим, что аппроксимация (7.64) целесообразна только при положительных значениях Действительно, если попытаться применить ее одновременно и при отрицательных (для неустойчивых стратификаций), то обычные закономерности теории свободной конвекции (7.35) — (7.41) будут получаться при лишь если у — 1/4. Таким образом, при надо пользоваться либо уравнением (7.60) (т. е. заранее принять, что , либо же применять простые интерполяционные формулы вида Исходя из этих формул, можно также уточнить зависимость масштаба турбулентности от стратификации при неустойчивых условиях (уравнение (7.60), как мы знаем, приводит к неправдоподобно простой формуле: В самом деле, если принять, что то в

Поэтому, зная функцию (и постоянную а), мы можем найти также и поправочный множитель В частности, в условиях свободной конвекции согласно (7.67) и (7.39)

(то, что здесь т. е. пропорционально естественно вытекает из отсутствии в условиях свободной конвекции какого-либо фиксированного масштаба, отличного от ). Так как следует думать, что с ростом неустойчивости масштаб турбулентности должен возрастать, то должно быть т. е. При малых значениях , используя формулу (7.32), получим

Таким образом, то при изменении нуля до функция сначала будет линейно возрастать, затем рост ее замедлиется, и при она будет стремиться к постоянной (в соответствии с формулой

Можно также начать с того, что выбрать каким-либо образом функцию тогда из уравнения четвертой степени (7.63) легко определить и функцию т. е. найти распределение ветра с высотой, отвечающее заданному масштабу турбулентности В частности, Такеучи и Иокояма (1963), исходя из некоторых довольно грубых эмпирических данных, позволяющих оценить один из возможных «масштабов» турбулентности, приняли, что

где а — тот же числовой коэффициент, который входит в (7.63). Исходя отсюда, они рассчитали функцию котораи, естественно, оказалась не удовлетворяющей «закону 1/3» (7.39) при (так как выбранная функция не стремитси к постоянной при

Уравнения (7.60) (или (7.63) при заданном и (7-65) представляют собой частные примеры соотношений, определяющих функцию и получающихси из некоторой полуэмпирической теории. Как мы уже видели в предыдущей главе, даже в случае турбулентности в однородной среде существует целый ряд различных вариантов полуэмпирической теории, приводящих к слегка различным результатам. Естественно поэтому, что в значительно более сложных условиях стратифицированной среды число возможных полуэмпирических теорий оказываетси очень большим, и эти теории приводят к весьма разнообразным выражениям и других универсальных функций. Разумеется, все такие теории содержат те или иные произвольные допущения, требующие дополнительной проверки; получающиеси же выражения во многих случаях даже не удовлетворяют общим асимптотическим соотношениим, выведенным в предыдущем пункте, и, следовательно, могут применяться лишь на каких-то ограниченных интервалах значений . Так, например, в первой полуэмпирической теории турбулентности в стратифицированной среде, предложенной Россби и Монтгомери (1935), предполагалось, что и использовалась специальнаи гипотеза для определения зависимости масштаба от высоты и стратификации; в результате указанные авторы пришли к выводу, что

где что

если (ср. вывод уравнения (7.60) из соотношения При равенства (7.69) и (7.70), очевидно, приводит к разумной «логарифмической+линейной» формуле для профиля ветра однако асимптотическое поведение и при и при здесь оказывается неправильным (в частности, видно, что в этой теории нет критического числа Ричардсона). В другой полуэмпирической теории, развитой Огура (1952а), в основу было положено уравнение баланса турбулентной энергии и гипотезы о том, что При этом для градиента скорости ветра была получена формула, котораи в наших обозначениях может быть записана в виде

где а — эмпирическая постоянная. Ясно, что при и эта формула эквивалентна «логарифмической+линейной» формуле для профиля ветра Поэтому неудивительно, что она оказалась сравнительно хорошо описывающей профили ветра в условиях, не слишком сильно отклоняющихся от безразличной стратификации. Однако при ооздесь также не получается соотношении (7.39), отвечающего «закону 1/3» профиля скорости ветра (и температуры) в условиях свободной конвекции (в другом предельном случае асимптотическое соотношение (7.43) теперь уже выполняется, если принять что Основная гипотеза теории Огура о коэффициенте обмена К использовалась также Бюсингером (1955), но уже в соединении с гипотезой Россби и Монтгомери относительно масштаба (вместо использования полуэмпирического уравнении баланса энергии). При этом им был получен результат, который может быть преобразовав к следующему виду:

(как мы уже отмечали в сноске на стр. 367, сам Бюсингер пользовался более сложной записью, так как он считал, что, вообще говоря, может зависеть и от Согласно формуле (7.72), при но асимптотическое поведение при больших значениях теперь снова оказывается неверным при любом знаке (при сильной устойчивости оказывается даже комплексным).

С помощью специальной гипотезы, представляющейся довольно искусственной, Суинбенк (1960, 1964) получил очень простую формулу

так же как и (7.72), вовсе не содержащую эмпирических констант. Эта формула опять имеет правильную асимптотику (вида (7.32) и соответственно при малых и при больших положительных значениях (с коэффициентами но при и она не переходит в «закон 1/3». Заметим еще, что соотношение (7.73) приводит к простой экспоненциальной зависимости коэффициента обмена от высоты (изображенной пунктиром на рис. 52), представляющейся правдоподобной в условиях устойчивой

стратификации. Еще один вариант полуэмпирической теории был предложен Као (1959), основной результат которого может быть записан в виде

где а — эмпирическая постоянная. Формула (7.74), как и все предыдущие, приводит к ««логарифмичёскому+линейному» профилю в близких к равновесным условиям, но при имеет неправильную асимптотику. Более сложное соотношение для которое можно представить в виде

было получено в полуэмпирической теории Бюсингера (1959). Последнее соотношение обладает уже тем преимуществом, что соответствующая функция имеет правильное асимптотическое поведение и при т. е. и при Теми же достоинствами обладает и функция найденная Зилитинкевичем и Лайхтманом (1965), исходя из полуэмпирического уравнения баланса энергии турбулентности, дополненного следующим обобщением гипотезы Кармана (5.97) о «пути перемешивания» I:

эмпирические констаиты,

Примеры применения полуэмпирических гипотез для явного определения функций можно было бы еще продолжить (см., например, Эллиот 1957, 1960), Кравченко (1963), Наито (1964)). Следует, однако, иметь в виду, что все получаемые таким образом выражения для этих функций должны рассматриваться лишь как некоторые приближенные формулы, степень точности которых на заданном интервале значений (или чисел или должна дополнительно устанавливаться на основе сопоставления с данными наблюдений. В следующем параграфе мы увидим, что разброс имеющихся данных наблюдений до сих пор остается довольно большим; поэтому и выбор между различными полуэмпирическими формулами является затруднительным.

Кроме полуэмпирических формул для профиля ветра, согласующиеся с общими соображениями размерности (т. е. сводящихся к некоторым предположениям относительно функций в метеорологической литературе можно найти также большое число работ (имеющих, как правило, более чем десятилетнюю давность), в которых предлагаются полуэмпирические или же чисто эмпирические формулы для профилей метеорологических элементов, не опирающиеся на соображения размерности (и содержащие чаще всего вместо эмпирических постоянных некоторые эмпирические функции от числа Ричардсона или других характеристик стратификации). Так, например, в течение ряда лет в научной литературе широко дискутировалси вопрос о возможности использования «логарифмического закона» (с параметрами, вообще говоря, зависящими от устойчивости) для описания профили ветра в приземном слое воздуха при различных температурных стратификациях. Ряд авторов (например, Россби и Монтгомери (1935), Саттон (1936,

1937), Будыко (1946, 1948), Бъоргум (1953) и др.) отстаивали возможность применения этого закона при любых условиях. Так, например, Будыко разработал схему, в которой профиль ветра описывается формулой

параметр, зависящий от температурной стратификации. Для величины Будыко предложил формулу, которую, пользуясь введенным выше масштабом можно записать в виде где я — «высота приземного слоя воздуха», близкая к (наличие в этой формуле высоты А, очевидно, делает ее иесогласующейся с размерностным анализом : здесь 4— зависит уже, кроме еще и от Позже Бьоргум (1953) рассмотрел также более общую формулу вида где параметры зависят от стратификации.

Очевидным недостатком всех этих формул является то, что они не учитывают реально существующих систематических отклонений профиля ветра при ненейтральной стратификации от логарифмического законз. Кроме того, даже в самом нижнем слое, в котором температурная стратификация играет очень малую роль, соответствующие профили не приближаются к тем, которые наблюдаются в отсутствие градиентов температуры (в частности, экстраполяция профиля ветра до значении приводит здесь к значению зависящему от степени устойчивости, т. е. уже не являющемуся объективной характеристикой подстилающей поверхности).

Другие авторы, в том числе Шмидт (1925), Бест (1935), Лайхтмаи (1944, 1947а), Фрост (1948), Дикои (1949) и Такеда (1951), предлагали аппроксимировать профиль ветра в приземном слое воздуха степенными функциями от При этом Шмидт, Бест и Фрост использовали простейшую формулу вида а Лайхтмаи развил теорию, в которой профиль ветра описывается формулой

так что где параметр, зависящий от стратификации воздуха (положительный при инверсиях, равный нулю при безразличной стратификации и отрицательный в случае неустойчивости); практически ту же формулу позже использовали также Дикон и Такеда. Формула (7.77) позволяет уловить характер отклонений профиля ветра от логарифмического закона; при она, очевидно, переходит в обычный логарифмический профиль (если положить, что при Однако, если, следуя Лайхтману, считать, что параметр также зависит от стратификации, то влияние стратификации здесь все равно будет сказываться даже при что противоречит выводам из теории подобия. Вместе с тем число свободных параметров, подлежащих определению в каждом отдельном случае по данным наблюдений, в такой теории оказывается слишком большим, что создает трудности при нахождении этих параметров и снижает точность расчетов. Если же, следуя Дикону, принять постоянным, то приходится допустить, что зависит также и от высоты (см., например, Дэвидсон и

Баред (1956)), что является совсем уж неудовлетворительным. Заметим, что формула (7.77) также не может быть согласована с изложенными в соображениями размерности; в частности, здесь явно зависит от функции берется на фиксированной высоте) и от параметра шероховатости (который в схеме Лайхтмана также зависит от стратификации).

Учет влияния стратификации на профиль ветра путем введения линейной добавки К логарифмическому закону, т. е. использования формулы вида

где параметр, зависящий от степени устойчивости (положительный при инверсиях и отрицательный при неустойчивой стратификации), предлагался, исходя из анализа эмпирических данных, в частности, Хелстедом (1943) и иовским (1952). Формула (7.78), очевидно, может быть согласована с соображеииями размерности, для чего надо только положить после этого она переходит в формулу Моиина и Обухова (7.33).

Все сказанное выше о профиле ветра может быть перенесено и на профили температуры и влажности, если только стратификация является неустойчивой, безразличной или слегка устойчивой. Однако при очень высокой степени устойчивости, как мы уже отмечали выше, по-видимому, возникает особая ситуация: есть основания думать, что при таких условиях коэффициент обмена гораздо меньше, чем и поэтому профили температуры Т и концентрации пассивной примеси О в этом случае отличаются по форме от профиля средней скорости (ср. рис. 48 и 50). Теоретический анализ этого явления представляет очень большие трудности и пока еще не увенчался значительными успехами; однако предпринятая Эллисоном (1957) попытка оценки зависимости величины числа Ричардсона заслуживает все же упоминания, поскольку она привела к результатам, которые оказались неожиданно хорошо соответствующими результатам последующих экспериментов Эллисона и Тэрнера (1960) (см. ниже стр. 434). Для расчета величины а Эллисон использовал уравнение баланса турбулентной энергии в стратифицированной среде и родственные ему уравнения для вторых моментов Как мы уже видели в такие уравнения содержат большое число новых неизвестных членов; поэтому для получения своих выводов Эллисону пришлось принять ряд дополнительных грубых предположений (типа полуэмпирических гипотез) о пренебрежимой малости некоторых слагаемых и о связях, позволяющих выразить ие пренебрежимо малые неизвестные члены через сами рассматриваемые моменты. Исполйовав эти предположения (неявно содержащие уже допущение о малости обмена теплом по сравнению с обменом импульсом при сильной устойчивости), Эллисон пришел к соотношению, которое можно представить в виде

медленно меняющиеся функции от , которые в первом приближении можно просто считать эмпирическими постоянными. Ясно, что здесь

совпадает со значением при безразличной стратификации (в условиях логарифмического пограничного слоя), это критическое значение которого число никогда не может превзойти, и при котором обращается в нуль. Весьма грубые оценки, произведенные Эллисоном на основе некоторых соображений интуитивного характера, привели его к выводу, что параметр должен быть значительно меньше единицы (например, близким к 1/7 или 1/10); это заключение, однако, пока еще нельзя считать окончательным. Если знать характер приближения числа к предельному значению порядок члена в асимптотическом разложении функции при больших ?), то, исходя из (7.79), можно определить также и асимптотическое поведение функции при -кхэ. В настоящее время, однако, для этого еще нет необходимых данных.