Устойчивость плоскопараллельных течений идеальной жидкости

Подставляя в уравнение (2.28) какой-либо конкретный профиль скорости мы придем к весьма сложной задаче на собственные значения, решение которой требует выполнения громоздких расчетов. В целях упрощения этих расчетов естественно начать с попытки воспользоваться экспериментальными данными, согласно которым критическое число Рейнольдса для большинства плоскопараллельных потоков очень велико. Следовательно, можно ожидать, что при числах Рейнольдса, близких к критическому, слагаемые в правой части уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28), описывающие действие сил вязкости на малое возмущение, будут малы по сравнению со слагаемыми в левой части. Поэтому можно попробовать сперва считать жидкость идеальной, т. е. пренебречь правой частью уравнения (2.28), и рассмотреть укороченное уравнение

подробно изученное еще Рэлеем (1880, 1887, 1895, 1913). Поскольку это уравнение уже не четвертого, а только второго порядка, то мы не можем здесь требовать выполнения четырех Краевых условий и должны ограничиться обычным для течений идеальной жидкости требованием, чтобы на ограничивающих поток стенках обращалась в нуль лншь нормальная компонента скорости. Вспоминая определение функции тока и формулу (2.27), заключаем, что на стенках должно выполняться равенство

Однако полное пренебрежение вязкостью и использование укороченного уравнения (2.29) наталкиваются на ряд

трудностей. Эти трудности связаны в первую очередь с тем, что при вещественных собственных значениях с (отвечающих нейтральным волнам, представляющим наибольший интерес для нахождения критерия неустойчивости) может найтись такое значение z (скажем, ), при котором соответствующее значение скорости основного потока окажется равным с, так что точка будет особой точкой уравнения (2.29). Более того, еще Рэлей, а затем при более общих условиях Толмин и Преч (1946) доказали, что при плоскопараллельном течении идеальной жидкости скорость с распространения нейтральных волн всегда оказывается меньше максимальной скорости основного потока, так что внутри течения обязательно возникает особая точка также Линь (1955), § 8.2). Если то в окрестности этой точки можно положить и при функция будет стремиться к бесконечности как Поэтому х-компонента скорости нейтрального возмущения в окрестности особой точки будет иметь вид

Таким образом, в случае нейтральной волны одно из двух линейно независимых решений укороченного уравнения (2.29) оказывается разрывным и многозначным, и возникает вопрос, какую ветвь получаемой многозначной функции следует выбрать. Кроме того, имеется еще одно затруднение, заключающееся в том, что при наличии у уравнения (2.29) комплексного собственного значения с (отвечающего собственной функции комплексно-сопряженное число с также, очевидно, будет собственным значением этого уравнения (отвечающим собственной функции Следовательно, наряду с затухающей волной уравнение для функции тока всегда будет иметь также и решение в виде возрастающей волны. Поэтому для невязкой жидкости не имеет смысла характеризовать устойчивый случай как случай наличия одних лишь затухающих колебаний, т. е. само определение устойчивости, опирающееся на рассмотрение элементарных волновых решений, здесь должно быть как-то изменено.

Наиболее обычный способ преодоления всех этих трудностей состоит в том, что возвращаются обратно к полному уравнению Орра — Зоммерфельда (2.28) и нужную ветвь решения укороченного уравнения (2.29), описывающего нейтральные колебания, так же как и имеющие физический смысл волновые решения этого уравнения с отбирают при помощи тщательного исследования асимптотического поведения решений

уравнения четвертого порядка (2.28) при при При этом, в частности, оказывается, что имеющие физический смысл возрастающие и затухающие волновые решения уравнения (2.29) вовсе не являются сопряженными друг к другу и что в некоторых случаях такие решения следует конструировать при помощи «склеивания» различных выражений в различных областях изменения переменного z (см., например, Линь (1955), гл. 8). Естественно, что такой подход к исследованию устойчивости невязкой жидкости оказывается довольно громоздким и что преимущества, заключающиеся в относительной простоте уравнения (2.29), при этом фактически теряются. Существует, однако, и другой подход к той же задаче, позво-. ляющий использовать относительную простоту уравнений гидромеханики невязкой жидкости; он будет указан немного ниже.

Перечислим теперь основные результаты, полученные при исследовании устойчивости плоскопараллельных течений невязкой жидкости. Началом этих исследований послужил указанные выше важные работы Рэлея, который, в частности, еще в 1880 г. доказал, что если нигде в пределах течения не обращается в нуль, то укороченное уравнение (2.29) не может иметь собственных значений таких, что следовательно, и вообще комплексных собственных значений). В самом деле, переписав уравнение (2.29) в виде

а затем умножив его на комплексно-сопряженную функцию и проинтегрировав в пределах от границы течения, на которых обращается в нуль), получим

При обращение в нуль мнимой части последнего равенства, очевидно, может иметь место, лишь если где-то между меняет знак, откуда и вытекает выделенный курсивом, результат. В течение многих лет всеми принималось, что эта теорема Рэлея дает полное доказательство устойчивости смысле отсутствия возрастающих возмущений)

плоскопараллельных течений идеальной жидкости, профиль скорости которых не имеет точки перегиба (заметим, что для идеальной жидкости с любой профиль является допустимым с точки зрения уравнений движения, в отличие от положения, имеющегося в случае вязкой жидкрсти). На самом деле, однако, дело здесь обстоит вовсе не так просто. Оказывается, что из-за наличия особенности, связанной с обращением в нуль коэффициента при старшей производной, уравнение (2.29) обычно имеет непрерывный спектр собственных значений; при этом собственные функции, отвечающие точкам непрерывного спектра, не удовлетворяют обычным условиям, накладываемым на собственные функции, и чаще всего просто упускаются из виду (в частности, и доказательств теоремы Рэлея относится лишь к простейшим дискретным собственным значениям). Но если ограничиться лишь дискретны спектром, то краевая задача для укороченного уравнения вообще, как правило, при каждом фиксированном k будет иметь лишь конечное число собственных функций, так что ни о какой полноте системы этих функций не может быть и речи (а в частном случае течения Куэтта, где собственные функции, обращающиеся в нуль на двух границах течения, даже вообще отсутствуют). Если же добавить еще и собственные функции непрерывного спектра, то. прежде всего надо точно определить, что под этим понимается, и исследовать поведение всех соответствующих функций при в дальнейшем требуется еще доказать полноту полученной системы функций, что также представляется не простым делом. Таким образом, на самом деле доказательство устойчивости течений невязкой жидкости не вытекает из одной только теоремы Рэлея, а требует привлечения еще каких-то дополнительных тонких рассмотрений.

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа

может быть также использовано и для аккуратного определения набора собственных функций (относящихся как к непрерывному, так и к дискретному спектру) уравнения (2.29); тогда полнота этого набора функций получается уже автоматически (так как по ним разлагается решение произвольной задачи с начальным условием). Однако, как мы уже отмечали, с точки зрения теории устойчивости рассмотрение элементарных волновых решений, удовлетворяющих (2.29), вовсе не нужно, так как поведение при общего решения задачи с начальным условием сразу определяет, будет ли течение устойчивым или нет. Кэйзом (1960а) и Диким (19606) было независимо показано, что во всех случаях возрастающие решения задачи с начальными условиями для уравнения (2.26) могут существовать лишь тогда, когда соответствующее уравнение (2.29) имеет дискретные собственные значения с, у которых (или кратные собственные значения с, у которых Тем самым они впервые строго оправдали вывод, который обычно делался из теоремы Рэлея (заметим, что более детальное исследование уравнения (2.29) показывает, что изменение знака внутри потока необходимо также и для существования чисто вещественных собственных чисел с; см. Линь, (1955), § 8.2). Любопытно, что для частного случая плоского течения Куэтта в идеальной жидкости описанный здесь подход был применен еще Орром (1906—1907), выписавшим решение задачи с начальным условием для малого возмущения в таком течении и показавшим, что оно будет затухать; позже, однако, этот результат Орра был забыт. Дикий и Кэйз показали также (см., особенно, Кэйз (1961)), что решение задачи с начальным условием для полного уравнения (2.26) при всегда стремится к решению той же задачи для укороченного уравнения. Таким образом, и в этом отношении задача с начальным условием имеет заметное преимущество перед краевой задачей для уравнения (2.28), в которой нет никакой простой связи между собственными значениями и функциями полного и укороченного уравнений (ср. Линь (1961), Линь и Бенни (1962)).

Предположим теперь, что профиль скорости имеет точку перегиба, т. е. что в какой-то точке обращается в нуль. Толмином (1935) было доказано (см. также Линь (1955), § 8.2), что при некоторых дополнительных условиях (выполняющихся во многих практически интересных случаях) отсюда уже следует, что соответствующее уравнение (2.29) будет иметь собственные значения с такие, что В случаях, к которым применим результат Толмина, течение невязкой жидкости, очевидно, будет неустойчивым. Другие точные

условия неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости можно найти у Розенблюта и Саймона (1964).

Заметим еще, что трудности, возникающие при исследовании неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости, в случае жидкости с переменной по «высоте» (т. е. координате z) плотностью сохраняются и при наличии отличной от нуля вязкости, т. к. здесь соответствующее обобщенное уравнение Орра — Зоммерфельда даже и при будет иметь особенность в точке, в. которой например, Дикий (1960а).). Поэтому механическое перенесение на этот случай правил выбора ветви многозначных решений, разработанных для случая течений жидкости постоянной плотности, произведенное в работе Шлихтинга (19356), нельзя считать обоснованным. Также и непосредственное сведение задачи об определении критерия неустойчивости к задаче на собственные значения без привлечения непрерывного спектра здесь оказывается несостоятельным из-за неполноты соответствующей системы собственных функций. Отсюда вытекает, что в случае течений жидкости переменной по высоте плотности и при и при строгий анализ устойчивости течения требует изучения асимптотического поведения при решения соответствующей общей задачи с начальным условием. Возникающая при этом задана анализа является весьма трудной, и некоторые успехи здесь былиг достигнуты лишь сравнительно недавно и притом лишь в предположении, что (т. е. для идеальной жидкости).

А именно, Элиассен, Хойланд и Риис (1953), а затем, более аккуратно, Дикий (1960а) и Кэйз, (19606) исследовали асимптотическое поведение решения задачи с начальным условием для функции тока возмущения в случае двумерного потока неоднородной тяжелой жидкости с экспоненциально убывающей плотностью, заполняющего неограниченное полупространство и имеющего линейный профиль скорости. Они показали при этом, что, как и в случае плоскопараллельных течений идеальной однородной жидкости, неустойчивость (в смысле наличия возрастающих возмущений) здесь может возникнуть лишь при существовании волновых возмущений вида (2.27) с возрастающими амплитудами (т. е. с В силу результатов исследования волновых возмущений в таком потоке, произведенного еще в 1915 г. Дж. Тэйлором (но опубликованного много

позже, см. Тэйлор (1931)), дополненного недавно более строгим математическим анализом поведения нулей гипергеометрических функций Уиттекера, независимо выполненным Диким (1960в) и Дайсоном (1960), отсюда вытекает, что рассматриваемый поток неоднородной жидкости будет устойчивым (в указанном смысле) при всех значениях не только при как утверждается в известных монографиях Прандтля (1949) и Шлихтинга (1951, 1959). Позже аналогичный же метод исследования был применен Майлсом (1961) к общему случаю плоскопараллельного потока невязкой неоднородной тяжелой жидкости с практически произвольным профилем плотности (таким, что при всех так что плотность монотонно убывает по высоте) и любым монотонным профилем скорости При этом им было показано, что и здесь из существования неустойчивых возмущений вытекает также существование неустойчивых волн с функцией тока вида (2.27). Далее Майлс детально исследовал возможные в таком потоке волновые возмущения; в результате ему удалось доказать, что рассматриваемый поток наверное будет устойчивым, если во всех его точках (частные случаи этого последнего результата фактически содержатся также в работах Гольдштейна (1931) и Дразина (1958), посвященных рассмотрению волновых возмущений в некоторых специальных потоках идеальной жидкости переменной плотности). Общий результат Майлса был доказан также значительно более просто (с помощью некоторых интегральных неравенств, аналогичных использовавшимся в свое время Рэлеем) при более общих условиях (без всяких ограничений на профили скорости и плотности) Хоуардом (1961). Кроме того, Кэйз (1960в) проанализировал также и поведение решения задачи с начальным условием для возмущения в неподвижной идеальной жидкости в полуплоскости с экспоненциально возрастающей плотностью; при этом он, естественно, нашел решения, неограниченно возрастающие с течением времени (ср. выше стр. 97), и оценил максимальную достижимую скорость их роста. Некоторые другие примеры анализа поведения решений задачи с начальным услорием для возмущений в жидкости с возрастающей с ростом z плотностью (но уже отличным от нуля градиентом скорости) можно найти в работе Элиассена, Хойланда и Рииса (1953). Подробное исследование возможных волновых возмущений в некоторых конкретных плоскопараллельных течениях расслоенной по плотности идеальной жидкости (с убывающей с высотой плотностью) было произведено Майлсом (1963) и Хоуардом (1963). При этом выяснилось, что «принцип смены устойчивости» (см.

стр. 107) здесь выполняется лишь при некоторых специальных условиях, а область неустойчивости на плоскости может состоять из нескольких кусков.