5.2. Общий вид профиля средней скорости течения около стенки

Перейдем теперь к исследованию общих свойств турбулентных течений около стенки, параллельной направлению средней скорости течения. Результаты этого исследования будут приложимы и к течениям в круглой трубе или в плоском канале, и к течениям в пограничном слое на плоской пластинке (в частности, в приземмом или приводном слое атмосферы над ровной подстилающей поверхностью при нейтральной, термической стратификации). Мы начнем, однако, с рассмотрения простейшего идеализированного случая стационарного плоскопараллельного потока жидкости, движущейся по направлению оси в полупространстве в отсутствие градиента среднего давления.

В случае ламинарного безнапорного плоскопараллельного течения из первого уравнения гидродинамики, как мы видели на стр. 41, немедленно вытекает, что профиль скорости должен быть линейным. Для аналогичного турбулентного течения первое уравнение Рейнольдса будет иметь вид

Это уравнение показывает, что поток х-компоненты импульса вдоль оси (направленный от жидкости к стенке) здесь будет одним и тем же на всех расстояниях от стенки:

где — напряжение трения на стенке Однако оно не позволяет однозначно определить профиль средней скорости так как, кроме функции содержит еще неизвестную величину Тем не менее, некоторые выводы о возможной форме функции в этом случае все же можно получить из соображений размерности. В самом деле, осредненные характеристики рассматриваемого течения на расстоянии от стенки, очевидно, могут зависеть лишь от напряжения трения то, координаты z и параметров жидкости При этом величины то и могут входить в кинематические характеристики течения

лишь в виде комбинации не зависящей от размерности массы. Вместо отношения удобно использовать величину

имеющую размерность скорости и являющуюся поэтому естественным масштабом скоростей для течения около стенки; в дальнейшем мы ее будем называть динамической скоростью. Так как из можно составить единственную безразмерную комбинацию то общий вид зависимости профиля средней скорости от то, Р и у может быть записан в виде

или, что то же самое, в виде

Здесь безразмерные скорость и расстояние от стенки, некоторая универсальная функция одного переменного. Важный результат (5.13) иногда называется универсальным законом турбулентности вблизи стенки-, впервые он был указан Прандтлем (1925) (см. также Прандтль (1932б)).

Формулы (5.13) и (5.13), разумеется, будут справедливы лишь в случае, когда стенку можно считать гладкой, т. е. описываемой простейшим уравнением Поскольку естественным масштабом длин в рассматриваемом течении будет «динамическая длина» то мы можем теперь количественно разъяснить требование гладкости: стенка будет динамически гладкой, если средняя высота имеющихся на ней бугорков удовлетворяет условию

(более точные данные см. на стр. 242). Только в этом случае профиль скорости около стенки будет определяться общей формулой (5.13). В случае же шероховатой стенки, высота неровностей которой не удовлетворяет условию (5.14), эти неровности также будут как-то влиять на распределение средней скорости около стенки. Поэтому формулу (5.13) здесь следует заменить

более общей формулой

где безразмерные параметры, характеризующие форму неровностей и их распределение по поверхности стенки. В случае сильно шероховатых стенок при использовании формулы (5.15) возникает еще дополнительная трудность, связанная с тем, что здесь неясно, от какого уровня следует отсчитывать высоту к этому вопросу мы еще вернемся ниже при более подробном рассмотрении течений около шероховатых стенок.

Прежде чем переходить к обсуждению формы функции остановимся на вопросе о применимости соотношений (5.13) и (5.15) к различным реально встречающимся турбулентным течениям. Начнем со случая безнапорного турбулентного течения жидкости между двумя плоскими стенками, движущимися друг относительно друга. В этом случае уравнения (5.10) и (5.11) будут точными; поэтому, например, при гладких стенках для применимости формулы (5.13) к течению на расстоянии z от одной из стенок надо только, чтобы z было много меньше расстояния Н между стенками. Однако такое течение само является идеализированным течением, с трудом моделируемым в лаборатории; поэтому для возможности проверки формул (5.13) и (5.15) важно знать какие-либо более легко осуществимые течения, профиль скорости которых описывается этими формулами.

Как уже отмечалось, одним из таких течений может являться движение воздуха около поверхности земли (или воды) при нейтральной термической стратификации. Правда, в земной атмосфере горизонтальный градиент давления обычно бывает слегка отличен от нуля и, кроме того, на скорость ветра влияет еще и создаваемая вращением Земли сила Кориолиса (см. ниже п. 6.6). Однако в самом нижнем слое воздуха все эти факторы играют лишь малую роль и не вызывают заметного изменения с высотой напряжения трения простые оценки (которые мы отложим до стр. 349), показывают, что в атмосфере вплоть до высоты порядка 50 м величина обычно может считаться практически постоянной. Следовательно, в пределах этого слоя в случае нейтральной стратификации можно с достаточным основанием пользоваться упрощенным уравнением (5.11)

и формулой (5.15) (заметим, что в атмосфере подстилающая поверхность почти всегда оказывается шероховатой, так как здесь обычно имеет порядок и, значит, z не превосходит нескольких десятых долей миллиметра).

Перейдем теперь к искусственным течениям в трубах, каналах и пограничном слое на пластинке. В простейшем случае широкого плоского канала течение можно приближенно рассматривать как плоскопараллельное в среднем течение между бесконечными плоскостями Ни однородное в плоскостях Ясно, что в таком случае первое и третье уравнения Рейнольдса будут иметь вид

(где, как обычно, Из второго уравнения (5.16) следует, зависит только от х (величина очевидно, совпадает со средним давлением на стенку). Но не может зависеть от х; поэтому в силу первого уравнения (5.16)

Обозначим напряжение трения на нижней стенке через так как в силу условия симметрии напряжение трения в центре канала (при должно равняться нулю, то последнюю формулу можно также переписать в виде

Отсюда видно, что при можно полагать поэтому и в этом случае существует слой (примыкающий к стенке канала), в котором напряжение трения остается практически постоянным. В пределах этого слоя влиянием градиента давления можно пренебречь и, следовательно, можно пользоваться формулами (5.13) и (5.15).

Вполне аналогично обстоит дело и в случае напорного течения в круглой трубе диаметра В этом случае из уравнений Рейнольдса, преобразованных к Полярной системе координат легко выводится, что

где статическое давление на стенку, расстояние от стенки. Следовательно, при напряжение трения здесь можно снова считать постоянным и задавать профиль средней скорости той же формулой (5.13) (или (5.15)), чтоидля плоскопараллельного безнапорного течения в полуплоскости. Наконец, в пограничном слое на плоской пластинке уравнения Рейнольдса получаются при помощи добавления членов, содержащих напряжения Рейнольдса, к обычным уравнениям пограничного слоя (1.38) — (1.39) относительно осреднённых гидродинамических полей. Учитывая, что пульсационные скорости в пограничном слое много меньше средней продольной скорости а производные по х много меньше производных по и сохраняя лишь главные члены, находим, что третье уравнение Рейнольдса при отсутствии продольного градиента давления в обтекающем потоке будет иметь вид

Исходя отсюда, можно оценить изменение напряжения трения по вертикали и показать, что и в пограничном слое существует заметный слой, примыкающий к пластинке, внутри которого напряжение трения будет практически постоянным. В пределах этого слоя течение можно считать плоскопараллельным и описывать уравнением (5.10), а профиль средней скорости — задавать формулой (5.13) или (5.15).