9.4. Смещение жидких частиц в турбулентности за решеткой и в турбулентных потоках с градиентом средней скорости

Лагранжевы характеристики автомодельных турбулентных течений

Вывод формул (9.37) — (9.39) существенно опирается на то, что в рассматриваемом течении движение жидких частиц в поперечной плоскости Одсгз все время происходит лишь в пределах фиксированной конечной ее части. Ясно, что это последнее условие выполняется лишь для некоторых специальных турбулентных течений. В случае же, например, турбулентного пограничного слоя или турбулентной струи среднее расстояние частицы от ограничивающей поток стенки или от оси струи будет неограниченно возрастать с ростом поэтому здесь лагранжеву скорость ни при каком нельзя считать стационарной случайной функцией времени. Таким образом, класс реальных течений, к которым можно непосредственно применить формулы (9.30) — (9.36), все же довольно узок.

Бэтчелор (1957) заметил, однако, что имеется также класс течений (включающий некоторые практически важные потоки), к которым, по-видимому, можно применить указанные формулы после несложного их преобразования. Этот класс состоит из

установившихся автомодельных течений, в которых средняя скорость преимущественно направлена вдоль оси и статистический режим турбулентности при разных значениях координаты является подобным, т. е. отличается лишь значениями характерного масштаба длины и масштаба скорости Иначе говоря, в рассматриваемых потоках все эйлеровы статистические характеристики турбулентности в плоскости приведенные к безразмерному виду путем деления на соответствующую комбинацию масштабов не зависят от значения При этом фиксированная жидкая частица все время будет находиться в практически одинаковых условиях, но с переменным масштабом скорости и переменным масштабом времени Поэтому при изучении движения такой частицы представляется целесообразным измерять время масштабом (т. е. использовать вместо времени переменную связанную с соотношением скорость — масштабом При этом естественно предположить, что при достаточно больших значениях х (таких, что влияние начального положения х уже перестает сказываться) безразмерная пульсационная лагранжева скорость будет стационарной случайной функцией переменной

Правда, строгое доказательство этого предположения (и вообще того, что из автомодельности эйлеровых свойств турбулентности вытекает автомодельность ее лагранжевых свойств) пока отсутствует. Однако оно представляет собой очень правдоподобную гипотезу, следствия из которой в ряде случаев хорошо согласуются с имеющимися (к сожалению, еще очень неполными) эмпирическими данными о лагранжевых статистических характеристиках. Заметим еще, что в тех случаях, когда автомодельность эйлеровых характеристик турбулентности устанавливается с помощью соображений размерности, этими же соображениями обычно можно обосновать и автомодельность лагранжевых характеристик; получаемые таким образом результаты также совпадают с выводами, следующими из выделенного курсивом предположения.

Одним из простейших случаев, к которому можно приложить сформулированную здесь гипотезу, является случай турбулентности в средней части аэродинамической трубы за решеткой, специально установленной для турбулизации течения.

В этом случае средняя скорость единичный вектор оси является строго постоянной и, следовательно, Однако турбулентность здесь все же не является вполне однородной, так как под действием вязкости интенсивность пульсаций скорости слегка убывает с возрастанием расстояния от решетки. Заметим теперь, что как показывают результаты измерений характеристик такой турбулентности (см. гл. 7 в ч. 2 книги), в течение начального периода вырождения (т. е. на сравнительно небольших расстояниях от решетки) турбулентность за решеткой обычно примерно однородна в плоскостях и отличается при разных значениях лишь масштабом скорости, пропорциональным масштабом длины, пропорциональным некоторое условное «начало отсчета» на оси Так как в рассматриваемом потоке средняя скорость всегда много больше пульсаций скорости, то можно считать, что где время движения жидкой частицы, отсчитываемое от условного момента пересечения ею плоскости масштаб скорости в плоскости можно принять любую постоянную скорость, умноженную на удобно, например, при рассмотрении движения жидкой частицы, находившейся в начальный момент времени в плоскости положить где типичное значение пульсации скорости при Переменная равенства (9.40) в рассматриваемом случае, очевидно, равна поэтому можно считать, что Отсюда вытекает, что предположение (9.40) здесь сводится к допущению, что лагранжева корреляционная функция пульсаций скорости имеет вид

где взаимная корреляционная функция стационарных процессов Подставляя (9.41) в общую формулу (9.27) и заменяя в ней интегрирование по интегрированием по в пределах от

до аналогично выводу (9.30) получим

При естественном предположении о достаточно быстром затухании корреляционной функции (9.41) с ростом из (9.42) следует, что при очень больших значениях

Тем самым мы показали, что асимптотический закон по-видимому, с известным приближением может быть применен и к вырождающейся турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе.

Аналогичное рассуждение может быть применено также и к случаю турбулентного следа за цилиндром произвольного сечения, расположенным вдоль оси или за каким-то конечным твердым телом с центром в начале координат. Как мы уже видели в п. 5.9, на достаточно большом расстоянии от обтекаемого тела (там, где турбулентные скорости в следе становятся малыми по сравнению со средней скоростью обтекаемого потока) турбулентный режим в следе можно считать автомодельным и различающимся при разных значениях продольной координаты лишь масштабом длины и масштабом скорости При этом в случае двумерного, следа (за цилиндром) в случае трехмерного следа (за конечным телом). Поскольку в рассматриваемом случае при соответственном выборе начала отсчета времени и достаточно большом то, следовательно, как для двумерного, так и для трехмерного следа. Так как турбулентная жидкость не вытекает из следа, то фиксированная жидкая частица будет все время блуждать в пределах объема, занимаемого следом, не выходя за его границы. Поэтому естественно ожидать, что при достаточно большом здесь также будет справедлива гипотеза или соответственно Но это

означает, что

в случае движения жидкой частицы в двумерном турбулентном следе и

в случае движения в трехмерном следе, причем в обоих случаях имеет тот же смысл, что и в (9.42). Таким образом, при очень больших значениях

Заметим еще, что случае двумерного следа за длинным цилиндром, расположенным вдоль оси очевидно, Что же касается величины в случае плоского следа и величин в случае трехмерного следа, то так как на большом расстоянии от обтекаемого тела плоский след становится практически симметричным относительно плоскости а трехмерный след — практически осесимметричным, можно ожидать, что при достаточно большом они также будут близки к нулю при любом начальном положении рассматриваемой жидкой частицы.

Перейдем теперь к рассмотрению движения жидкой частицы в плоской или круглой турбулентной струе, распространяющейся по направлению оси в заполненном жидкостью пространстве. Здесь также при достаточно большом статистический режим можно считать полностью характеризуемым масштабом длины и масштабом скорости как это было показано в п. 5.9, причем в случае двумерной (плоской) струи и в случае трехмерной (осесимметричной) струи. Однако, в отличие от случая турбулентного следа, в турбулентной струе отсутствует основное движение с постоянной скоростью поэтому здесь уже

нельзя считать, что Поскольку, однако, в струе осредненное течение также является автомодельным, можно надеяться, что в этом случае гипотеза (9.40) с при достаточно большом будет применима уже не только к пульсациям лагранжевой скорости, но и к самой лагранжевой скорости Тогда

де (ибо -стационарный случайный процесс). Учтя характер зависимости от получаем отсюда, что при соответственном выборе начала отсчета времени х

Следовательно, в обоих случаях — Далее, аналогично выводу равенств (9.42), (9.44) и (9.45) находим

для двумерной струи и

для трехмерной струи, где При очень больших значениях х эти формулы обращаются в асимптотические соотношения

Соображения, примененные при рассмотрении движения жидких частиц в турбулентных струях, приложимы и к двумерным (плоским) и трехмерным конвективным струям над нагретыми телами, а также к зоне турбулентного перемешивания двух плоскопараллельных потоков различной скорости Как мы знаем из п. 5.9, турбулентное движение и в конвективных струях, и в зоне перемешивания автомодельно при

достаточно большом ось считается вертикальной в случае конвективных струй и параллельной скорости обоих потоков в случае зоны перемешивания). При этом линейный масштаб здесь во всех случаях пропорционален а масштаб скорости в случае двумерной конвективной струи над нагретым цилиндром и зоны перемешивания оказывается одним и тем же во всех сечениях в то время как в случае трехмерной конвективной струи Отсюда вытекает, что средняя продольная лагранжева скорость в двумерной конвективной струе и в зоне турбулентного перемешивания постоянна (в случае зоны перемешивания она, очевидно, равна а в трехмерной конвективной струе — пропорциональна Поэтому гипотеза (9.40) с в случае двумерной конвективной струи и зоны перемешивания сводится к простому утверждению, что является стационарной случайной. функцией переменной . В случае же трехмерной конвективной струи, для которой эта гипотеза означает, что стационарной случайной функцией от является величина Отсюда обычным образом получаем, что

для двумерной конвективной струи и зоны перемешивания и

для трехмерной конвективной струи. В частности, при очень больших значениях

(асимптотические формулы (9.43), (9.46), (9.50) и (9.53) были указаны Бэтчелором и Таунсендом (1956), Бэтчелором (1957) и Ягломом (1965) ).

Покажем теперь, что формулы (9.50) и (9.53) могут быть выведены и из одних соображений размерности (без использования гипотезы (9.40)), если только принять, что физические параметры, от которых зависят эйлеровы статистические характеристики соответствующих турбулентных течений, определяют и их лагранжевы характеристики (т. е., иначе говоря, полностью задают весь «турбулентный режим»). В самом деле, согласно для трехмерной струи динамического происхождения определяющими физическими параметрами являются плотность жидкости и суммарный импульс вытекающей за единицу времени жидкости для двумерной динамической струи — плотность и импульс приходящийся на единицу времени и единицу длины струи; для зоны перемешивания плоскопараллельных потоков и скорость для трехмерной конвективной струи поток тепла вдоль струи и параметр плавучести для двумерной конвективной струи — и поток тепла приходящийся на единицу длины струи. Но если, например, распределение вероятностей для смещения жидкой частицы за время при достаточно большом может зависеть только от этих параметров и от то в силу соображений размерности соответствующая плотность вероятности должна иметь вид.

в случае трехмерной струи,

в случае двумерной струи,

вслучае зоны перемешивания, 4

в случае трехмерной конвективной струи и

в случае двумерной конвективной струи. Здесь пять универсальных функций, характеризующих пять указанных автомодельных турбулентных течений. Из формул (9.54) — разумеется, сразу вытекают и соотношения (9.50) и (9.53); вообще, из них легко получаются асимптотические соотношения для произвольных моментов случайного вектора Аналогичные (9.54) — (9.54) формулы могут быть, очевидно, выписаны для плотности вероятности лагранжерои скорости других лагранжевых величин; на этом, однако, мы уже не будем задерживаться.