Стационарные решения полу эмпирического уравнения турбулентной диффузии

В частном случае поперечной Дисперсии (по направлению перпендикулярному среднему ветру) новые приближенные формулы были предложены Бютнер и Лайхтманом (1963); эти формулы, однако, довольно сложны и еще требуют эмпирической проверки. Ряд практических формул для расчета атмосферной диффузии можно найти также в монографии Паскуила (19626). Мы здесь остановимся лишь на некоторых из таких формул, вытекающих из полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии (10.55). Выше мы рассматривали только решения этого уравнении, отвечающие случаю мгновенного источника примеси; именно к ним относилось замечание, что никаких точных решений уравнения диффузии, учитывающих возрастание скорости ветра с высотой, до сих пор не получено. На практике, однако, часто основной интерес представляет распределение концентрации от непрерывно действующего стационарного источника примеси, а это распределение уже заметно проще поддается математическому анализу.

Начнем со случая концентрации от стационарного линейного источника, перпендикулярного среднему ветру и производящего единиц массы примеси за единицу времени на единицу длины (очевидно, равной также величине где концентрация, создаваемая стационарным точечным источником производительности . В этом случае в уравнении (10.55), очевидно, можно опустить члены, содержащие Если, кроме того, мы пренебрежем также и слагаемым описывающим продольную диффузию, по сравнению со слагаемым описывающим перенос примеси средним течением (а в случае стационарных источников это почти всегда не приводит к заметной ошибке), то уравнение (10.55) еще упростится и превратится в так называемое двумерное уравнение турбулентной диффузии

В случае отражения примеси поверхностью Земли и источника на высоте Н искомое решение должно удовлетворять условиям

(последние два из этих условий могут быть также записаны в виде Таким образом, мы приходим к обычной задаче с начальными и краевыми условиями для параболического уравнения (10.113), в котором роль времени теперь играет переменная . В частном

случае решение задачи (10.113) — (10.114), очевидно, будет даваться формулой Робертса (10.91), которая, как мы знаем, не согласуется с эмпирическими даииыми. Случай постоянной скорости ветра й, но лииейно возрастающего коэффициента обмена был рассмотрен Бозаике и Пирсоном (1936), получившими (для частного случая наземного источника с очень простую формулу

уже сравнительно неплохо согласующуюся с данными наблюдений, относящихся к случаям температурной стратификации, близкой к безразличной. В дальнейшем ряд авторов изучили также более общий случай произвольной степенной зависимости - скорости ветра и коэффициентов обмена от высоты

В частном случае уравнение (10.113) с такими коэффициентами, но при отличных от (10.114) краевых условиях было сравнительно давно решено Саттоиом (1934) в связи с исследованием процесса испарения в приземиом слое воздуха; близкую задачу рассмотрел также Лайхтман (19476). Решение уравнения (10.113) при условиях (10.114), отвечающих наземному источнику, в случае коэффициентов (10.116) было получено, в частности, Робертсом (см. Колдер (1949)), Фростом (1946) (в предположении, что и Лайхтманом (1961, 1963); оно имеет следующий вид:

(в предположении, что Более общее решение того же уравнения, отвечающее высотному источнику на произвольной высоте Н, можно найти, иапример, в работах Лайхтмана (1961, 1963), Рауидса (1955), Монина (1956а) и Смита (1957); и этом случае

где функция Бесселя от мнимого аргумента индекса Значительно более громоздкое решение уравнения (10.113) с коэффициентами (10.116) при краевых условяях, отвечающих общему случаю «частичного или полного поглощения» примеси, при котором опубликовано Лайхтманом (1961, 1963); им же, а также Цейтиным (1963), исследовал случай, когда скорость ветра и и коэффициент обмена удовлетворяют степенным формулам (10.116) лишь до некоторой фиксированной высоты а выше остаются постоянными,

В случаем отвечающем логарифмическому пограничному слою, задачу (10.113) — (10.114) не удается решить аналитически, но, разумеется, ее можно решить численно. Для нескольких значений Н такое численное решение было построено Берляидом, Геииховичем и др. (1963, 1964), принявшими, однако, что линейное возрастание коэффициента сохраняется лишь до некоторой условной «высоты приземного слоя» А, а далее остается постоянным (или даже изменяется с высотой причудливым образом, так что график функции оказывается имеющим несколько изломов). В противоположность этому в работе Ямамото и Шимаиуки (1960) численное решение уравнения (10.113) искалось в предположении, что и что коэффициент в соответствии с аналогией Рейнольдса всюду совпадает с коэффициентом турбулентной вязкости, т. е. определяется соотношением (приводящим в случае логарифмического профиля ветра к равенству

Рис. 83. Зависимость показателя в законе убывания наземной концентрации примесн от расстояния от источника и от параметра устойчивости.

Однако вместо логарифмической формулы для здесь для профиля ветра использовалась общая формула теории подобяя (7.24) с универсальной функцией удовлетворяющей уравнению четвертого порядка (7.60). Параметр а, входящий в уравнение (7.60), в процессе численного решения удалось исключить с помощью простого перехода к новому масштабу длины После этого задача о диффузии примеси от наземного линейного источника (на высоте шероховатости при условии «отражения» на поверхности земли свелась к решению одного универсального уравнения относительно функции от двух переменных, зависящего от единственного параметра (возникающего в связи с зависимостью от Ясно, что положительным значением отвечает устойчивая стратификация, а отрицательным значениям — неустойчивая. Полученные Ямамото и Шимаиуки численные решения соответствующего уравнения для ряда значений были представлены в виде нескольких графиков. На рис. 83 мы приводим один из них, показывающий зависимость показателя

характеризующего быстроту убывания наземной концентрации с расстоянием X от «параметра устойчивости» и безразмерного расстояния от источника Параметр здесь определялся из условия

где оба значения брались вблизи определенной координаты Мы видим, что при безразличной стратификации (т. е. при близком к нулю значении параметр вплоть до весьма больших расстояний остается примерно постоянным и близким к 0,9, в полном соответствии с эмпирическими фактами, о которых говорилось на стр. 563. Однако при отличной от безразличной стратификации он, как правило, существенно зависит от расстояния

Если при использовании степенных формул (10.116) принять, что может отличаться от коэффициента турбулентной вязкости самое большее постоянным множителем а, т. е. что то неизбежно приходится считать, что . В частном случае безразличной стратификации логарифмический профиль скорости ветра сравнительно хорошо аппроксимируется на значительном интервале высот степенной функцией с показателем (ср. выше стр. 263 и 277); поэтому здесь целесообразно принять . И действительно, формулы (10.117) — (10.118) при таких и (и соответствующем подборе коэффициентов как оказалось, очень неплохо соответствуют имеющимся эмпирическим данным о диффузии в условиях безразличной стратификации (см., например, Колдер (1949)). Из (10.117) и (10.118), в частности, видно, что при таких и наземная концентрация убывает асимптотически пропорционально что хорошо согласуется и с опытными данными, и с данными рис. 83 для очень малых При стратификации, не являющейся безразличной, многие авторы также пробовали применять формулы (10.117) - (10.118), в которых показатели определялись в зависимости от метеорологических условий (см., например, Дикон (1949), Воэн (1961)), но здесь полученные результаты довольно сильно зависят от метода выбора значений и и поэтому представляются менее убедительными.

Перейдем теперь к диффузии от стационарного точечного источника производительности в точке . В этом случае, если мы снова пренебрежем диффузией по. направлению по сравнению с переносом примеси средним течением, то полуэмпирическое уравнение для средней концентрации будет иметь вид

Интересующее нас решение, уравнения (10.119) должно удовлетворять условиям

(ср. (10.114)). Увеличение числа независимых переменных от двух до трех при переходе от уравнения (10.113) к (10.119), естественно, приводит к значительному усложнению задачи. Дэвис (1950) попытался найти точное решение задачи (10.119) -(10.120) (для случая наземного источника) в

предположении, что и однако он сумел достигнуть цели лишь в частном случае, когда где В последнем случае, как легко проверить где решение задачи (10.113) — (10.114). Таким образом, при учет диффузии вдоль оси не представляет никакой трудности; поэтому предположение, что и, принималось в целом ряде работ о турбулентной диффузии. К сожалению, получаемые при таком предположении формулы для концентрации во многих случаях оказались явно противоречащими эмпирическим данным о распространении примеси от стационарных точечных источников в приземном слое атмосферы. В связи с этим Смит (1957) вернулся к случаю общего показателя а, но он отказался от точного определения функции а ограничился нахождением лишь двух первых отличных от нуля моментов распределения концентрации примеси вдоль прямых

Функция очевидно, будет удовлетворять тому же уравнению (10.113) (с условиями (10.114)), которое описывает распределение концентрации в случае линейного стационарного источника, т. е. ее можно определить из равенства (10.118) с Что же касается функции то для нее из (10.119) получается дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее также и коэффициент Это уравнение при некоторых частных значениях и а может быть решено в общем виде, но при произвольных и а его явное решение (выражающееся через сложные специальные функции) удалось найти лишь для случая наземного источника, т. е. при Естественно думать, однако, что при не слишком большом Н и большом X решение при будет уже мало отличаться от решения, отвечающего случаю Кроме того, если интересоваться лишь наземным распределением примеси (т. е. значениями ), то решение для случая высотного источника может быть выведено из общего решения для случая наземного источника с помощью доказанной Смитом изящной теоремы взаимности, выражающей статистическую обратимость процесса диффузии, описываемого полуэмпирическим уравнением (10.53). Согласно этой теореме, в случае турбулентной диффузии с условием отражения примеси на поверхности значение функции отвечающей высотному источнику примеси в точке совпадает со значением функции отвечающей такому же наземному источнику в точке (так что для при любом Я можно написать явную формулу). Зная можно приближенно определить и функцию допустив (в соответствии с интуитивными физическими представлениями о поперечной диффузии и с имеющимися эмпирическими данными), что распределение примеси вдоль прямой при всех мало отличается от распределения Гаусса. Следовательно, при любых

где

С помощью этой формулы Смит, в частности, нашел скорость убывания наземной концентрации вдоль направления по осн облака примеси (т. е. при для Оказалось, что в этом случае асимптотически что более или менее согласуется с эмпирическими данными, относящимися к стационарным точечным источникам примесн в атмосфере при стратификации, близкой к безразличной.

В общем случае произвольной стратификации Ямамото и Шнманукн (1964) попытались оценить коэффициент диффузии в «боковом» направлении с помощью сопоставления эмпирических данных о диффузии от точечных источников с результатами численного решения задачи (10.119)-(10.120) при значениях содержащих неопределенный параметр. При этом, как и в предыдущей их работе, предполагалось, что ветер задается формулой (7.24), где удовлетворяет уравнению (7.60), и что Что же касается до коэффициента то в виде первого приближения было принято, - что он при любой стратификации линейно зависит от высоты, т. е. задается формулой вида

где неизвестная нам функция от (т. е. от стратификации). Основное удобство такого выбора состоит в том, что при этом от параметра а можно легко избавиться с помощью перехода к безразмерным координатам зависящим от После такого перехода задача о диффузии от наземного стационарного точечного источника сводится к решению универсального уравнения относительно функции от трех переменных, зависящего от единственного параметра Это уравнение было решено численно для ряда значений после чего найденное расчета распределение примесн вдоль осн при было сопоставлено с соответствующими данными диффузионных экспериментов Бареда (1958) и других исследователей. Результаты такого сопоставления позволили приближенно определить неизвестные значения (значения при этом оценивались по профилям ветра и температуры, измерявшимся в ходе рассматривавшихся диффузионных экспериментов). Полученные значения легли со сравнительно небольшим разбросом на плавную кривую, монотонно убывающую при возрастании согласно этой кривой, при (т. е. при безразличной стратификации), при при Далее, с целью проверки допустимости принятого предположения о найденные значения были использованы для теоретического расчета распределения концентрации вдоль оси при некоторых других значениях результаты которого снова были сопоставлены с данными наблюдений. Оказалось, что общее согласие теории с опытом удовлетворительно, но разброс экспериментальных точек столь велик, что на основании нельзя сделать надежного вывода. Для убывания наземной концентрации вдоль оси облака примесн при безразличной стратификации расчет, основанный на предположении, что привел к соотношению хорошо согласующемуся с имеющимися эмпирическими данными.

Эмпирические данные показывают также, что горизонтальная диффузия по направлению оси становится более быстрой при увеличении горизонтального протяжения облака, так что коэффициент как бы возрастает С ростом времени диффузии (или координаты X). Это обстоятельство

объясняется очень важным эффектом ускорения относительной диффузии облака примеси (т. е. ускорения изменения расстояния между отдельными составляющими облако частицами) при увеличении размера облака, связанным с тем, что по мере возрастания размера облака в его рассеянии начинают принимать активное участие все более и более крупномасштабные возмущения поля скорости (об этом мы еще будем говорить в гл. 8 ч. 2 книги). Однако в рамках рассматриваемой здесь полуэмпирической теории турбулентной диффузии, как уже отмечалось выше, нельзя допустить, чтобы коэффициенты диффузии зависели от времени Тем не менее, Дэвис (1954а) попробовал учесть и этот эффект, формально допустив, что в уравнении (10.119) коэффициенты и и зависят только от именно, но фактически зависит от положения источника примеси, так как только выделяется значение В частном случае Дэвнсу удалось найтн точное решение уравнения (10.119); однако ясно, что принятое основное предположение о зависимости от резко противоречит духу полуэмпирической теории. С этой точки зрения более последовательным представляется предложение Лайхтмана (1963), согласно которому концентрацию в случае точечного источника следует искать в внде (10.122), где задается как решение уравнения (10.113), а при определении величины рекомендуется опираться на представления, связанные с лагранжевым описанием турбулентности (например, на формулу Тэйлора (9.31)), но вовсе не использовать полуэмпирическую теорию.