Лагранжевы характеристики турбулентности в пограничном слое

Перейдем теперь к вопросу о смещении жидких частиц в турбулентном пограничном слое. Как и в гл. 3 и 4, будем считать, что поток заполняет полупространство причем стенку для определенности условимся считать динамически вполне шероховатой (с параметром шероховатости Ось выберем совпадающей с направлением осредненного течения. Не ограничивая общности, можно считать, что рассматриваемая жидкая частица в момент находилась в точке с координатами . Пусть координаты этой частицы в момент а ее скорость в этот момент. Случайная функция очевидно, не является стационарной — так, например, за достаточно большой промежуток времени частица вернее всего поднимется на значительную высоту и поэтому ее горизонтальная скорость сильно возрастет. Вообще говоря, у нас нет также оснований рассчитывать, что функцию можно преобразовать в стационарную с помощью простого перехода к новым масштабам длины и времени. Естественно предположить, однако, что лагранжевы статистические характеристики турбулентности в пограничном слое будут зависеть, кроме параметров и Я, только от небольшого числа «внешних» параметров, определяющих «турбулентный режим», т. е. входящих в выражения для эйлеровых Статистических характеристик. Это предположение, существенно упрощающее изучение лагранжевых характеристик, в неявной форме использовалось Казанским и Моншшм (1957) (см. также Монин (1959а)) для расчета формы дымовых струй в приземном слое атмосферы при разных условиях стратификаций. Вслед за тем оно было подробно исследовано Эллисоном (1959) и Бэтчелором (1959) в применении к частному случаю логарифмического пограничного слоя; еще позже Гиффорд (1962) (дополнивший это предположение некоторыми более специальными гипотезами) и Яглом (1965) вывели из него ряд следствий, относящиеся К общему случаю температурно-стратифицированной

жидкости, причем выводы Гиффорда были им самим, Малхотрой и Сермаком (1963) и Сермаком (1963) сопоставлены и с имеющимися эмпирическими данными (см. ниже п. 10.5).

Поскольку высказанное выше предположение включает утверждение, что турбулентный режим в пограничном слое Описывается небольшим числом параметров, применяя его, целесообразно ограничиться случаями, когда движение «жидкой частицы» не выводит ее за пределы слоя постоянства турбулентного напряжения трения и (в случае температурно стратифицированной жидкости) турбулентного потока тепла Начнем, следуя Эллисону (1959) и Бэтчелору (1959), со случая пограничного слоя обычной (нестратифицированной) жидкости, для которого (для определенности можно считать, например, что речь идет о приземном слое атмосферы в условиях безразличной стратификации). В этом случае турбулентный режим определяется параметрами Существенно, однако, что вне очень тонкого слоя жидкости (толщина которого имеет тот же порядок величины, что и непосредственно примыкающего к стенке важную роль играет уже только один параметр Изменение же величины (скажем, ее замена на приводит лишь к дополнительному горизонтальному перемещению всей массы жидкости по направлению оси с постоянной скоростью где постоянная Кармана (см. выше гл. 3, п. 5.4). Кроме того, представляется очевидным, что через достаточно большое время z частица должна «забыть» про свою начальную высоту Н, т. е. что при больших значение практически перестает сказываться на статистических характеристиках движения жидкой частицы. Отсюда вытекает, что хотя, вообще говоря, статистические характеристики случайного вектора могут зависеть от четырех параметров влияние второго и четвертого из них является довольно ограниченным. А именно, влияние величины Я может сказываться лишь в течение конечного промежутка времени (продолжительность которого в силу соображений размерности должна иметь тот же порядок величины, что и отношение а значение параметра будет по настоящему существенным, только если причем и в этом случае лишь в течение промежутка времени порядка Если же или но то будет влиять на статистические характеристики только через посредство дополнительного постоянного слагаемого вида в выражении для

Рассмотрим теперь среднюю скорость жидкой частицы в момент Из симметрии рассматриваемого течения относительно плоскости вытекает, что при всех и, следовательно, Что же касается компонент то, согласно сказанному выше, при (или при если или, вообще, вторая из этих компонент может зависеть только от а первая должна равняться сумме некоторой функции от и от и постоянного слагаемого . В силу соображений размерности отсюда получаются формулы

где и безразмерные универсальные постоянные. Интегрируя эти формулы по найдем, что при достаточно большом

При возрастании начальной высоты Н формулы (9.60) и становятся применимыми позже, но значения параметров и с при любом Н остаются одними и теми же. Наличие у частицы асимптотически постоянной средней вертикальной скорости несмотря на то, что средняя вертикальная эйлерова скорость во всех точках потока равна нулю (так что, в частности, и очевидно, связано с тем, что из-за наличия стенки при частица не может опуститься ниже этого уровня, в то время как ничто не препятствует ее неограниченному подъему. Поэтому распределение вероятностей для с ростом все более вытягивается вверх по вертикали, так что средняя высота частицы возрастает и, значит, Отсюда вытекает, что для любого слоя фиксированной толщины имеет место постоянный отток массы в верхние слои жидкости, который должен компенсироваться эквивалентным притоком массы из верхних слоев вниз (напомним, что для эйлеровой скорости неравенство означало бы, что нарушается закон сохранения массы!). Естественно думать, однако, что скорость должна быть все же

меньше, чем типичное значение пульсаций эйлеровой вертикальной скорости (т. е., например, чем величина так что постоянная будет заметно меньше единицы (согласно эмпирическим данным ниже стр. 587). Что касается постоянной с, то ее можно попытаться оценить, исходя из приближенного равенства

где средняя горизонтальная эйлерова скорость на высоте Подчеркнем только, что в отношении (9.62) нельзя поставить знак точного равенства, так как в его левой части среднее значение берется по совокупности жидких частиц, находившихся в йомент на заданной высоте Я, а в правой части — по совсем другой совокупности всевозможных жидких частиц, находящихся (в безразлично какой момент времени) на фиксированной высоте Правда, то обстоятельство, что рассматриваемые жидкие частицы начали свое движение именно на высоте Н, при уже не будет существенно сказываться на величине Тем не менее средняя лагранжева горизонтальная скорость и при таких не будет точно равна средней эйлеровой горизонтальной скорости на высоте , так как и поэтому в выражении осреднение преимущественно учитывает частицы, приходящие на высоту снизу. Кроме того, если бы даже и можно было считать, что то все равно равенство (9.62) не было бы точным, поскольку возрастает медленнее, чем и, следовательно, Заметим еще, что обе указанные причины должны приводить к тому, что левая часть (9.62) окажется несколько меньше правой части. Однако можно все же надеяться, что при различие между правой и левой частями (9.62) не будет очень значительным, так что вытекающее из (9.62), (9.60) и (9.61) соотношу ние будет приемлемым первым приближением (хотя в некоторых случаях, возможно, придется все-таки учесть, что на самом деле с, по-видимому, немного меньше, чем

С помощью соображений размерности можно вывести также и выражения для моментов разных порядков векторов Проще, однако, сразу выписать общие формулы для плотностей вероятности этих векторов, из которых уже следуют и выражения для всех их статистических

характеристик. Как мы уже видели, при распределение вероятностей для может зависеть только от параметров Следовательно, соответствующая плотность вероятности должна иметь вид

где - универсальная функция от трех переменных. Аналогично этому плотность вероятности вектора определяется формулой вида

где - еще одна универсальная функция; отсюда, в частности, сразу вытекает, что в логарифмическом пограничном слое (Согласно равенству (9.61) длину в (9.64) можно заменить пропорциональной ей длиной поэтому, например, плотность вероятности для вектора можно записать в виде

где функция получается из при помощи простого изменения масштабов на осях координат.

Перейдем теперь к более сложному случаю движения жидких частиц в пограничном слое температурно-стратифицированной жидкости (например, в приземном слое воздуха при стратификации, отличной от безразличной). Здесь уже к числу «внешних параметре» задачи наряду с следует отнести и параметры Из этих трех величин можно составить комбинацию размерности длины игравшую важную роль в выводах гл. 4. Параметр шероховатости и в рассматриваемом случае будет существенным, дишь если и одновременно Если или но то замена на приведет лишь к дополнительному движению всей массы воздуха по направлению с постоянной скоростью где универсальная функция, определяющая профиль средней скорости в приземном слое (см. гл. 4). Следовательно, при должны

иметь место соотношения

где универсальные функции переменной Интегрируя второе из этих соотношений, получим

где функция, обратная к С помощью (9.68) равенства (9.66) — (9.67) можно переписать также в виде

где еще две универсальные функции, а постоянная введена для того, чтобы можно было считать (при этом условии здесь будет иметь то же значение, что и в равенстве . В силу приближенного равенства (9.62) следует также ожидать, что поэтому в первом приближении можно положить

Если, однако, стремиться к большей точности, то сдует учесть, что на самом деле, по-видимому, при всех (но о величине разности пока нет никаких данных). Соотношения (9.70) и (9.71) использовал Гиффорд (1962), а вслед за ним — Малхотра и Сермак (1963) и Сермак (1963). При этом все эти авторы дополнительно предполагали (бездостаточных оснований), что функция лишь постоянным множителем отличается от функции равенства (7.85), определяющей среднее квадратичное значение эйлеровой вертикальной скорости. Исходя отсюда, функция в соответствии с полуэмпирической формулой Казанского и Монина (7.95) принималась равной такой выбор впрочем, может быть в какой-то мере оправдан тем, что при этом выполняются

и условие и асимптотические закономерности, которым должна удовлетворять функция

Для плотности вероятности трехмерного вектора при и в силу соображений размерности должна иметь место формула вида

где определяются из (9.69) (или универсальная функция четырех переменных (последнее из них играет роль параметра, от которого зависит форма распределения вероятностей). В цитировавшихся выше работах Гиффорда, Малхотры и Сермака вместо этого использовалась более простая формула

т. е. неявно предполагалось, что зависимость формы распределения вероятностей от параметра стратификации является довольно слабой и в первом приближении ею можно пренебречь. Это предположение, разумеется, уже не вытекает из соображений размерности; оно оправдывается лишь некоторыми имеющимися весьма предварительными эмпирическими данными (см. Сермак (1963)).

При (т. е. при неустойчивой стратификации) для величин можно получить также ряд заметно более простых асимптотических результатов, основываясь на предельных закономерностях свободной конвекции. В самом деле, в этом случае при (и даже уже при как это следует из эмпирических данных § 8 гл. 4) и на вертикальное движение жидкой частицы не будет оказывать влияния не только начальная высота Я, но и величина и, так как основное время частица будет проводить в области течения, в которой господствует режим «чистой» свободной конвекцйи, не зависящей от напряжения трения. Поэтому, если (т. е. ), то, по-видимому, уже при функции равенств (9.67) и (9.68) должны принять асимптотическую форму Точно так же и функция равенства (9.70), вероятно, уже при мало отличается от своего асимптотического выражения

Но в таком случае при будут выполняться соотношения

где а — универсальная постоянная, значение которой, в принципе, можно определить по эмпирическим данным. Формулы (9.73) и (9.74), разумеется, совершенно аналогичны формулам для полученным выше для двумерной и трехмерной конвективных струй. Правая часть (9.74) очень близка также к правой части формулы (7.87) для но это объясняется лишь тем, что величины имеют одинаковую размерность и зависят от почти одних и тех же параметров (лишь с заменой координаты z на Поэтому из аналогии формул (9.74) и (7.87) вовсе не следует еще, что и коэффициенты будут иметь близкие значения. Наоборот, естественно ожидать, что второй из этих коэффициентов заметно меньше первого, т. е. что а не превышает нескольких десятых.

Несколько более сложно обстоит дело со средней горизонтальной лагранжевой скоростью в случае режима свободной конвекции, так как эта скорость не может быть независимой от параметра (при очевидно, и

Ясно, однако, что функция в (9.69) в этом случае будет стремиться к постоянному значению с ростом (т. е. с ростом ). Это объясняется тем, что с течением времени частица поднимается в слои жидкости, в которых горизонтальная скорость практически постоянна. Для более точной оценки можно использовать приближенную формулу (9.71) с возможно также, что в некоторых случаях целесообразно будет положить где принимает немного меньшее значение, чем коэффициент в формуле (7.39). Естественно предполагать, однако, что параметр при будет влиять только на среднюю горизонтальную скорость перемещения жидких частиц, но не на турбулентные пульсации скорости. Поэтому следует ожидать,

что при достаточно большом в случае неустойчивой термической стратификации будут иметь место соотношения

и

родственные соотношениям выполняющимся для турбулентных конвективных струй. Из (9.73) и (9.75), в частности, следует, что асимптотически при неустойчивой стратификации (разумеется, все эти выводы предполагают, что условия, при которых справедлив «закон 1/3» для эйлеровой средней скорости и температуры, сохраняются, по крайней мере, до высоты