§ 4. МОМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

4.1. Моменты и семиинварианты случайных величин

В предыдущем параграфе мы видели, что для полного статистического описания полей гидродинамических характеристик турбулентного потока требуется задать все многомерные распределения вероятности для значений этих характеристик на всевозможных множествах точек пространства — времени. Однако определение таких многомерных распределений является весьма сложной задачей и редко может быть осуществлено с достаточной точностью; кроме того, сами эти распределения часто оказываются мало удобными для приложений в силу своей. громоздкости. Поэтому на практике при решении конкретных задач теории турбулентности чаще всего ограничиваются рассмотрением лишь некоторых более простых статистических параметров, описывающих те или иные частные статистические свойства потока.

Наиболее важными из таких параметров распределений вероятности являются моменты. Если мы имеем систему случайных величин -мерной плотностью вероятности то моментами этих величин называются выражения

где целые неотрицательные числа, сумма которых называется порядком момента. В частности, моменты первого порядка — это средние значения величин

Наряду с обычными моментами иногда оказывается удобным рассматривать некоторые специальные их комбинации. Например, часто используются так называемые центральные моменты, т. е. моменты отклонений величин от соответствующих средних значений:

Раскрыв скобки в правой части (4.2), легко выразить центральный момент через обычные моменты низших порядков. В частности, при мы будем иметь

(момент совпадает с теоретико-вероятностной дисперсией величины и). Если то центральные моменты, очевидно, совпадают с обычными, так что момент является частным случаем момента Если величины к» имеют определенную размерность, то размерными будут и соответствующие моменты или центральные моменты; однако, например, отношения

всегда безразмерны (отношение называется асимметрией случайной величины и, а разность ее эксцессом).

Другими комбинациями моментов представляющими специальный интерес, являются так называемые семиинварианты (или кумулянты) Общее определение этих величин будет дано несколько позже (см. ниже, стр. 183); сейчас же мы только отметим, что семиинвариант (так же, как и центральный момент получается при помощи вычитания из момента некоторого специального многочлена относительно моментов низших порядков. В частности, при семиинварианты первых пяти порядков задаются следующими равенствами:

В многомерном случае семиинварианты второго и третьего порядков также совпадают с соответствующими центральными моментами, а общий семиинвариант четвертого порядка задается формулой

Из дальнейшего будет видно, что в некоторых случаях семиинварианты оказываются особенно удобными характеристиками распределений вероятности; пока, однако, мы в их отношении ограничимся лишь тем, что уже сказано.

Различные моменты величин не могут принимать произвольные значения, а должны удовлетворять некоторым условиям, имеющим вид неравенств. Так, например, если все показатели четные, то момент очевидно, не может быть отрицательным. Далее, если то

где — произвольные вещественные числа левая часть (4.7) равна среднему значению неотрицательной величины При и отсюда, в частности, получаются неравенства

(так как это частный случай момента Аналогичные неравенства могут быть выведены и для моментов высших порядков и моментов многомерных распределений. Тем не менее, ясно, что Даже и при этих ограничениях произвол в выборе возможных значений различных моментов, остается очень большим; поэтому задание всех без исключения моментов доставляет очень много информации о соответствующем распределении вероятности. Во многих случаях задание всех моментов даже просто равносильно заданию самого распределения (см. ниже мелкий шрифт), так что использование вместо плотности «вероятности совокупности отвечающих ей моментов не приводит какой-либо потере полноты статистического описания. На практике, однако, никогда не бывают известны сразу все моменты, а обычно рассматривается лишь несколько моментов низших порядков; они уже, разумеется, не определяют однозначно распределения, а характеризуют лишь некоторые его частные свойства. Несмотря на это, подход к изучению случайных величин, опирающийся на рассмотрение лишь нескольким

их моментов, часто оказывается весьма целесообразным; в дальнейшем мы увидим, что в применении к теории турбулентности он позволяет получить целый ряд конкретных результатов, представляющих значительный интерес.

Легко видеть, что моменты случайных величин могут быть просто выражены через соответствующую характеристическую функцию» В самом деле, из сравнения (4.1) с (3.13) следует, что

Отсюда, в частности, вытекает, что если характеристическая функция может быть представлена своим рядом Тэйлора, то

Таким образом, в этом случае, зная все моменты распределения, мы можем однозначно определить характеристическую функцию, а, следовательно, и плотность вероятйости. Нетрудно показать, что такая однозначность восстановления плотности по совокупности моментов будет иметь место и тогда, когда ряд (4.10) является сходящимся лишь в некоторой области значений (для одномерного случая общие условия, при которых эта однозначность будет иметь место, указаны, например, в книге Ахиезера (1961)).

С помощью характеристической функции легко формулируется также и общее определение семиинвариантов случайных величин. Для этого надо рассмотреть логарифм характеристической функции семиинвариант определяется по следующим образом:

Учитывая, что отсюда легко получить формулы (4.5)-(4.6) и вообще выразить любой конкретный семиинвариант через моменты или центральные моменты.