1.2. Простейшие течения несжимаемой жидкости

Для получения однозначного решения системы уравнений (1.5) — (1.6) надо задать начальные значения полей и учесть, что скорость должна обращаться в нуль на поверхностях всех погруженных в поток твердых тел. Так как, однако, эта система нелинейна, нахождение ее точных решений в явном аналитическом виде, вообще говоря, является очень трудным делом. Лишь для некотррых специальных потоков нелинейные члены уравнений (1.6) тождественно обращаются в нуль; при этом система уравнений гидродинамики сразу очень упрощается, и в таких случаях ее точное решение обычно находится без большого труда. Ниже мы перечислим некоторые точные решения такого рода; примеры более сложных точных решений уравнений (1. 5) - (1. 6) можно найти, например, в книгах Ландау и Лифшица (1953) и Кочина, Кибеля и Розе (1963). Во всех рассматриваемых ниже примерах будет предполагаться, что объемные внешние силы А отсутствуют; кроме того, в этих примерах потоки будут всегда предполагаться стационарными, т. е. не зависящими от

Отметим предварительно, что в случае стационарного течения полный импульс жидкости в фиксированной части пространства не меняется со временем, т. е. потери импульса, связанные с сопротивлением погруженных в жидкость твердых тел, балансируются с притоком импульса благодаря действию сил, вызывающих движение жидкости (при благодаря действию силы перепада давления). Иначе говоря, при установившемся режиме вызывающая движение сила перепада давления, действующая на всю жидкость, уравновешивается действующей на жидкость силой, торможения (отличающейся лишь знаком от суммарной, силы воздействия потока на погруженное в него тело). Формула, выражающая это равновесие, позволяет установить связь между

характерной скоростью течения и перепадом давления, называемую обычно законом сопротивления.

Сила воздействия потока на тело равняется интегралу по поверхности тела 2 от потока импульса по нормали к этой поверхности. Поток компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси имеет вид где единичный тензор при при вязкий тензор напряжений, в несжимаемой жидкости равный ниже формулу Поскольку скорость движения жидкости на поверхности тела равна нулю, для компоненты силы получаем

где компонента единичного вектора внешней нормали к поверхности, интеграл по поверхности тела от Первое Слагаемое в правой части (1. 10) связано с передачей телу импульса силами давления и не зависит от вязкости жидкости. Это слагаемое в ряде случаев (например, в случае обтекания плоской пластинки или при течениях в прямых трубах) оказывается равным нулю. Второе слагаемое представляет собой сопротивление трения, которое в вязкой жидкости всегда отлично от нуля. В случае геометрически подобных тел за характерную величину силы можно принять выражение где V — характерная скорость, некоторая характерная площадь, например площадь поверхности тела или его миделево сечение. Безразмерная величина

называется коэффициентом сопротивления тела. Если сопротивление связано только с трением то коэффициент сопротивления обозначается и называется коэффициентом сопротивления трения.

Примеры точных решений уравнений гидромеханики

1) Начнем с простейшего плоского стационарного течения вязкой жидкости, заключенной между двумя параллельными плоскостями, одна из которых неподвижна, а вторая движется с постоянной скоростью Обозначим через Н расстояние между плоскостями и выберем систему координат, в которой

уравнения этих плоскостей будут иметь вид (неподвижная плоскость) и (подвижная), а ось направлена вдоль вектора ( В таком случае все гидродинамические величины будут зависеть только от а скорость движения жидкости, всюду будет направлена вдоль оси Поэтому уравнение (1.5) и второе уравнение (1.6) здесь будут удовлетворяться тождественно, а первое и третье уравнения (1.6) приобретают вид

где единственная отличная от нуля компонента скорости потока. Следовательно, здесь учитывая еще граничные условия при при получаем

Итак, рассматриваемый поток характеризуется линейным профилем скорости, причем средняя скорость равна Сила трения, действующая на каждую единицу площади стенок равна

причем эта сила на плоскости направлена вдоль оси а на плоскости имеет противоположное направление. Если лоложить

где коэффициент сопротивления трения, то

Стационарное плоское течение жидкости между двумя безграничными параллельными плоскостями, описываемое формулами (1.13) и (1.16), очевидно, представляет собой математиче скую идеализацию, которая, однако, в некоторых случаях может оказаться полезной. В руководствах по гидродинамике это идеализированное течение иногда называется течением Куэтта.

2) Рассмотрим теперь стационарное двумерное течение между двумя неподвижными параллельными плоскостями под действием приложенной на бесконечности внешней силы, создающей градиент давления по направлению оси Легко видеть, что в этом случае скорость потока также будет во всех точках направлена вдоль оси и будет зависеть лишь от так что опять будет единственной ненулевой

компонентой поля и. Поэтому уравнение (1.5) и второе урав яение (1.6) здесь также будут удовлетворяться тождественно; первое же и третье уравнения (1.6) будут иметь вид

Отсюда видно, что давление здесь не будет зависеть от т. е. будет постоянным по всей толщине слоя жидкости, и, следовательно, первое уравнение (1.17) будет выполняться лишь при

где перепад давления между плоскостями Учитывая еще граничные условия при и при получаем

что профиль скорости в этом случае будет иметь форму параболы. Сила трения на обеих стенках здесь будет равна

поэтому безразмерный коэффициент сопротивления формулы (1.15) будет равен

Точное решение (1.19), разумеется, такжеописывает идеализированное течение жидкости, которое иногда называется течением П у азейля между параллельными плоскостями.

3) Перейдем к случаю стационарного течения жидкости в прямой бесконечной круглой трубе данного диаметра Направим ось вдоль оси трубы; тогда отличной от нуля будет только компонента поля скорости Поэтому уравнение этом случае будет удовлетворяться тождественно; кроме того, из второго и третьего уравнений (1.6) будет следовать, что т. е. что давление здесь постоянно по сечению трубы и зависит только от х. Введем теперь в плоскости полярные координаты Тогда в рилу

симметрий трубы и, следовательно, в этих координатах первое уравнение (1.6) будет иметь вид

Так как правая часть здесь зависит только от х, а левая от то должно быть перепад давления на участке трубы длины Учитывая теперь граничное условие и ограниченность функции при всех получаем

Таким образом, и в этом случае профиль скорости (вдоль любого диаметра) оказывается параболическим. Средняя скорость течения, определяемая формулой

здесь оказывается равной поэтому расход жидкости (т. е. объем жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени) равен

Сила трения о стенку равна тот же результат можно получить и иначе, сообразив, что полная сила трения на участке трубы длины должна уравновешиваться силой перепада давления действующей на сечение трубы Следовательно, коэффициент сопрртивления. здесь равен

Решение (1.23) уравнений гидродинамики также относите к идеализированному потоку, так как труба здесь предполагается бесконечно длинной, а течение — строго стационарным. Оказывается, однако, что в случае реальных конечных труб протекание по ним жидкости в случае постоянного напора довольно часто очень быстро становится практически стационарным, причем на расстояниях от входа трубы порядка (по

теоретическим расчетам Шиллера (1934), приведенным также и в книге Гольдштейна уже при влияние конечной длины трубы также перестает ощущаться, и течение хорошо описывается формулой (1.23). Таким образом, закономерности (1.23), (1.25) и (1.26) могут быть проверены на опыте; исторически дело обстояло так, что они впервые были обнаружены именно на опыте Хагеном в 1839 г.) и Пуазейлем в 1840—1841 гг.) и лишь затем объяснены теоретически (Дж. Стоксом в 1845 г.). В исследованиях Хагена было обнаружено также, что эти закономерности справедливы только в случае достаточно большой вязкости и при достаточно малой скорости обстоятельство, о котором мы еще будем подробно говорить, в § 2. Течение несжимаемой жидкости, описываемое формулами (1.23) и (1.25), часто называется течением Пуазейля (или Хагена — Пуазейля) в круглой трубе или (в тех случаях, когда нет опасений спутать его стечением просто течением Пуазейля.

4) В качестве последнего примера мы рассмотрим стационарное движение жидкости, заключенной между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами радиусов вращающимися вокруг своих осей с угловыми скоростями перепад давления вдоль оси цилиндров мы примем равным нулю. В таком случае все гидродинамические величины не будут зависеть от координаты х, отсчитываемой вдоль оси цилиндров. Кроме того, если в плоскости перпендикулярной оси цилиндров, ввести цилиндрические координаты то из сооб; ражений симметрии ясно, что отличной от нуля будет лишь компонента скорости что скорость и и давление будут Зависеть только от Отсюда следует, что уравнение неразрывности (1.5) и первое уравнение (1.6) здесь будут удовлетворяться тождественно; что же касается до второго и третьего уравнений (1.6), то они после перехода к цилиндрическим координатам примут вид

Общее решение второго из уравнений (1.27) имеет вид и так как к тому же и должно равняться при и при то искомая функция будет определяться формулой

С помощью первого уравнения (1.27) теперь очень легко найти и но мы на этом не будем останавливаться. Течение жидкости, задаваемое формулой (1.28), в ряде отношений, родственно течению примера 1), но оно значительно проще может быть сравнительно точно воспроизведено в лаборатории. Это течение иногда называется течением Куэтта между цилиндрами.