2.9. Устойчивость по отношению к конечным возмущениям; возрастание возмущений и переход к турбулентности

Рассмотренная выше теория возмущения позволяет во многих случаях теоретически определить условия потери устойчивости ламинарных течений и тем самым выяснить, некоторые важные обстоятельства, связанные с переходом к турбулентности. Совершенно ясно, однако, что сама по себе потеря устойчивости еще не является таким переходом и что линейная теория,

о которой шла речь в пп. 2.5-2.8, в лучшем случае может описать лишь самое начало процесса возникновения турбулентности, но не дать полную картину этого процесса. Кроме того, в случае некоторых важных течений, таких как, например, течение Куэтта между двумя плоскостями или течение Пуазейля в трубе, теория возмущений в принципе не может помочь объяснению наблюдаемого на опыте возникновения турбулентности, так как эти течения, по-видимому, устойчивы относительно любых бесконечно малых возмущений. С другой стороны, в случае, например, течения Пуазейля между двумя плоскостями (близкого к реальному течению в плоском канале) теория устойчивости хоть и приводит выводу о возможности потери устойчивости, но указывает на значительно более высокое значение чем значения чисел Рейнольдса, при которых на самом деле происходит турбулизация потока (эмпирические данные Дэвиса и Уайта (1928) показывают, что турбулизация плоского течения Пуазейля, по-видимому, реально происходит уже при в то время как согласно линейной теории Наконец, принципиальное различие между движениями, возникающими после потери устойчивости течения между вращающимися цилиндрами или состояния покоя подогретой снизу жидкости, с одной стороны, и плоского течения Пуазейля или течения в пограничном слое, с другой стороны, также никак не может быть объяснено с точки зрения линейной теории возмущений. Все эти обстоятельства заставляют придавать большое значение разработке более полной нелинейной теории возникновения турбулентности, находящейся пока что еще в начальной стадии своего развития.

Баланс энергии конечного возмущения

Простейший подход, позволяющий исследовать вопрос об устойчивости потока по отношению к возмущениям конечной амплитуды, связан с применением так называемого «энергетического метода», использовавшегося еще Рейнольдсом (1894) (и являющегося, таким образом, даже более старым, чем метод теорий возмущений). Сущность этого метода состоит в определении баланса энергии возмущения в заданном течении с целью выяснения условий, при которых энергия такого возмущения будет возрастать, (или, наоборот, убывать) во времени.

Пусть поля скорости и давления основного течения, поля скорости и давления возмущения. В таком случае оба поля должны удовлетворять уравнениям Навье-Стокса (1.6) и неразрывности

(1.5) (как обычно, жидкость предполагается несжимаемой). Вычтя уравнения для и для одно из другого, мы получим следующие уравнения для скорости

(от уравнений (2.7) они отличаются лишь наличием в первом из них нелинейного по и слагаемого, опускаемого в линейной теории возмущений). Умножив, далее, первое из уравнений (2.32) на просуммировав по и проинтегрировав полученную сумму по всей области течения, мы придем к уравнению баланса энергии, определяющему изменение во времени полной энергии возмущения. В частности, если течение жидкости происходит в конечном объеме, ограниченном твердыми стенками (неподвижными или движущимися), на которых то уравнение баланса энергии возмущения можно записать в виде

где элемент объема (в таком виде оно фактически использовалось еще Рейнольдсом (1894) и Орром (1906-1907)). Тот же результат будет верен и для многих неограниченных течений; например, он будет справедлив, если возмущение допустимо считать периодическим по тем координатам, по которым течение является неограниченным (в этом случае следует считать, что интегрирование в равенстве (2.33) в направлении таких осей распространяется лишь на один период возмущения).

В уравнении (2.33) первый член справа описывает обмен энергией между основным течением и полем возмущений и, как правило, оказывается положительным (перенос энергии обычяо происходит от основного течения к возмущениям). Второй же член справа описывает вызываемую вязкостью диссипацию энергии возмущений и всегда является отрицательным. Относительная величина двух членов в правой части (2.33) и определяет, будет ли энергия возмущения убывать или возрастать.

Если мы перейдем в равенстве (2.33) к безразмерным величинам, измеряя расстояния в единицах характерной длины скорости — в единицах характерной скорости U, а время - в

единицах то размерный коэффициент при втором члене правой части перейдет в безразмерный коэффициент Отсюда ясно, что если число Рейнольдса достаточно мало, то отрицательный второй член справа будет перевешивать положительный первый член и энергия любого возмущения будет затухать, т. е. течение будет устойчивым по отношению к возмущениям произвольной величины. Исходя из равенства (2.33), можно получить некоторые оценки снизу значения ограничивающего диапазон «достаточно малых», чисел Рейнольдса, в пределах которого энергия любого возмущения может только убывать. Так, например, Серрин (1959) показал, что для любой пары соленоидальных векторных полей в произвольной ограниченной области с диаметром таких, что и обращается в нуль на границе области, имеют место неравенства

где максимум модуля поля Подставляя эти неравенства в (2.33), найдем, что в случае течения в области диаметра энергия возмущения заведомо удовлетворяет неравенству

так что Аналогичные неравенства Серрин вывел и для полей отвечающих Течениям в прямой трубе произвольного сечения с максимальным диаметром или в канале максимальной толщины При этом только ему пришлось постоянную во втором неравенстве (2.34) в первом из указанных случаев заменить на во втором — на тем самым он показал, что для течения в прямой трубе (произвольного сечения) и для течения в плоском канале. Позже Вельте (1962) еще немного улучшил значения постоянных коэффициентов во втором неравенстве (2.34) и показал, что для течения в ограниченной области диаметра к для течения в прямой трубе диаметра для течения в канале

ширины одновременно он показал, что найденные им числовые значения очень близки к наибольшим, могущим быть полученными с помощью общих неравенств типа (2.34). Заметим еще, что неравенства того же типа существуют и для полей и и в кольце между концентрическими цилиндрами радиусов с их помощью Серрин получил следующее достаточное условие устойчивости относительно произвольных возмущений течения Куэтта между цилиндрами:

На рис. 22 область (2.35) на плоскости (для исследовавшегося экспериментально Тэйлором случая нанесена вместе с перенесенной с рис. 13, а областью неустойчивости соответствующего течения относительно бесконечно малых возмущений.

Рис. 22. Расположение области неустойчивости относительно бесконечно малых возмущений и области устойчивости относительно любых конечных возмущений для изученного Тэйлором течения Куэтта между цилиндрами.

Верхняя заштрихованная область соответствует неустойчивости относительно бесконечно малых возмущений, а течения, отвечающие точкам заштрихованной полоски, определенно являются устойчивыми относительно любых конечных возмущений. Сплошная прямая на рисунке граница области неустойчивости для случая невязкой жидкости (ср. рис. 13, а).

Результаты Серрина и Вельте довольно просто выводятся и являются очень общими, но они дают очень грубую оценку заниженную по сравнению с данными экспериментов на несколько порядков (напомним, что, например, эмпирическое значение для прямой круглой трубы близко к 2000). Несколько лучшие результаты получаются, если вместо использования общих (но грубых) неравенств типа (2.34) искать те возмущения для которых отношение притока энергии от заданного основного течения к диссипации энергии под действием вязкости будет наибольшим возможным. Рассмотрим, например, плоскйпараллельное течение между плоскостями с профилем скорости и будем для простоты считать возмущение и также двумерным: Измеряя расстояния в единицах Н, скорости — в единицах и время — в единицах мы можем переписать общее

уравнение баланса энергиц (2.33) в виде

В силу уравнения неразрывности (второго уравнения (2.32)) можно далее ввести функцию тока положив Тогда условие неустойчивости будет записываться с виде

Максимум функционала на множестве всевозможных функций удовлетворяющих заданным граничным условиям, и будет при этом иметь смысл поскольку при числах Рейнольдса, меньших обратной величины этого максимума, энергия возмущения наверное будет убывать). Можно надеяться, что получаемые таким образом значения будут уже больше тех, которые следуют из неравенств (2.34). Ясно, однако, что и они вполне могут оказаться сильно заниженными, так как от поля скорости возмущения здесь требуется только, чтобы оно удовлетворяло уравнению неразрывности и краевым условиям, но вовсе не учитывается, что сумма этого поля и поля скорости основного движения должна удовлетворять системе динамических уравнений. И действительно, попытки определения критерия неустойчивости энергетическим методом с помощью подсчета значений для каких-то специальных функций (приводящих к относительйо низкому значению этого функционала) или с помощью решения соответствующей вариационной задачи, предпринимавшиеся Лоренцом (1907), Орром (1906—1907), Гамелем (1911), Карманом (1924) и другими исследователями, все также привели к чрезмерно малым значениям (примерно на порядок меньшим реально наблюдавшихся значений этого числа). Анализируя это обстоятельство, Петров (1938) пришел к выводу, что экстремали обращающие в максимум, по-видимому, во всех случаях не описывают никакого динамически возможного движения. Таким образом, энергетический метод никогда не может дать точного значения а годится лишь для получения весьма предварительных грубых оценок этой величины.