3.3 Понятие об эргодичности. Статистическая формулировка основной задачи теории турбулентности

Намеченный выше подход к полям гидродинамических характеристик турбулентного потока как к случайным полям, идущий от работ А. Н. Колмогорова и его учеников (см., например, Миллионщиков (1939)) и работы Кампе де Ферье (1939), является в настоящее время общепринятым во всех исследованиях по теории турбулентности (см., например, обзорные, статьи Кампе де Ферье (1953) и Обухова (1954)). Приняв предположение о существовании распределений вероятности для всех гидродинамических полей, мы можем, далее, широко применять математический аппарат современной теории вероятностей; операция осреднения при этом определяется вполне однозначно и обладает всеми свойствами, которых естественно от нее требовать. Существенно отметить, однако, что при таком подходе сразу же возникает важный дополнительный вопрос о сопоставлении выводов теории с данными непосредственных измерений.

Дело в том, что согласно нашему новому определению среднее значение понимается как среднее, взятое по всем возможным значениям рассматриваемой величины; поэтому для эмпирического определения средних значений со значительной степенью точности мы должны были бы иметь результаты большого числа измерений, производившихся в длинной серии повторяющихся аналогичных опытов. На практике, однако, мы чаще всего не имеем такого множества опытов и вынуждены определять средние значения по данным измерений, проводившихся в течение одного-единственного опыта. Во всех таких случаях обычно используется простейшее осреднение эмпирических данных по некоторому интервалу времени или пространства. Отсюда видно, что предположение о существовании распределений вероятности само по себе еще не снимает вопроса о законности использования в теории турбулентности обычных временных или пространственных средних, а лишь изменяет постановку этого вопроса. А именно, вместо исследования частных свойств того или иного метода осреднения мы должны теперь выяснить, насколько близки соответствующие эмпирические средние к вероятностным средним значениям, с которыми лишь и имеет дело теория. Положение дел здесь вполне аналогично тому,

которое имеется в обычной статистической механике систем с конечным числом степеней свободы, где также приходится заменять теоретические «средние по совокупности возможных состояний системы» (или, как чаще говорят, «средние по ансамблю») непосредственно наблюдаемыми временными средними. Известно, что в статистической механике при такой замене обычно исходят из предположения, что временные средние значения при неограниченном увеличении интервала осреднения сходятся к соответствующим теоретическим средним значениям. Справедливость этого предположения в некоторых специальных случаях может быть строго доказана (например, с помощью «эргодической теоремы» Дж. Биркгофа), а в остальных случаях оно принимается в качестве дополнительной весьма правдоподобной гипотезы («эргодическая гипотеза»). В теории турбулентности также иногда вводят предположение о сходимости временных или пространственных средних при неограниченном увеличении интервала осреднения к соответствующим вероятностным средним в качестве специальной «эргодической гипотезы». В применении к временным средним правдоподобность этой гипотезы в ряде случаев подкрепляется, в частности, общими представлениями Л. Д. Ландау о характере развитой турбулентности, изложенными на стр. 145. Заметим, однако, что во многих случаях законность замены теоретико-вероятностных средних значений гидродинамических полей временными или пространственными средними может быть также строго обоснована с помощью «эргодических теорем» современной теории случайных процессов и полей. В связи с большой важностью этого вопроса мы ниже еще остановимся на нем более подробно (см. п. 4.7); сейчас же мы постараемся сформулировать общую задачу изучения турбулентности как некоторую задачу о распределениях вероятности для соответствующих гидродинамических полей.

Выше мы видели, что в случае ламинарных движений уравнения гидродинамики позволяют однозначно определить значения всех гидродинамических характеристик потока в любой будущий момент времени по начальным значениям гидродинамических полей (и соответствующим граничным условиям). При этом в случае несжимаемой жидкости достаточно знать лишь начальные значения поля скорости (или поля вихря скорости); в случае же сжимаемой жидкости требуется задать начальные значения пяти независимых гидродинамических полей (например, трех компонент скорости, давления и температуры). В турбулентных потоках начальные значения соответствующих гидродинамических полей также будут с помощью уравнений гидродинамики

определять все их будущие значения. Однако здесь эти будущие значения будут существенно зависеть от ничтожных неконтролируемых возмущений начальных и граничных условий и, кроме того, будут иметь столь сложный и запутанный вид, что точное их определение оказывается бесполезным, а интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений практически невыполнимым. Только распределения вероятности для соответствующих гидродинамических полей, а вовсе не сами точные значения этих полей могут в этом случае представлять интерес. Поэтому и уравнения гидродинамики в случае турбулентных потоков следует использовать лишь для исследования соответствующих распределений вероятности или каких-либо определяемых этими распределениями величин.

Заметим еще, что для возможности применения уравнений гидродинамики к случайным полям, задаваемым своими распределениями вероятности, эти распределения должны обладать известными свойствами регулярности, гарантирующими, что реализации соответствующих полей можно считать непрерывными и достаточно гладкими — имеющими все входящие в уравнения временные и пространственные производные. Предположим теперь, что распределения вероятности, относящиеся к значениям полей в фиксированный начальный момент времени удовлетворяют этим условиям регулярности. В таком случае каждая конкретная реализация гидродинамических полей потока будет закономерно изменяться во времени в соответствии с изменением во времени решения, отвечающего заданным начальным (и граничным) условиям. Следовательно, вся совокупность возможных начальных гидродинамических полей перейдет через время в строго определенную совокупность функций от пространственных координат, относящуюся к моменту Отсюда вытекает, что плотность вероятности для какого-либо гидродинамического поля в момент можно (во всяком случае, в принципе) определить, рассчитав с помощью уравнений гидродинамики, какой совокупности начальных условий будет соответствовать тот или иной интервал значений нашего

поля в момент и найдя вероятность этой совокупности начальных условий. Таким образом, в турбулентном потоке уравнения гидродинамики будут однозначно определять эволюцию во времени распределения вероятности гидродинамических полей. Это значит, что более или менее произвольно (с соблюдением лишь некоторых «условий регулярности») здесь можно выбирать только распределения вероятности в один фиксированный момент времени; после этого все остальные распределения вероятности, относящиеся к значениям гидродинамических полей во всевозможных точках пространства — времени, будут уже однозначно определяться из уравнений движения. Поэтому основную задачу теории турбулентности (например, для случая несжимаемой жидкости) можно сформулировать следующим образом: по заданному распределению вероятности значений трех компонент скорости в различных точках пространства в момент сосредоточенному на совокупности дважды дифференцируемых соленоидальных векторных полей, требуется определить распределения вероятности значений полей скорости и давления во все последующие моменты времени (включая и распределения для значений в несколько различных моментов времени). В случае сжимаемой жидкости надо только вместо распределений вероятности трех компонент скорости исходить из распределений вероятности значений пяти независимых гидродинамических величин. К сожалению, эта общая задача слишком трудна, И в настоящее время еще не видно подхода к ее полному решению. Поэтому дальнейшее обсуждение этой задачи мы отложим до заключительной главы второй части нашей книги; в остальных же главах мы будем заниматься лишь более частными задачами, в которых вместо распределений вероятности фигурируют некоторые менее полные статистические характеристики случайных полей.