1.5. Общее уравнение притока тепла и уравнение теплопроводности; вынужденная и свободная конвекция

В дальнейшем больше всего внимания будет уделено течениям несжимаемой жидкости, описываемым уравнениями Нарье — Стокса (1.6) и условием несжимаемости (1.5). Поскольку, однако, гл. IV будет посвящена изучению более общего случая температурно-неоднородной жидкости, а во второй части Книги вкратце будет рассмотрен также и случай турбулентности в, сжимаемой среде, то целесообразно остановиться здесь На вопросе о замыкании общей системы уравнений гидродинамики. Полученные при этом результаты помимо всего прочего позволят нам выписать уравнение для поля температуры несжимаемой

температурно-неоднородной среды, которое будет играть важную роль в последующем изложении.

В сжимаемой среде уравнение неразрывности (т. е. баланса массы) и уравнения динамики (т. е. баланса трех компонент импульса) имеют вид (1.2) и соответственно (1.4). Поскольку эти четыре уравнения содержат пять неизвестных функций, то для получения замкнутой системы к ним надо добавить еще пятое уравнение — уравнение притока тепла, выражающее физический закон сохранения энергии. В самом общем виде это уравнение может быть записано в виде

где внутренняя энергия единицы массы жидкости (так что сумма представляет собой полную энергию единицы массы движущейся жидкости), — так называемая тепловая функция, - коэффициент теплопроводности, Т — температура, а

— вязкий тензор напряжений, входящий под знаком производной в правую часть уравнения балансу импульса (1.3) (см. например, Ландау, и Лифшиц (1953), ч. 1, § 49). Из уравнения баланса энергии (1.60) может быть выведено также уравнение баланса энтропии; в самом деле, воспользовавшись термодинамическими соотношениями, позволяющими выразить и через где — энтропия единицы массы жидкости, и учитывая также и уравнения (1.2) и (1.4), мы можем преобразовать уравнение (1.60) к виду

(ср. Ландау и Лифшиц (1953)). Таким образом, в случае справедливости уравнений (1.2) и (1.4) уравнения (1.60) и (1,62) оказываются эквивалентными друг другу, и любое из них с одинаковым правом может быть положено в основу вывода замкнут той системы уравнений, описывающей движения сжимаемой жидкости.

Для получения такой замкнутой системы надо только выразить термодинамические величины или через давление и плотность (или температуру Т) придомощи общих уравнений термодинамики и уравнения состояния рассматриваемой среды (связывающего и Т). Мы ограничимся здесь простейшим случаем, когда это уравнение состояния совпадает с уравнением состояния идеального газа, т. е. имеет вид

где Т — температура в градусах Кельвина, а постоянная равна разности удельных теплоемкостей среды при постоянном давлении и при постоянном объеме

Кроме того, в соответствии с выводами кинетической теории газов и с данными многих экспериментов мы будем считать, что теплоемкости и с по отдельности являются постоянными (т. е. не зависят от температуры). В таком случае нетрудно показать, что (см., например, Ландау и Лифшиц (1951), § 43). Подставляя эти выражения для в уравнение (1.60) и применяя (1.2) и (1.4) или же подставляя одно из выражений для в уравнение (1.62), можно без труда преобразовать общее уравнение притока тепла к виду

или, что эквивалентно, к виду

где

Величина представляет собой умноженный на прирост энтропии за единицу времени, связанный с переходом части кинетической энергии в теплоту в результате внутреннего трения жидкости; иначе говоря совпадает с количеством тепла, выделяющимся в результате действия вязкости за единицу времени в единице объема жидкости. При наличии еще притока тепла, вызванного лучистой теплопроводностью, химическими реакциями, фазовыми превращениями или какими-то другими причинами, к правым частям и (1.65) должно быть добавлено еще слагаемое где дополнительный приток тепла на единицу массы за единицу времени. Уравнения (1.2); (1.4) и (1.65) или (1.65) вместе с равенствами (1.63) и (1.66) дают нам общую систему пяти уравнений для определения пяти неизвестных функций или

Уравнение типа (1.65) может быть получено и для неоднородно нагретых «капельных жидкостей», т. е. сред, являющихся жидкими в обычном смысле этого слова. Здесь роль уравнения состояния будет играть закон теплового расширения жидкости

где плотности при температурах Т и соответственно а -коэффициент теплового расширения. Можно показать, что при этом условии уравнение (1.62) примет следующий вид:

причем в выражении для в случае жидкости можно считать, что так что

(см., например, Хоуарт (1953), т. II, гл. 14). Коэффициент для обычных жидкостей очень мал (например, для воды при температуре поэтому в уравнении (1.68) можно пренебречь членом, содержащим этот коэффициент. В результате получается уравнение

коэффициент температуропроводности нашей среды, который здесь и всюду ниже предполагается принимающим постоянное значение (ср. переход от (1.3) к (1.4) на

стр. 36). Член в уравнении (1.70) описывает общее прогревание среды, вызываемое внутренним трением жидкости; это прогревание в реальных условиях обычно играет совершенно незначительную роль и им вполне можно также пренебречь При этом уравнение (1.70) еще более упростится и перейдет в обычное уравнение теплопроводности в движущейся среде

которым мы и будем широко пользоваться в дальнейшем.

Весьма существенно, что уравнение (1.71) применимо не только к капельным жидкостям, но и к газам, если только скорость движения этих газов много меньше соответствующей скорости звука Можно показать, что при таких скоростях изменения давления будут играть в уравнении (1.65) гораздо меньшую роль, чем изменения температуры, так что членами с в правой части (1.65) можно пренебречь; после этого мы немедленно приходим к уравнению (1.70) или, пренебрегая также и прогреванием среды из-за внутреннего трения, к уравнению (1.71). Заметим, что сопоставление (1.70) с (1.65) показывает, что в уравнении (1.65) в отличие от (1.65) нельзя пренебречь членом локальные сжатия и расширения, вызываемые изменениями плотности при нагревании и охлаждении, в уравнении притока тепла должны учитываться даже и при малых скоростях движения. Однако в динамических уравнениях при движениях со скоростью, много меньшей скорости звука, поле скорости вполне можно считать «несжимаемым», если только изменения плотности, вызванные неоднородностью поля температуры, будут малыми по абсолютной величине, т. е. если имеющиеся в потоке абсолютные разности температур будут малы по сравнению со средней абсолютной температурой При этом условии и в выражении для можно также считать, что т. е. снова можно считать представимым в виде (1.69). Так как к тому же в несжимаемой среде то в несжимаемой жидкости величина будет точно равна приросту внутренней энергии единицы массы за единицу времени, т. е. количеству кинетической энергии, диссипирующейся (переходящей в тепло) за единицу времени в единице массы жидкости (ср. Ландау и Лифщиц (1953), ч. I, § 16). Хотя при расчете поля температуры этой величиной обычно можно пренебречь; она тем не менее является очень важной физической характеристикой движения; для

краткости в дальнейшем мы ее будем называть просто диссипацией энергии.

Подчеркнем еще, что по своему виду уравнение (1.71) точно совпадает с уравнением диффузии

описывающим изменение концентрации некоторой пассивной (т. е. не оказывающей влияния на динамику потока) примеси в среде; только коэффициент в этом последнем случае надо интерпретировать не как коэффициент температуропроводности, а как молекулярный коэффициент диффузии. Так как уравнения (1.71) и (1.72) имеют один и тот же вид, то в дальнейшем, рассматривая уравнение (1.72), мы всегда будем иметь в виду, что величина здесь может быть как концентрацией некоторой пассивной примеси, так и температурой. Учитывая особую важность для приложений исследования поля температуры, мы для краткости часто будем даже называть Ф просто температурой; однако следует запомнить, что фактически буквой всегда будет обозначаться концентрация некоторой пас дивной примеси и что. в тех случаях, когда температура у нас будет рассматриваться не как пассивная, примесь, мы ее будем обозначать не буквой О, а буквой Т.

Предположение о пассивности примеси означает, что поле скорости может быть определено независимо от исследования поля из обычной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости и затем подставлено в уравнение (1.72). Если под понимать температуру, то для этого разности температур в различных точках, жидкости должны, быть столь малыми, чтобы вызываемые ими изменения физических свойств жидкости не оказывали никакого влияния на движение, но в то же время достаточно большими для того, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь нагреванием, создаваемым выделением тепла в результате внутреннего трения. В таком случай температурные неоднородности будут просто перемещаться вместе с потоками жидкости сглаживаясь попутно под влиянием молекулярной теплопроводности; возникающее при этом движение масс неоднородно нагретой жидкости называется обычно вынужденной конвекцией,

Важный класс поток от, в которых температура уже не может рассматриваться как пассивная примесь, представляют собой потоки неоднородно нагретой жидкости в поле тяжести, возникающие под влиянием архимедовых сил, вызывающих всплывание наверх более теплых и опускание вниз более холодных объемов жидкости. Такие движения температурно-неоднородной

жидкости носят название свободной конвекции. Выясним, как будут выглядеть в этом случае уравнения движения. Будем считать, что скорости нашего движения настолько невелики, что изменениями плотности вызываемыми изменениями давления (но не температуры!), можно пренебречь. Отсюда следует, что мы можем пользоваться обычными уравнениями несжимаемости (1.5) и Навье — Стокса (1.6), но только в (1.6) надо учесть внешнюю силу единичный вектор оси и плотность считать зависящей от температуры. Предположим теперь, что (абсолютная) температура может быть представлена в виде где — некоторое постоянное среднее значение, а небольшие отклонения от Г. В таком случае, очевидно, где постоянная плотность, отвечающая температура определяется из уравнения (1.67):

(коэффициент теплового расширения , для газа, удовлетворяющего (1.68), очевидно, будет равен Заметим, что при давление равно не будет постоянным, а будет убывать с Высотой вместе с убыванием веса столба жидкости, расположенного выше заданной точки:

Полагая с точностью до малых величин первого порядка будем иметь:

Отсюда видно, что третье уравнение Навье-Стокса в нашем случае будет записываться в виде

(наличие в этом уравнении слагаемого, содержащего как раз и показывает, что температура здесь не может считаться пассивной примесью). Первое же и второе уравнения Навье — Стокса в нашем случае будут иметь обычный вид (1.6), причем в них с самого начала можно заменить постоянным значением а под понимать отклонение давления от среднего давления зависящего от Наконец, уравнение для температуры как всегда, когда среду можно считать несжимаемой, будет иметь вид обычного уравнения теплопроводности в

движущейся жидкости

(членом с в уравнении для температуры мы, как обычно, пренебрегаем). Полученная приближенная система пяти уравнений и (1.76) относительно пяти неизвестных функций и описывает свободную конвекцию жидкости: поэтому она называется системой уравнений свободной конвекции.